1、第5章 頻域分析法,5-1 頻率特性的概念,5-2 頻率特性的極坐標(biāo)圖（乃氏圖）,5-4 頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（伯德圖）,5-5 開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能,5-6 閉環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能,5-3 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)及穩(wěn)定裕度,基本思想： 通過開環(huán)頻率特性的圖形對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。 數(shù)學(xué)模型頻率特性。 主要優(yōu)點(diǎn)：,（1）不需要求解微分方程； （2）形象直觀、計(jì)算量少； （3）可方便設(shè)計(jì)出能有效抑制噪聲的系統(tǒng) ；,5.1 頻率特性,頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。,在穩(wěn)態(tài)情況下，輸出電壓,頻率特性的定義：,基于頻率 的系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系。,與傳遞函數(shù)的關(guān)系：,設(shè)傳遞函數(shù)G(s)可表示成極

2、點(diǎn)形式 -p1、-p2 -pn為G(s)的極點(diǎn)，其可以為實(shí) 數(shù)，也可為復(fù)數(shù)，并且假定其均在根平面的左半平面，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,若在系統(tǒng)輸入端作用一正弦信號(hào)，即 系統(tǒng)輸出 為,拉氏變換,對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)t時(shí)， （i=1,2,n）均隨時(shí)間衰減至零。此時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為:,則 式中 ，,式 表明，線性定常系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出將是與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)，僅僅是幅值和相位不同，幅值為式中 ，相位 ，均是頻率的函數(shù)。,稱幅頻特性， 稱相頻特性， 稱為幅相頻率特性。,：實(shí)頻特性,：虛頻特性,1. 幅相頻率特性(乃氏圖) 系統(tǒng)頻率特性可表示為 用一向量表示某一頻率 下的 向量的長(zhǎng)度 ，向

3、量極坐標(biāo)角為 ， 的正方向取為逆時(shí)針方向，選極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)重合，極坐標(biāo)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)。,頻率特性的圖形表示方法,頻率特性G(j)是輸入頻率的復(fù)變函數(shù)，是一種變換，當(dāng)頻率由0時(shí)，G(j)變化的曲線，即向量端點(diǎn)軌跡就稱為極坐標(biāo)圖。 極坐標(biāo)圖在 時(shí)，在實(shí)軸上的投影為實(shí)頻特性 ，在虛軸上的投影為虛頻特性 。,2. 對(duì)數(shù)頻率特性(Bode圖) Bode圖由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性兩張圖組成。 對(duì)數(shù)幅頻特性是頻率特性的對(duì)數(shù)值L()=20lgM()（dB）與頻率的關(guān)系曲線；對(duì)數(shù)相頻特性是頻率特性的相角 (度)與頻率的關(guān)系曲線。,Bode圖坐標(biāo)系,對(duì)數(shù)幅頻特性的縱軸為L(zhǎng)()=20lgM()采用線性分度，

4、M()每增加10倍，L()增加20dB；橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)分度，即橫軸上的取對(duì)數(shù)后為等分點(diǎn)。 對(duì)數(shù)相頻特性橫軸采用對(duì)數(shù)分度，縱軸為線性分度，單位為度。,0,0,5.2 頻率特性的極坐標(biāo)圖,5.2.1 基本概念,如圖5.1(a)中 曲線所示。由這條曲線形成的圖像就是頻率特性的極坐標(biāo)圖，又稱為 的幅相頻率特性。 如果G(j1)以直角坐標(biāo)形式表示，即 因此，習(xí)慣上把圖5.1(b)的G(j)曲線也叫做G(j)的極坐標(biāo)圖。,圖5.1 頻率特性G(j)的圖示法 （a）G(j)的極坐標(biāo)圖示法； （b）G(j)的直角坐標(biāo)圖示法,比例環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié) 微分環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)） 振蕩環(huán)節(jié)（二階系統(tǒng)） 延遲環(huán)節(jié),5

5、.2.2 典型環(huán)節(jié)頻率特性的極坐標(biāo)圖,（1） 比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： G(s)=K 頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性： 極坐標(biāo)如下圖所示。,圖5.2 比例環(huán)節(jié)頻率特性極坐標(biāo)圖,（2） 積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性： 極坐標(biāo)圖如下圖所示,圖5.3 積分環(huán)節(jié)頻率特性極坐標(biāo)圖,（3）微分環(huán)節(jié) 純微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： G(s)=s 頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性： 極坐標(biāo)圖如下圖所示。,圖5.4 微分環(huán)節(jié)頻率特性極坐標(biāo)圖,（4）一階慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性：,相頻特性：,實(shí)頻特性：,虛頻特性：,圖5.5 慣性環(huán)節(jié)頻率特性極坐標(biāo)圖

