1、2020年8月10日星期一,1,第八章 相量法,內(nèi)容提要 1.正弦量及其三要素、相位差的概念； 2.相量法的概念及其性質(zhì)； 3.電路定律和元件VCR的相量形式。,1.正弦量的相量表示法； 2.正弦量的相量差和有效值的概念； 3. R、L、C 各元件電壓、電流關(guān)系的相量形式； 4.電路定律的相量形式。, 重點(diǎn),2020年8月10日星期一,2, 難點(diǎn),1. 正弦量與相量之間的聯(lián)系和區(qū)別； 2. 元件電壓相量和電流相量的關(guān)系、相量圖。,主要是相位關(guān)系,是學(xué)習(xí)第 9、10、11、12章的基礎(chǔ)。, 與其它章節(jié)的聯(lián)系,必須熟練掌握相量法的解析運(yùn)算。,2020年8月10日星期一,3,8-1 復(fù)數(shù),1. 復(fù)數(shù)

2、的表示形式,(3)指數(shù)和極坐標(biāo)形式,(1)代數(shù)形式 F=a+jb ReF=a， ImF=b,(2) 三角形式 F=| F |(cosq + jsinq ) a=| F |cosq，b=| F |sinq,| F | =,a2 + b2,q = arctg,b,a,根據(jù)歐拉公式 e jq =cosq +jsinq,得指數(shù)形式： F = | F | e jq,或?qū)懗蓸O坐標(biāo)形式：,F = | F |,q,q,2020年8月10日星期一,4,2. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 (1)加減 用代數(shù)形式。 設(shè) F1=a1+jb1 F2=a2+jb2 則 F1F2 =(a1a2)+j (b1b2),復(fù)數(shù)加的圖解,F=F1+F

3、2,F=F1+F2,2020年8月10日星期一,5,復(fù)數(shù)減的圖解,F=F1-F2,F=F1-F2,若F1 = F2,則必須是,或者 a1 = a2，jb1= jb2,即兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,|F1| = |F2|，q1=q2,(2) 乘除,用指數(shù)或極坐標(biāo)形式最好。,乘(除)法運(yùn)算滿足： 模相乘(除)， 輻角相加(減)。,2020年8月10日星期一,6,復(fù)數(shù)乘、除的圖解,乘：F1 的模被放大|F2| 倍,輻角逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)q2。,除：F1 的模被縮小|F2| 倍,輻角順時(shí)針旋轉(zhuǎn)q2。,q=q1+q2,q=q1-q2,則 F = F1 F2,q1+q2,q1-q2,F =,F1,F2,=,|F1 |,|F2

4、|,F2= | F2 |,= |F1 |F2 |,2020年8月10日星期一,7,3. 旋轉(zhuǎn)因子ejq,旋轉(zhuǎn)因子 ejq =1q是一個(gè)模等于1，輻角為q的復(fù)數(shù)。 任意一個(gè)復(fù)數(shù)A=|A|ejqa乘以ejq ，等于把A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)q角度，而模|A|保持不變。,都是旋轉(zhuǎn)因子,Aj = jA，等于把 A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o。,= -jA，等于把 A,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o。,e jp = -1,2020年8月10日星期一,8,8-2 正弦量,電路中按正弦規(guī)律變化的電壓或電流，統(tǒng)稱為正弦量。 研究正弦電路的意義是：正弦交流電有很多優(yōu)點(diǎn)，在電力系統(tǒng)和電子技術(shù)領(lǐng)域占有十分重要的地位。 容易產(chǎn)生、傳送和使用?？梢愿鶕?jù)需要

5、，利用變壓器方便地把正弦電壓升高或降低；,電機(jī)、變壓器等電氣設(shè)備，在正弦交流電下具有較好的性能； 正弦量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)、積分、幾個(gè)同頻率正弦量的加減，其結(jié)果仍是同頻率的正弦量，使電路分析計(jì)算變得簡單。 正弦信號是一種基本信號，其分析結(jié)果可以推廣到非正弦周期電流電路中。,2020年8月10日星期一,9,正弦量的時(shí)域表達(dá)式有兩種形式,i = Imcos(wt+fi) i = Imsin(wt+fi) 也稱為瞬時(shí)值表達(dá)式 分析時(shí)不可混用，以免發(fā)生相位錯(cuò)誤。 今后采用的形式以教材為準(zhǔn)： i = Imcos(wt+fi) u = Umcos(wt+fu),綜上：對正弦電路的分析研究具有重要的理論價(jià)值和實(shí)際

