1、第三講 矩陣的初等變換,一 初等變換的概念,三 初等行變換法求逆矩陣,矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運(yùn)算 它在解線性方程組、求逆陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸计鹬匾淖饔?二 初等矩陣及其性質(zhì),本講主要討論三個(gè)問題,1 方程組的同解變換與增廣矩陣的關(guān)系,在解線性方程組的過程中 我們可以把一個(gè)方程變?yōu)榱硪粋€(gè)同解的方程 這種變換過程稱為同解變換,一 初等變換的概念,同解變換有,(1) 交換兩個(gè)方程的位置,(2) 把某個(gè)方程乘以一個(gè)非零數(shù),(3) 某個(gè)方程的非零倍加到另一個(gè)方程上,交換(A b) 的第1行與第2行,增廣矩陣的比較,例1,(A b)=,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,4 -

2、6 2 -2 4,3 6 -9 7 9,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,4 -6 2 -2 4,3 6 -9 7 9,(A b)第3行乘以1/2,例1,增廣矩陣的比較,(A b)=,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,4 -6 2 -2 4,3 6 -9 7 9,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,2 -3 1 -1 2,3 6 -9 7 9,(A b) 第2行乘以(2)加到第1行,例如,增廣矩陣的比較,(A b)=,2 -1 -1 1 2,1 1 -2 1 4,4 -6 2 -2 4,3 6 -9 7 9,0 -3 3 -1 -6,1 1 -2 1 4,2

3、-3 1 -1 2,3 6 -9 7 9,2 初等變換定義,初等行變換,(1)交換矩陣的兩行,rirj,row,(2) 以數(shù)k0乘矩陣的某一行,rik,(3)把矩陣的某一行的k倍加到另一行上,ri+krj,初等列變換,(1)交換矩陣的兩列,cicj,column,(2) 以數(shù)k0乘矩陣的某一列,cik,(3)把矩陣的某一列的k倍加到另一列上,ci+kcj,初等變換,初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換,r2r4,例1,r12,-9 3 7 8 -1 1 1 -2 1 3,2 10 -2 -2,r1-r32,-9 3 7 8 -1 1 1 -2 1 3,0 14 -4 -8,初等陣有三種：,二、

4、初等矩陣,對單位矩陣I施以一次初等變換得到的矩陣,第j行乘k加到第i行 =第i列乘k加到第j列,I(i, j),I(i(k),I(i, j(k),第i行與第j行交換 =第i列與第j列交換,第i行乘k =第i列乘k,=I(2, 4),例如，下面是幾個(gè)4階初等矩陣：,r2r4,=I(2, 4),c2c4,=I(3(4),r34,=I(3(4),c34,=I(2,4(k),r2+kr4,=I(2,4(k),c4+kc2,第4行乘k加到第2行 =第2列乘k加到第4列,定理 設(shè)A是一個(gè)mn矩陣,三 初等矩陣的性質(zhì),(1) 對A施行一次初等行變換,相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣,即,定理1 設(shè)A是

5、一個(gè)mn矩陣,三 初等矩陣的性質(zhì),相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的n 階初等矩陣,(2) 對A施行一次初等列變換,即,第j列乘k加到第i列 =第i行乘k加到第j行,例如，設(shè),3,0,1,1,-1,2,0,1,1,A= ，有,I(1, 2)A=,AI(1, 2)=,第一行與第二行交換,第一列與第二列交換,I(1,3(2)A=,AI(1,3(2)=,例如，設(shè),3,0,1,1,-1,2,0,1,1,A= ，有,第三行乘2加到第一行,第一列乘2加到第三列,定理2 初等矩陣都是可逆的，且它們的逆矩陣仍是初等矩陣,(3) I( i , j(k) )-1 = I(i , j(-k),(2) I( i(k) )-1