6、,( 5 ) 二階振蕩環(huán)節(jié) 二階振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： 頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性：,圖5.6的曲線簇表明，二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性和阻尼比有關(guān)，大時(shí)，幅值M()變化??；小時(shí)，M()變化大。此外，對(duì)于不同的值的特性曲線都有一個(gè)最大幅值Mr存在，這個(gè)Mr被稱為諧振峰值，對(duì)應(yīng)的頻率r稱為諧振頻率。,( 5 ) 延遲環(huán)節(jié) 滯后環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)： 式中 滯后時(shí)間 頻率特性： 幅頻特性： 相頻特性：,圖5.7 延遲環(huán)節(jié)頻率特性極坐標(biāo)圖,設(shè)反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)為: G(s)H(s) 開環(huán)頻率特性為: G(j)H(j) 在繪制開環(huán)極坐標(biāo)曲線時(shí)，可將G(j)H(j) 寫成實(shí)頻和虛頻形式 G(

7、j)H(j) = R() + jI(),5.2.3 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖,或?qū)懗蓸O坐標(biāo)形式 給出不同的，計(jì)算相應(yīng)的R()、I()或M()和 ,即可得出極坐標(biāo)圖中相應(yīng)的點(diǎn)，當(dāng)由0變化時(shí)，用光滑曲線連接就可得到系統(tǒng)的極坐標(biāo)曲線，又稱為乃氏曲線（Nyquist曲線）。 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 繪制系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖。,根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v的不同(v0，1，2)，控制系統(tǒng)可以分為0型系統(tǒng)、型系統(tǒng)、型系統(tǒng)、型系統(tǒng)等。 （1）0型系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線 其頻率特性為：,(2)型系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線,其頻率特性為：,(2)型系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線,例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)開環(huán)Nyquist

8、圖并求與實(shí)軸的交點(diǎn)。,Nyquist圖與實(shí)軸相交時(shí),(3)型系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線 其頻率特性為：,例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖。,1、確定幅相曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)，方法如下：,（）起點(diǎn)：此時(shí) ，除比例、 積分和微分環(huán)節(jié)外，其他環(huán)節(jié)在起點(diǎn) 處幅值為1，相角為0，因此在起點(diǎn)處 有：,(4)總結(jié)（繪制系統(tǒng)開環(huán)奈氏曲線）,可得低頻段乃氏圖：,（1）起點(diǎn)（低頻段）：,（）終點(diǎn)（高頻段）：此時(shí)，這時(shí)頻率特性與分子分母多項(xiàng)式階次之差有關(guān)。分析可得如下結(jié)論：,可得高頻段乃氏圖：,（）乃氏圖與虛軸交點(diǎn):,（）曲線與實(shí)軸交點(diǎn):令虛部為,2、確定乃氏圖與實(shí)軸、虛軸交點(diǎn),令實(shí)部為,例：開環(huán)系統(tǒng)的

9、頻率特性為 試?yán)L制該系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖,解: (1)本系統(tǒng)中n=3,m=0,n-m=3.v=1,(2)確定起點(diǎn)和終點(diǎn),起點(diǎn)處:相角為-90，幅值為； 終點(diǎn)處:相角為-903=-270 ，幅值為0；,(3)確定乃氏曲線與實(shí)軸、虛軸交點(diǎn)；,曲線與實(shí)軸交點(diǎn)：,令 ImG(j)H(j)=0 求出=10 代入頻率特性的實(shí)部得ReG(j10)H(j10)=-0.4， 乃氏圖與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為(-0.4,j0)。,曲線與虛軸交點(diǎn)：,令ReG(j)H(j)=0，求出=。 表明幅相特性曲線只在坐標(biāo)原點(diǎn)處與虛軸相交。,5.3 乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)及穩(wěn)定裕度,控制系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)所需要 解決的首要問題。,穩(wěn)定