6、意義。,2020年8月10日星期一,10,1. 正弦量的三要素（以電流為例）,(1)振幅(幅值、最大值) Im、有效值I (要素之一),在放大器參數(shù)中有時(shí)用峰-峰值表達(dá)。,峰-峰值2Im,i = Imcos(wt + fi),反映正弦量變化幅度的大小。,2020年8月10日星期一,11, 關(guān)于有效值, 周期性電流、電壓的瞬時(shí)值隨時(shí)間而變，為了衡量其平均效應(yīng)，工程上采用有效值來表示。,T,1,0,T,i2 dt,通過比較直流電流 I 和交流電流 i 在相同時(shí)間 T 內(nèi)流經(jīng)同一電阻 R 產(chǎn)生的熱效應(yīng)來確定：,I2RT =,0,T,i2R dt,把 i=Imcos(wt+yi) 代入上式計(jì)算可以得到

7、：,正弦量的有效值與振幅之間的關(guān)系：,Im=,2,I,同理可得：,若一交流電壓有效值為,U = 220V ，,則其最大值為Um311V。,2020年8月10日星期一,12,工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如電網(wǎng)的電壓等級、設(shè)備銘牌的額定值等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐壓水平時(shí)應(yīng)按最大值考慮。 在測量中，交流測量儀表指示的電壓、電流讀數(shù)一般為有效值。 區(qū)分電流、電壓的瞬時(shí)值 ，振幅和有效值的符號：i、u；Im、Um；I、U。,需要注意的是,另外注意： IM (Imax) 指最大有效值。,2020年8月10日星期一,13,(2)角頻率w、頻率f、周期T (要素之

8、二), w ：指正弦量單位時(shí)間內(nèi)變化的電角度，單位rad/s。, f ：正弦量每秒鐘變化的周波數(shù)，單位是Hz。,wT=2p,w、 f、T 之間的關(guān)系,w =2pf,f =,T,1, T：正弦量變化一次所需要的時(shí)間，單位s。,T =,f,1,在工程中，常用頻率區(qū)分電路：如工頻、音頻、中頻、高頻、微波電路等。,反映正弦量變化快慢的參數(shù)。,i = Imcos(wt + fi),2020年8月10日星期一,14,(3)初相角fi (要素之三),注意 同一正弦量，計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，初相位不同。,常取主值：|fi|180o,對任一正弦量，初相可以任意指定。但對多個(gè)同頻率正弦量，應(yīng)相對于同一個(gè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)確定各自的

9、相位。,fi 反映正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)，定義為從靠近原點(diǎn)的最大值到原點(diǎn)的距離用角度來表示。,i = Imcos(wt + fi),若正最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)左側(cè)，則初相位為正，右側(cè)為負(fù)。,t =0時(shí)，正弦量的相位角 (wt + fi) = fi,0,fi=0,2020年8月10日星期一,15,例：已知正弦電流波形如圖， =103rad/s， 1.寫出 i(t) 的表達(dá)式；2.求最大值發(fā)生的時(shí)間t1。,解：1.,i(t) = 100cos(103t + fi),t = 0, 50 = 100cosfi,fi = 60o,由于最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)起點(diǎn)右側(cè), fi = - 60o,i(t) = 100cos(

10、103t - 60o),2. 當(dāng) 103t = 60o,= 3 時(shí)，,出現(xiàn)最大值,t1 =,3,103,= 1.047ms,2020年8月10日星期一,16,2. 同頻率正弦量的相位差j,則：,改變計(jì)時(shí)起點(diǎn)，初相角不同，但相位差不變！,相位差一般取主值，即j | p |。,設(shè)：i=Imcos(wt+fi),等于初相之差。,j = (wt+fu)-(wt+fi),=fu-fi,(1)j0 ，稱 u 超前 i，或 i 滯后 u ，表明 u 比 i 先達(dá)到最大值；,(2)j0 ，稱 i 超前 u，或 u 滯后 i，表明 i 比 u 先達(dá)到最大值；,u=Umcos(wt+fu),j,2020年8月10

11、日星期一,17,j=0，u與i同相,j=90o，u與i正交,j=180o，u與i反相,(3)特殊相位關(guān)系,改設(shè)參考方向時(shí)，,該正弦量的初相改變p，,因此與其它正弦量的相,位差都改變p。,i=Imcos(wt+fi p),2020年8月10日星期一,18,例：計(jì)算下列兩正弦量的相位差。,(1) i1(t) =10cos100pt+(3p/4)A,i2(t) =10cos100pt-(p/2)A,(2) i1(t) =10cos(100pt+30o)A,i2(t) =10cos(100pt-105o)A,(3) u1(t) =10cos(100pt+30o)V,u2(t) =10cos(200pt