6、= I( i(k-1) ),(1) I(i, j)-1= I(i, j),證明,(1) I(i, j) I(i, j) = I,(2) I(i(k-1) I(i(k) = I,(3) I(i , j(-k) I( i ,j(k) = I,舉例如下,舉例如下,舉例如下,四 求逆矩陣的初等行變換法,首元: 每行第一個(gè)不為0的元素,首元嚴(yán)格單調(diào)右移動(dòng) (即: 不能停留亦不能回頭),1 階梯形,行簡化階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形,階梯形:,（1）如果有0行,則0 行在最下方,(2）首元 列標(biāo)隨行標(biāo)增加而嚴(yán)格增加,行簡化階梯形：滿足下列條件的階梯形,標(biāo)準(zhǔn)形：,（2） 首元所在列其余的元素全為0,(1) 首元為1,左上

7、角為單位陣其余位置全為0,例1 階梯形,行簡化階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形,5 1 3 8 4 7 2 0 0 2 5 6 8 7 5 0 0 3 4 5 2 6 9 0 0 0 0 0 4 2 8 0 0 0 0 0 0 0 0,E=,例1 階梯形,行簡化階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形,例2 階梯形,行簡化階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形,例 3 階梯形,標(biāo)準(zhǔn)階梯形，標(biāo)準(zhǔn)形,第一步,(1) 在第一列中選一個(gè)非0元作為首元 （一般選較小接近1的數(shù)） 并將此元素交換到a11位置,(2) 將首元變?yōu)?，此列其余元素全變?yōu)?,第二步,選定下一個(gè)首元， 將首元變?yōu)?，此列其余元素全變?yōu)?,將矩陣用初等行變換化為行簡化階梯形的步驟:,第三步,重復(fù)第二

8、步,0 0 0 0 0,第一行乘-2加到第二行,第二行與第三行 交換位置,第二行除以2 第二行乘-5加到第一行,例 1 用初等行變換化為行簡化階梯形,第一行與第二行交換位置,0 0 5 -3,0 0 3 -1,第一行乘-2加到第三行 第一行加到第四行,例 2 用初等行變換化為行簡化階梯形,第一行除以2 第二行除以3,0 0 5 -3,0 0 3 -1,0 0 1 1/3,1 1/2 -1/2 1,1 1/2 0 7/6,0 0 0 -14/3,0 0 0 -2,第二行乘 1/2 加到第一行 第二行乘 -5 加到第三行 第二行乘 -3 加到第四行,1 1/2 0 7/6,0 0 0 -14/3,

9、0 0 0 -2,第三行乘 -3/14 第三行乘 -1/3 加到第二行 第三行乘 -7/6 加到第一行 第三行乘 2 加到第四行,0 3 3,0 2 1,第二行乘 4 加到第一行 第二行乘 -2 加到第三行,0 1 1,第二行除以3,0 1,0 0 - 1,第一行乘 -2 加到第二行 第一行 加到第三行,例 3 用初等行變換化為行簡化階梯形,-1 3 -1 1 -1 -1 4 2 3 -2 2 3 4,A=,例 4 用初等行變換化為行簡化階梯形,第一行乘 -2 加到第二行, 第一行乘-3 加到第三行,1 -1 3 -1 1,0 1 -7 6 0,0 1 -7 6 1,第二行乘 加到第一行 第二

10、行乘-1 加到第三行,0 1 -7 6 0,1 0 -4 5 1,0 0 0 0 1,0 1 -7 6 0,0 0 0 0 1,1 0 -4 5 0,1 1 1 1 1 2 1 0 -3 6 0 1 2 3 6 -3 5 4 3 2 6 1,A=,例 5 用初等行變換化為行簡化階梯形,1 1 1 1 1,0 -1 -2 -3 -6 3,0 1 2 3 6 -3,0 -1 -2 -3 1 -4,0 -1 -2 -5 4,0 1 2 3 6 - 3,0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 7 -7,0 -1 -2 0 1,0 1 2 3 0 3,0 0 0 0 1 -1,0 0 0 0 0 0,2