10、的充分必要條件：系統(tǒng)的特征根都具有負(fù)實(shí)部 。 時(shí)域穩(wěn)定判據(jù)：ROUTH判據(jù)，古爾維茨。 頻域穩(wěn)定判據(jù)：Nyquist判據(jù)(簡(jiǎn)稱奈氏判據(jù)),頻域穩(wěn)定判據(jù)的特點(diǎn)：根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線判定 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并能確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。,Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的優(yōu)點(diǎn) 圖解法、幾何判據(jù)，簡(jiǎn)單、直觀、計(jì)算量?。▌谒?赫爾維茨判據(jù)是代數(shù)判據(jù)）。 可以不必知道系統(tǒng)的微分方程和傳遞函數(shù)，而只依靠解析法或?qū)嶒?yàn)法獲得的開環(huán)頻率特性便可應(yīng)用。 有助于建立相對(duì)穩(wěn)定性的概念。 Nyquist判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：復(fù)變函數(shù)論中的映射定理，又稱幅角定理。,一、映射定理（幅角定理） 1. s平面和F(s)平面 之間的映射關(guān)系 設(shè)

11、有一復(fù)變函數(shù) s為復(fù)變量，以s復(fù)平面上的s=+j表示。F(s) 為復(fù)變函數(shù)，記F(s)U + jV 。 假設(shè)s平面上除了有限奇點(diǎn)之外的任一點(diǎn)s，復(fù)變函數(shù)F(s)為解析函數(shù)，那么，對(duì)于s 平面上的每一解析點(diǎn)，在F(s) 平面上必定有一個(gè)對(duì)應(yīng)的映射點(diǎn)（s平面和F(s)平面 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系）。,因此，如果在s平面畫一條封閉曲線s，并使其不通過F(s) 的任一奇點(diǎn)，則在F(s) 平面上必有一條對(duì)應(yīng)的映射曲線F，如下圖所示,s 平面與F(s) 平面的映射關(guān)系,注意：當(dāng)s 平面上的曲線s不包圍F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)時(shí)， F(s)平面上必定不包圍坐標(biāo)原點(diǎn)。,如果 s以順時(shí)針方向包圍F(s)的一個(gè)零點(diǎn)，,F(s

12、)平面將以順時(shí)針方向包圍原點(diǎn)一次。,如果s以順時(shí)針方向包圍F(s)的一個(gè)極點(diǎn)，,F(s)平面將以逆時(shí)針方向包圍原點(diǎn)一次。,兩點(diǎn)說明： 若在s平面上的封閉曲線s是沿著順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的，則在F(s) 平面上的映射曲線F的運(yùn)動(dòng)方向可能是順時(shí)針的，也可能是逆時(shí)針的，這取決于F(s) 函數(shù)的特性; 我們感興趣的不是映射曲線F的形狀，而是它包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)和運(yùn)動(dòng)方向，因?yàn)檫@兩者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)（都與F(s) 的相角變化有關(guān)系）。,2.復(fù)變函數(shù)F(s)的相角表示及其變化 復(fù)變函數(shù)F(s)的相角可表示為 假定在s 平面上的封閉曲線s包圍了F(s) 的一個(gè)零點(diǎn)z1，而其他零極點(diǎn)都位于封閉曲線之外； 當(dāng)s

13、沿著s平面上的封閉曲線s順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí)，向量(sz1)的相角變化2 弧度，而其他各相量的相角變化為零； 這意味著在F(s)平面上的映射曲線F沿順時(shí)針方向圍繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，也就是向量F(s)的相角變化了2 弧度。,封閉曲線包圍z1時(shí)的映射情況,若s平面上的封閉曲線s包圍著F(s) 的Z個(gè)零點(diǎn)，則在F(s)平面上的映射曲線F將按順時(shí)針方向圍繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)Z周； 用類似分析方法可以推論，若s平面上的封閉曲線s包圍了F(s) 的P個(gè)極點(diǎn)，則當(dāng)s沿著s順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí)，在F(s) 平面上的映射曲線F將按逆時(shí)針方向圍繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P周。,3. 映射定理 映射定理：設(shè)s平面上的封閉曲線s包圍了復(fù)變函