12、+45o)V,(4) i1(t) =5cos(100pt-30o)A,i2(t) = -3cos(100pt+30o)A,解：,(1) j =(3p/4)-(p/2),=(5p/4) p,j =(5p/4)-2p = -3p/4,所以,(2) j =30o-(-105o)=135o,(3) w1w2，,(4) i2(t)=3cos(100pt-150o),j =-30o-(-150o)=120o,注意：兩個(gè)正弦量進(jìn)行相位比較時(shí)，應(yīng)滿足同頻率、同函數(shù)、同符號，且在主值范圍比較。,不能進(jìn)行相位比較。,2020年8月10日星期一,19,8-3 相量法的基礎(chǔ),在正弦穩(wěn)態(tài)線性電路中，各支路的電壓和電流(

13、響應(yīng))與電源(激勵(lì))是同頻率的正弦量，因此應(yīng)用KCL、KVL分析正弦電路時(shí)，將遇到正弦量的加減運(yùn)算和積分、微分運(yùn)算，在時(shí)域進(jìn)行這些運(yùn)算十分繁復(fù)，通過借用復(fù)數(shù)表示正弦信號可以使正弦電路分析得到簡化 。,相量表示法的實(shí)質(zhì)是用復(fù)數(shù)表示正弦量。是求解正弦電流電路穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的有效工具。,2020年8月10日星期一,20,根據(jù)疊加定理和數(shù)學(xué)理論，取實(shí)部或虛部進(jìn)行,1. 相量, 正弦量的相量要追溯到歐拉公式。,若 q =wt + fi,則 e j(wt+fi)= cos(wt+fi)+ jsin(wt+fi),分析求解，就能得到全部結(jié)果。,設(shè)：,i = Im cos (wt+fi),則：,i = ReIm e

14、 j(wt+fi) ,= ReIm e jfi e jwt ,其中，,= Im e jfi,這是一個(gè)特殊的復(fù)數(shù)，其特點(diǎn)是輻角隨時(shí)間變化。,這是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的復(fù)數(shù)，,模是該正弦電流的振幅，輻角是初相，稱為相量。,2020年8月10日星期一,21,在分析過程中，考慮的主要問題是：求解振幅或有效值，初相或相位差。,因此，變換簡單易行：,已知：i = Im cos (wt + fi),= Im e jfi,簡寫為,反過來,Um,.,= 300,30o,V,u=300 cos(wt+30o) V,時(shí)域與相量域的映射,在線性電路中，若激勵(lì)都是同頻率的正弦量，則響應(yīng)也都是與激勵(lì)同頻率的正弦量。,2020年

15、8月10日星期一,22, 注意：正弦量與相量的關(guān)系是一種數(shù)學(xué)變換,旋轉(zhuǎn)相量的實(shí)部等于正弦量,正弦量相量，可認(rèn)為是正變換；,相量正弦量，可認(rèn)為是反變換。,是 Im e jfi e jwt 的復(fù)常數(shù)部分。,i = Imcos (wt+fi),是 Ime jfi e jwt 的實(shí)部。,任意時(shí)刻，兩者相對位置不變。因此，可用不含旋轉(zhuǎn)因子ejwt的復(fù)數(shù)表示正弦量。,關(guān)系。不是相等的關(guān)系！,2020年8月10日星期一,23,2. 相量的性質(zhì),(1)線性性質(zhì),k1 i1 k2 i2 ,若 i1 = Im1 cos(wt+fi1),i2 = Im2 cos(wt+fi2),則 i=i1+ i2,. Im,=,

16、. Im1,. Im2,+,. Im1 = Im1,fi1,. Im2 = Im2,fi2,相量也具有比例性質(zhì)：,由疊加性質(zhì)和比例性質(zhì)可知,這是疊加性質(zhì),k i1,. Im1,k,(k1,. I1 k2,. I2 ),2020年8月10日星期一,24,(2) 微分性質(zhì),設(shè) i=Imcos(wt+fi),di,dt,=wImcos(wt+fi +90o ),= Rew,= Rejw,. Im,ejwt ,(jw)n Im,e,. Im = Im,fi,正弦量的微分是一個(gè)同頻正弦量，時(shí)域內(nèi)的一次,其結(jié)果是模變?yōu)閣Im，相位比原相量超前90o。,對高階導(dǎo)數(shù)有,.,Im,jw,= wIm,fi +90