11、 求逆矩陣的初等行變換法,定理1 任意一個(gè)矩陣Amn經(jīng)過若干次初等變換可以化為,推論 如果A為n階可逆矩陣，則A的標(biāo)準(zhǔn)型為D=I n,證明：,A經(jīng)過若干次初等變換,可化為標(biāo)準(zhǔn)型矩陣D,所以存在可逆矩陣P與Q，使PAQ=D,|P| |A| |Q|=|D|,因?yàn)锳、P、Q都可逆,行列式都不等于零,所以 |D|0，從而 D=I n,標(biāo)準(zhǔn)形,即A可以表示為一些初等矩陣的乘積,=Ps-1P1-1Qt-1 Q1-1,A=Ps-1P1-1IQt-1 Q1-1,P1Ps AQ1 Qt=I,定理2 n 階矩陣A可逆,A可以表示為一些初等矩陣的乘積,證明,充分性是顯然的，只需證必要性,若A可逆，則經(jīng)若干次初等變換

12、可化為I,即存在初等陣P1， ，Ps，Q1， ，Qt，使,求逆矩陣的初等行變換法,如果A可逆，則A-1也可逆,A-1=G1G2 Gk,A-1A=G1G2 Gk A,G1G2 Gk A = I,G1G2 Gk I = A-1,分析如下,G1 G2 Gk為初等陣,對A施以若干初等 行變換化為單位陣I,對單位陣I 施以相同初等行變換化為A-1,初等行變換,特別提示:不能進(jìn)行列變換,A= 的逆矩陣,例1 求矩陣,解,r2-2r1,r3+3r1,r3-2r2,r2+r3,r1-0.5r3,(A I )=,r30.5,練習(xí)：1求下列矩陣的逆,解,(A I ) =,第一行乘 -2 加到第二行 第一行乘 -1

13、 加到第三行,0 -3 -4 -2 1 0,0 1 1 -1 0 1,0 -3 -4 -2 1 0,0 1 1 -1 0 1,第二行與第三行交換位置,0 -3 -4 -2 1 0,0 1 1 -1 0 1,1 0 1 3 0 -2,0 0 -1 -5 1 3,第二行乘 -2 加到第一行 第二行乘 3 加到第三行,1 0 0 -2 1 1,0 1 0 -6 1 4,第三行 加到第一行 第三行加到第二行,練習(xí)：2 求 矩陣的逆,1 2 3,A=,2 2 1,3 4 3 0 0 1,解,(A I)=,1 2 3 1 0 0,2 2 1 0 1 0,3 4 3,0 -2 -6 -3 0 1,1 2 3

14、 1 0 0,0 -2 -5 -2 1 0,0 0 -1 -1 -1 1,1 0 -2 -1 1 0,0 -2 -5 -2 1 0,0 0 -1 -1 -1 1,1 0 0 1 3 -2,0 -2 0 3 6 -5,0 0 1 1 1 -1,1 0 0 1 3 -2,0 1 0 -3/2 -3 5/2,練習(xí)：3 求 矩陣的逆,-6 -1 1 0 0 1,解,(A I)=,-2 -1 6 1 0 0,4 0 5 0 1 0,0 2 -17 -3 0 1,-2 -1 6 1 0 0,0 -2 17 2 1 0,0 0 0 -1 1 1,-2 -1 6 1 0 0,0 -2 17 2 1 0,可知:

15、 A-1不存在,用初等變換解矩陣方程,(1) AX=B,初等行變換,(2) XB=C,初等列變換,(3) AXB=C,C,AXB,例1 解方程 AX=B 其中,1 2 3,A=,2 5,B=,解,AX= B,2 2 1,3 4 3,3 1,4 3,1 2 3 2 5,2 2 1 3 1,3 4 3 4 3,1 2 3 2 5,0 -2 -5 -1 -9,0 -2 -6 -2 -12,1 0 -2 1 -4,0 -2 -5 -1 -9,0 0 -1 -1 -3,1 0 0 3 2,0 -2 0 4 6,0 0 -1 -1 -3,1 0 0 3 2,0 1 0 -2 -3,0 0 1 1 3,例2