14、數(shù)F(s)的P個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn)，并且此曲線不經(jīng)過F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)，則當(dāng)復(fù)變量s沿封閉曲線s順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上的映射曲線F包圍坐標(biāo)原點(diǎn)次數(shù)（N= Z P）。 N0：順時(shí)針方向包圍 N0：逆時(shí)針方向包圍 N=0：不包圍 可見，F(xiàn)平面上曲線繞原點(diǎn)的周數(shù)和方向與s平面上封閉曲線包圍F(s)的零極點(diǎn)數(shù)目有關(guān)。,二、Nyquist穩(wěn)定性判據(jù) 1. 輔助函數(shù) 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 稱如下F(s)為輔助函數(shù),輔助函數(shù)特點(diǎn)： 輔助函數(shù)是閉環(huán)與開環(huán)特征多項(xiàng)式之比。F(s)的零點(diǎn)為系統(tǒng)特征方程的根（閉環(huán)極點(diǎn)）s1、s2、sn，而F(s) 的極點(diǎn)則為系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)p1、p2、pn。 F(s

15、) 的零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。 F(s) 與開環(huán)傳函只差1。 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是，特征方程的根，即F(s) 的零點(diǎn)，都位于s 平面的左半部。,2. 乃氏回線 為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，需要檢驗(yàn)F(s)是否有位于s平面右半部的零點(diǎn)。 Nyquist回線(簡(jiǎn)稱乃氏回線)：一條包圍整個(gè)s 平面右半部的按順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)的封閉曲線。,乃氏回線由兩部分組成： 一部分是沿著虛軸由下向上移動(dòng)的直線段Cl，在此線段上sj， 由變到。 另一部分是半徑為無窮大的半圓C2。 如此定義的封閉曲線肯定包圍了F(s)的位于s平面右半部的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)。,3. Nyquist穩(wěn)定判據(jù)(判據(jù)1） 設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s) 在

16、s平面的右半部有Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。根據(jù)映射定理，當(dāng)s 沿著s平面上的乃氏回線移動(dòng)一周時(shí)，在F(s) 平面上的映射曲線CF將圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N = ZP周。 由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，F(xiàn)(s) 在s 平面右半部無零點(diǎn)，即Z0。因此可得以下的穩(wěn)定判據(jù):,Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（第一種表述方法）: 如果在s平面上，s沿著乃氏回線順時(shí)針方向移動(dòng)一周時(shí)，在F(s)平面上的映射曲線CF 圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) P周，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的（P為不穩(wěn)定開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目）。 如果NP，說明閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)分布在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)ZP+N。 如果開環(huán)穩(wěn)定，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：映射曲線CF

17、 圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)的圈數(shù)為N=0。,根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程有 F(s)的映射曲線CF圍繞原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況，相當(dāng)于G(s)H(s)的封閉曲線CGH圍繞(1，j0)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況。,乃氏曲線映射在F(s) 平面和G(s)H(s) 平面上,繪制映射曲線CGH 的方法是： 對(duì)應(yīng)于C1的映射曲線：令sj代入G(s)H(s)，得到開環(huán)頻率特性 G(j)H(j)，畫出乃氏圖，再畫出其對(duì)稱于實(shí)軸的、 從0變到的那部分曲線。 對(duì)應(yīng)于 的映射曲線：由于在實(shí)際系統(tǒng)中nm，當(dāng)nm時(shí)G(s)H(s) 趨近于零，nm時(shí)G(s)H(s)為實(shí)常數(shù)。 因此，繪制出從變化到的開環(huán)頻率特性，就構(gòu)成了完整的映射曲線CGH 。,Nyquist穩(wěn)定

18、判據(jù)（第二種表述方法）：閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是，當(dāng) 從變化到時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)按逆時(shí)針方向包圍(1, j0)點(diǎn)P周，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，P為位于s 平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目。 如果NP，說明閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)分布在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)ZP+N。 如果開環(huán)穩(wěn)定，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：映射曲線CGH圍繞(1, j0)的圈數(shù)為N=0。,例1 已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,試用奈氏判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,該系統(tǒng) 穩(wěn)定,例2 已知開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制(1) K=5，(2) K=15時(shí)的乃氏圖，并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,+,+,作業(yè)：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)，其開環(huán)傳遞函

