1、定積分,微積分在幾何上有兩個基本問題,1.如何確定曲線上一點處切線的斜率；,2.如何求曲線下方“曲邊梯形”的面積。,直線,幾條線段連成的折線,曲線？,曲邊梯形的面積,1.5.1曲邊梯形的面積,直線x0、x1、y0及曲線yx2所圍成的圖形（曲邊三角形）面積S是多少？,為了計算曲邊三角形的面積S，將它分割成許多小曲邊梯形,對任意一個小曲邊梯形，用“直邊”代替“曲邊” （即在很小范圍內(nèi)以直代曲),演示,當分點非常多（n非常大）時，可以認為f(x)在小區(qū)間上幾乎沒有變化（或變化非常?。?，從而可以取小區(qū)間內(nèi)任意一點xi對應的函數(shù)值f(xi)作為小矩形一邊的長，于是f(xi) x來近似表示小曲邊梯形的面積

2、,表示了曲邊梯形面積的近似值,演示,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當

3、分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,觀察以下演示，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關系。,分割越細，面積的近似值就越精確。當分割無限變細時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S。,下面方案“以直代曲”的具體操作過程,（1）分割,把

4、區(qū)間0，1等分成n個小區(qū)間：,過各區(qū)間端點作x軸的垂線，從而得到n個小曲邊梯形，他們的面積分別記作,（2） 近似代替,（3）求和,（4）取極限,分割,近似代替,求和,取極限,f(xi),f(x1),f(x2),f(xi)xi,在 a, b中任意插 入 n -1個分點,得n個小區(qū)間： xi1 , xi (i=1, 2 , , n),把曲邊梯形分成 n 個窄曲邊梯形,任取xi xi1，xi ，以f (x i) Dxi近似代替第i個窄曲邊梯形的面 積,區(qū)間xi1 , xi 的長 度Dxi xi xi1 ,曲邊梯形的面積近似為：A,分割,近似代換,求和,取極限,（類似方法求汽車行駛的路程）,曲邊梯形的面積近似為：,定積分的概念,(1)分割 在區(qū)間0,1上