1、一、概率密度的概念與性質(zhì),二、常見連續(xù)型隨機變量的分布,三、小結(jié),第四節(jié)連續(xù)型隨機變量及其概率密度,一、概率密度的概念與性質(zhì),1.定義,1,證明,性質(zhì),證明,同時得以下計算公式,注意 對于任意可能值 a ,連續(xù)型隨機變量取 a 的概率等于零.即,證明,由此可得,連續(xù)型隨機變量取值落在某一 區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān),若X是連續(xù)型隨機變量， X=a 是不 可能事件，則有,若 X 為離散型隨機變量,注意,連 續(xù) 型,離 散 型,解,例1,例2,故有,解,(1) 因為 X 是連續(xù)型隨機變量,二、常見連續(xù)型隨機變量的分布,1. 均勻分布,均勻分布的意義,分布函數(shù),解,由題意,R 的概率密度為,故有,例

2、3 設(shè)電阻值 R 是一個隨機變量，均勻分布在 1100 求 R 的概率密度及 R 落在 950 1050 的概率,例4 設(shè)隨機變量 X 在 2, 5 上服從均勻分布, 現(xiàn) 對 X 進行三次獨立觀測 ,試求至少有兩次觀測值 大于3 的概率.,X 的分布密度函數(shù)為,設(shè) A 表示“對 X 的觀測值大于 3 的次數(shù)”,解,即 A= X 3 .,因而有,設(shè)Y 表示3次獨立觀測中觀測值大于3的次數(shù),則,2. 指數(shù)分布,某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無線電元件的壽命 、電力設(shè)備的壽命、動物的壽命等都服從指數(shù)分布.,應(yīng)用與背景,分布函數(shù),例5 設(shè)某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為 =2000的指數(shù)

3、分布(單位:小時). (1)任取一只這種燈管, 求能正常使用1000小時以 上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時以 上,求還能使用1000小時以上的概率.,X 的分布函數(shù)為,解,指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無記憶性”.,3. 正態(tài)分布(或高斯分布),高斯資料,正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征,正態(tài)分布的分布函數(shù),正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如 測量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等 ; 正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量 高度等都近似服從正態(tài)分布.,正態(tài)分布的應(yīng)用與背景,正態(tài)分布下的概率計算,原函數(shù)不是 初等函數(shù),標準正態(tài)分布的概率密度表示為,標準正態(tài)分布,

4、標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為,標準正態(tài)分布的圖形,解,例6,證明,解,例7,例8 證明,證明,(1) 所求概率為,解,例9,4 連續(xù)型隨機變量的概率密度,0,三、小結(jié),2. 常見連續(xù)型隨機變量的分布,正態(tài)分布有極其廣泛的實際背景, 例如測量 誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等 ,正常 情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度, 炮彈的彈落點的分布等, 都服從或近似服從正態(tài) 分布.可以說,正態(tài)分布是自然界和社會現(xiàn)象中最 為常見的一種分布, 一個變量如果受到大量微小 的、獨立的隨機因素的影響, 那么這個變量一般 是一個正態(tài)隨機變量.,3. 正態(tài)分布是概率論中最重要的分布,另一方面,有些分布(如二項分布、泊松分布)的極 限分布是正態(tài)分布.所以,無論在實踐中,還是在理 論上,正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布.,二項分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換,Born: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany) Died: 23 F