19、數(shù)為 試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,解 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 作出=0+變化時(shí)G(j)H(j)曲線如圖5-32所示，鏡像對(duì)稱得：-0變化時(shí)G(j)H(j) 如圖5-32虛線所示。 系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，有一個(gè)位于s平面的右極點(diǎn)，即P=1。,圖5-32 例5-7的極坐標(biāo)圖,從G(j)H(j)曲線看出，當(dāng)K1時(shí)，Nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)一圈，即N=1，Z=N-P=0則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 當(dāng)K1時(shí)，Nyquist曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，N=0，Z=N+P=1則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)有一個(gè)右極點(diǎn)。,4. Nyquist穩(wěn)定判據(jù)(判據(jù)2）-虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)的 Nyquist穩(wěn)定判據(jù),虛軸上

20、有開環(huán)極點(diǎn)的情況通常出現(xiàn)在系統(tǒng)中有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的時(shí)候，即在s平面的坐標(biāo)原點(diǎn)有開環(huán)極點(diǎn)。 這時(shí)不能直接應(yīng)用前面給出的乃氏回線。（因?yàn)橛成涠ɡ硪蟠嘶鼐€不經(jīng)過F(s)的奇點(diǎn)?。?為了在這種情況下應(yīng)用乃氏判據(jù)，可以選擇新的乃氏回線。,虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)的乃氏回線,虛軸上無開環(huán)極點(diǎn)的乃氏回線,兩種乃氏回線的區(qū)別僅在于： 虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)的乃氏回線經(jīng)過以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以無窮小量為半徑的，在s 平面右半部的小半圓，繞過了開環(huán)極點(diǎn)所在的原點(diǎn)。當(dāng)0時(shí)，此小半圓的面積也趨近于零。 因此，F(xiàn)(s)的位于s平面右半部的零點(diǎn)和極點(diǎn)均被新乃氏回線包圍在內(nèi)。而將位于坐標(biāo)原點(diǎn)處的開環(huán)極點(diǎn)劃到了復(fù)平面的左半部。 這樣處理滿足

21、了乃氏判據(jù)的要求（應(yīng)用乃氏判據(jù)時(shí)必須首先明確位于s平面右半部和左半部的開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目）。,半徑無窮小半圓對(duì)應(yīng)的G(s)H(s)曲線 當(dāng)s沿著上述小半圓移動(dòng)時(shí)，有 當(dāng)從0- 沿小半圓變到0+ 時(shí)，s按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了180。 G(s)H(s)在其平面上的映射為, 為開環(huán)系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)數(shù)目。,可見，當(dāng)s沿著小半圓從=0-變化到=0+時(shí)，角從90經(jīng)0變化到90，這時(shí)在G(s)H(s)平面上的映射曲線將沿著半徑為無窮大的圓弧按順時(shí)針方向從90經(jīng)過0轉(zhuǎn)到90。即 ：0-0+； ：90090； () ：90 090,開環(huán)傳遞函數(shù)如下：,1、試確定開環(huán)放大倍數(shù)K的臨界值Kc與時(shí)間常數(shù)的關(guān)系。,從相角條

22、件解出，,解出：,，把0代入幅值條件，,因此，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：,設(shè)T=2，,2、令T=2，K取不同值，,(1.5)作圖，用奈魁斯特,穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,K1.5，不包圍(-1,j0)點(diǎn)，閉環(huán)穩(wěn)定。,K=1.5，穿過(-1,j0)點(diǎn)2次， ,系統(tǒng)存在2個(gè)共軛虛根， 。閉環(huán)臨界穩(wěn)定。,K1.5，順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)2次,閉環(huán)不穩(wěn)定。,K1.5,K=1.5,K1.5,開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng),3、畫出該系統(tǒng)的根軌跡證明上述結(jié)論。,、m=0，n=3，3條根軌跡。,、實(shí)軸上根軌跡。,、漸近線：坐標(biāo)：,夾角：,、與實(shí)軸交點(diǎn)：,，另一解舍去。,、與虛軸交點(diǎn)：,求出K*=0.75，即K=1.5為穩(wěn)定

23、邊界條件。根據(jù)輔助方程,求出,結(jié)論與利用奈氏穩(wěn)定判據(jù)完全相同。,從根軌跡上分析，,K1.5，閉環(huán)根軌跡均在s左半平面，穩(wěn)定。,K=1.5，閉環(huán)系統(tǒng)有2個(gè)虛根， ，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。,K1.5,閉環(huán)系統(tǒng)始終有2個(gè)實(shí)部為正的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,= 0,相對(duì)穩(wěn)定性：若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有右半平面的極點(diǎn)，且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么乃氏曲線G(j)H(j)離(1, j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高；反之，G(j)H(j)離(1, j0)點(diǎn)越近，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低；如果G(j)H(j)穿過(1, j0)點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 穩(wěn)定裕度：衡量閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)，常用的有相位裕量和增益裕