17、o,.,微分，對應(yīng)于相量域內(nèi)乘以jw。,2020年8月10日星期一,25,(3) 積分性質(zhì),設(shè) u=Umcos(wt+fu),udt =,w,Um,cos(wt+fu-90o),(jw)n,U,對n重積分有,udt,則,積分，對應(yīng)于相量域內(nèi)除以jw。,其結(jié)果是模變?yōu)?Um /w)，相位比原相量滯后90o。,正弦量的積分是一個(gè)同頻正弦量，時(shí)域內(nèi)的一次,.,2020年8月10日星期一,26,例題分析,解：變換為相量形式求解,. I1=10,60o,. I2=22,-150o,A,A,60o,jw,= j314,. I1,10,= 3140,60o+90o,= 3140,cos(314t+150o)

18、,jw,. I2,22,-150o - 90o,=,314,= 0.07,120o,所以,所以,= 0.07,cos(314t+120o),2020年8月10日星期一,27,=5+j8.66 A,= -19.05-j11 A,. I1,. + I2,=(5-19.05),+ j(8.66-11),=(-14.05,- j2.34) A,I =,14.052+2.342,=14.24 A,-14.05,-2.34,-170.54o,fi =,+ arctg,-14.05,-2.34,-180o,fi為第3象限角：,=14.24,-170.54o,A,i1+i2,= 14.24,cos(314t-

19、170.54o) A,2020年8月10日星期一,28,引入相量的優(yōu)點(diǎn)是,把時(shí)域問題變?yōu)閺?fù)數(shù)問題；,把微積分方程的運(yùn)算變?yōu)閺?fù)數(shù)形式的代數(shù)方程運(yùn)算；,需要注意的是,相量法實(shí)質(zhì)上是一種變換，通過把正弦量轉(zhuǎn)化為相,相量法只適用于激勵(lì)為同頻正弦量的非時(shí)變線性電路；,相量法用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。,量，而把時(shí)域里正弦穩(wěn)態(tài)分析問題轉(zhuǎn)為頻域里復(fù)數(shù),代數(shù)方程問題的分析；,2020年8月10日星期一,29,1. 三種基本元件VCR的相量形式,(1) 電阻元件,相位關(guān)系：fu=fi,. UR,. IR,fu=fi,. UR,uR = R iR,由比例性質(zhì),. . UR = R IR,UR = R IR,或 IR =

20、 G UR,. IR = IR,有效值關(guān)系：,得相量關(guān)系, 相量模型,相量圖,即電阻元件兩端的電壓與流過它電流同相位 ！,fi,設(shè),則,. UR,= RIR,fi,= UR,fu,8-4 電路定律的相量形式,2020年8月10日星期一,30,(2)電感元件, 相位關(guān)系：電壓超前于電流90o !,有效值關(guān)系： UL=wLIL,. UL,由微分性質(zhì),UL= L(jw) IL,. UL,fu,. IL,fi,= wL,IL,UL, wL具有電阻的量綱，表示限制電流的能力；,或電流滯后于電壓90o !,.,.,與頻率 f 成正比！,2020年8月10日星期一,31,(3)電容元件,. UC,微分性質(zhì),

21、IC = C(jw UC ),.,.,. UC,fi,. IC,fu, (1/wC)也具有電阻的量綱，且與頻率 f 成反比！, 相位關(guān)系：電流超前于電壓90o !,. UC,jwC,1,. IC,有效值關(guān)系：,=,或電壓滯后于電流90o !,wC,IC,UC,=,1,2020年8月10日星期一,32,2. 受控源的相量表示,控制系數(shù)、g、r 和 都是常數(shù)，因此，根據(jù)相量的比例性質(zhì)，可以直接用與正弦量對應(yīng)的相量表示。,用相量表示的CCCS,用瞬時(shí)值表示的CCCS,2020年8月10日星期一,33,3. 基爾霍夫定律的相量形式,同頻率的正弦量加減可以用對應(yīng)的相量形式來進(jìn)行計(jì)算。因此，在正弦電流電路中，KCL和 KVL可用相應(yīng)的相量形式表示：,i(t) = 0,u(t) = 0,線性性質(zhì),. I = 0,. U = 0,表明：流入某一結(jié)點(diǎn)的所有正弦電流用相量表示時(shí)仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時(shí)仍滿足KVL。,2020年8月10日星期一,34,例：試判斷下列表達(dá)式的正、誤