16、 解方程 AX=B 其中,1 0 1,A=,3 1,B=,解,AX= B,1 -1 0,0 1 2,1 0,0 4,1 0 1 3 1,1 -1 0 1 0,0 1 2 0 4,1 0 1 3 1,0 -1 -1 -2 -1,0 1 2 0 4,1 0 1 3 1,0 1 1 2 1,0 0 1 -2 3,1 0 0 5 -2,0 1 0 4 -2,0 0 1 -2 3,例3 解方程 XA=A+2X其中,4 2 3,A=,解,XA=A+2X,1 1 0,-1 2 3,3 0 1 3 0 3,2 -1 2 2 1 2,2 1 -1 4 1 -1,1 1 -1 1 -1 1,2 -1 2 2 1

17、2,2 1 -1 4 1 -1,只能進(jìn)行列變換,1 1 -1 1 -1 1,2 -1 2 2 1 2,2 1 -1 4 1 -1,1 1 -1 1 -1 1,0 -3 4 0 3 0,0 -1 1 2 3 -3,1 1 -1 1 -1 1,0 -3 4 0 3 0,0 -1 1 2 3 -3,1 0 0 3 2 -2,0 0 1 -6 -6 9,0 -1 1 2 3 -3,1 0 0 3 2 -2,0 0 1 -6 -6 9,0 -1 0 8 9 -12,1 0 0 3 2 -2,0 0 1 -6 -6 9,0 1 0 -8 -9 12,例4 設(shè)A= ，B= ， C=,求矩陣X 使AXBC,解

18、,XA-1CB-1,注意矩陣次序,例5 解方程 AX=B 其中,-1 2 -3 5 3 -4 4,A=,-1 -2 3 5 -4,B=,解,AX= B,所以,=,例 6 解矩陣方程 X-XA=B 其中,0 1 1 0 -3 2 -3,A=,-2 1 -3 4 1,B=,解,X-XA = B,XE-XA= B,X(E-A)= B,所以,=,(E-A)-1=,練習(xí) 1 解矩陣方程 AX=B 其中,1 -1 2 1 0 1 -1 1,A=,-1 3 4 3 2,B=,練習(xí) 2 解矩陣方程 AXB=C 其中,0 1 0 0 0 0 0 1,A=,-1 0 1,B=,-1 1 0 1 2 0,C=,五

19、矩陣的秩,1 矩陣的秩定義,設(shè)A是mn矩陣，從A中任取k行k列, 交叉位置的元素構(gòu)成的k階行列式,稱為A的一個(gè)k階子式,k 階子式：,例1,選定第1、3兩行及第2、4兩列,例2,選定第1、2、3行及第1、3、4列，,得一個(gè)3階子式,矩陣的秩：,設(shè)A為mn矩陣,A中值不為零的子式最高階數(shù)r,即 存在r階子式不為零，而任何r+1階子式皆為零,則稱r為矩陣A的秩,記為 r(A)=r,rank,(1) 當(dāng)A=O時(shí)，規(guī)定r(A)=0,(3) 滿秩矩陣:,(2) 顯然,(II) 0rmin(m, n),如果 r(A)=min(m, n),(I) r(A)=r(AT),說明,定理2,(1) r(AB) mi

20、n(r(A), r(B),(2) B, C為可逆陣,則,矩陣秩的性質(zhì),定理1 n階方陣A可逆的充要條件是r(A)=n,滿秩方陣,r(A)=r(BA),r(A)=r(AC),矩陣可逆陣,秩不變,(3) 如果A為矩陣,b為列向量,則 r(A)r(A b)r(A)1,矩陣 增加一列,秩最多增加1,定理3,(1) max r(A),r(B) r(A,B) r(A)+ r(B),(2) r(A+B) r(A)+ r(B),(3) r(AB) min r(A), r(B),矩陣和的秩,矩陣積的秩,所以 r(A)=3,例1 已知A=,r(B)=2,r(C)=3,A,B,C均為滿秩陣,同理,因?yàn)?所以,r(A)=3,3 矩陣秩的計(jì)算,(1) 階梯形矩陣的秩,例2,3 4 4 2 2 4 3 0 0 9 1 5 6 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,A=,因?yàn)?所以,r(A)=2,定理1 階梯形矩陣的秩等于 非0行數(shù) （首