24、量 Kg。,5. 系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性和穩(wěn)定裕度,（a）穩(wěn)定系統(tǒng)的奈氏曲線,（b）不穩(wěn)定系統(tǒng)的奈氏曲線,1. 相位裕量 在頻率特性上對(duì)應(yīng)于幅值M()1的角頻率稱為剪切頻率(截止頻率)，以c表示，在剪切頻率處，相頻特性距180線的相位差叫做相位裕量。即 上圖(a)表示的具有正相位裕量的系統(tǒng)不僅穩(wěn)定，而且還有相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定儲(chǔ)備。 相角裕度也叫相位穩(wěn)定性儲(chǔ)備。,2. 增益裕量Kg 在相頻特性等于180的頻率g （穿越頻率）處，開環(huán)幅頻特性M(g)的倒數(shù)，稱為增益裕度，記做Kg 。即 在乃氏圖中，乃氏曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即為1/Kg ，它代表在頻率g處開環(huán)頻率特性的模。顯然，對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，1/Kg1

25、，如圖(a) 所示；對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)有1/Kg1，如圖 (b) 所示。,5.4 頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）,5.4.1 基本概念,Bode圖由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性兩張圖組成。 對(duì)數(shù)幅頻特性是頻率特性的對(duì)數(shù)值L()=20lgM()（dB）與頻率的關(guān)系曲線；對(duì)數(shù)相頻特性是頻率特性的相角 (度)與頻率的關(guān)系曲線。,(1)比例環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)的頻率特性為 顯然，它與頻率無關(guān)。相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性（都與無關(guān)的常量）,5.4.2 典型環(huán)節(jié)頻率特性的伯德圖,比例環(huán)節(jié)的Bode圖,比例環(huán)節(jié)的Nyquist圖,（2）積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的頻率特性為 其幅頻特性和相頻特性和對(duì)數(shù)

26、幅頻特性和相頻特性為,積分環(huán)節(jié)的Bode圖,對(duì)數(shù)幅頻特性為一條斜率為20dB/dec的直線，此線通過L()=0，=1的點(diǎn) 。,幅頻特性與角頻率成反比，相頻特性恒為90,積分環(huán)節(jié)的Nyquist圖,對(duì)數(shù)坐標(biāo)系,積分環(huán)節(jié)L(),-20,-20,-20,（3）微分環(huán)節(jié) 微分環(huán)節(jié)的頻率特性為 其幅頻特性和相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為,微分環(huán)節(jié)的Bode圖,其對(duì)數(shù)幅頻特性為一條斜率為20dB/dec的直線，它與0dB線交于=1點(diǎn)。,微分環(huán)節(jié)的幅頻特性等于角頻率，而相頻特性恒為90。,微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖,+20,+20,+20,微分環(huán)節(jié)L(),（4）一階慣性環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié)的頻率特性,幅頻特性

27、和相頻特性,一階慣性環(huán)節(jié)頻率特性Nyquist圖,對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為,低頻段： 高頻段：,1/T是兩條漸近線的交點(diǎn)，稱為交接頻率，或叫轉(zhuǎn)折頻率、轉(zhuǎn)角頻率。(這是一個(gè)很重要的概念)。,慣性環(huán)節(jié)的Bode圖,MATLAB繪制的慣性環(huán)節(jié)的Bode圖,兩點(diǎn)說明： 慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差,由表可知，在轉(zhuǎn)角頻率處（=1/T)誤差達(dá)到最大值。,()是關(guān)于1/T,()=-45點(diǎn)中心對(duì)稱的。,慣性環(huán)節(jié)L(),-20,-20,26dB,（5）一階微分環(huán)節(jié) 頻率特性 幅頻特性和相頻特性、對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為,一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖與慣性環(huán)節(jié)的Bode圖關(guān)于橫軸對(duì)稱。,一階微分環(huán)節(jié)

28、的Nyquist圖,一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖,慣性環(huán)節(jié),一階微分,頻率特性互為倒數(shù)時(shí)： 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于零分貝線對(duì)稱； 相頻特性曲線關(guān)于零度線對(duì)稱。,一階微分L(),+20,+20,（6)二階振蕩環(huán)節(jié)(要重視！) 頻率特性 幅頻特性和相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性,二階振蕩環(huán)節(jié)頻率特性Nyquist圖,低頻段： 高頻段： 其對(duì)數(shù)幅頻特性可用上述低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示（如下圖所示）。,二階振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性可作如下簡(jiǎn)化(不考慮阻尼比)：,二階振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖,低頻段和高頻段的兩條直線相交處的交接頻率為=1/T，稱為二階振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率。 在交接頻率附近，對(duì)數(shù)幅

29、頻特性與漸近線存在一定的誤差，其值取決于阻尼比的值，阻尼比越小，則誤差越大。 其相頻特性關(guān)于1/T,()=-90點(diǎn)中心對(duì)稱。,二階振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差（dB）,七、遲后環(huán)節(jié) 頻率特性 幅頻特性和相頻特性 對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性,Nyquist圖是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，半徑為1的圓,如果用線性坐標(biāo)，則遲后環(huán)節(jié)的相頻特性為一條直線,延遲環(huán)節(jié)的Bode圖,延遲環(huán)節(jié)的Nyquist圖,1. Bode圖繪制的概述和例題分析 可見，開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性等于各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性之和；系統(tǒng)開環(huán)相頻等于各環(huán)節(jié)相頻之和。 將各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性用其漸近線代替，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算的優(yōu)點(diǎn)（乘除運(yùn)算對(duì)數(shù)化后

30、變?yōu)榧訙p），可以很容易繪制出開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性。,5.4.3 系統(tǒng)開環(huán)伯德圖的繪制,例 繪制開環(huán)傳遞函數(shù) 的零型系統(tǒng)的Bode圖。 解 系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別,Bode圖,實(shí)際上，在熟悉了對(duì)數(shù)幅頻特性的性質(zhì)后，不必先一一畫出各環(huán)節(jié)的特性，然后相加，而可以采用更簡(jiǎn)便的方法。 由上例可見，零型系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段為20lgK的水平線，隨著 的增加，每遇到一個(gè)交接（轉(zhuǎn)折）頻率，對(duì)數(shù)幅頻特性就改變一次斜率。,例 設(shè)型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制系統(tǒng)的Bode圖。 解:系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為,Bode圖,不難看出，此型系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段斜率為20dB/dec，它（或

31、者其延長(zhǎng)線）在 =1處與L1()=20lgK的水平線相交。在交接頻率=1/T處，幅頻特性斜率由20dB/dec變?yōu)?0dB/dec。,2. 系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性有如下特點(diǎn) 低頻段的斜率為20dB/dec，為開環(huán)系統(tǒng)中所包含的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。 低頻段直線（若存在小于1的交接頻率時(shí)則為其延長(zhǎng)線）在 1處的對(duì)數(shù)幅值為201gK。 在典型環(huán)節(jié)的交接（轉(zhuǎn)折）頻率處，對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率要發(fā)生變化，變化的情況取決于典型環(huán)節(jié)的類型 如遇到G(s)(1+Ts)1的環(huán)節(jié)，交接頻率處斜率改變20dB/dec； 如遇二階振蕩環(huán)節(jié) ，在交接頻率處斜率就要改變40dB/dec，等等。,3. 繪制對(duì)數(shù)幅頻特性的步

32、驟歸納如下 (1) 將開環(huán)頻率特性分解為典型環(huán)節(jié)相乘形式（時(shí)間常數(shù)形式）且都是標(biāo)準(zhǔn)形式（尾1形式） ； (2) 求出各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率（各環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)），將其從小到大排列為1，2 3 ，并標(biāo)注在 軸上； (3) 繪制低頻漸近線（1左邊的部分），這是一條斜率為-20dB/dec 的直線，它或它的延長(zhǎng)線應(yīng)通過(1，20lgK)點(diǎn),(4) 隨著的增加，每遇到一個(gè)典型環(huán)節(jié)的交接頻率，就按上述方法改變一次斜率； (5) 必要時(shí)可用漸近線和精確曲線的誤差表，對(duì)交接頻率附近的曲線進(jìn)行修正，以求得更精確曲線。 (6) 對(duì)數(shù)相頻特性可以由各個(gè)典型環(huán)節(jié)的相頻特性相加而得，也可以利用相頻特性函數(shù)()直接計(jì)算。,最小相