1、,12.5 偏導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用,1.參數(shù)方程:,回顧及定義,空間曲線的表示與光滑曲線,其向量形式:,光滑曲線.,空間曲線的一般方程,相應(yīng)光滑性要求其Jacobi矩陣是滿秩的.,空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.,2、空間曲線的一般方程,直線的兩點(diǎn)式方程,直線的對(duì)稱式方程 點(diǎn)向式方程 標(biāo)準(zhǔn)方程,空間直線的一般方程,平面的點(diǎn)法式方程,其中法矢量,已知點(diǎn),平面的一般方程,平面的截距式方程,平面的三點(diǎn)式方程,設(shè)空間曲線的方程,一、空間曲線的切線與法平面,考察割線趨近于極限位置切線的過(guò)程,上式分母同除以,割線 的方程為,曲線在M處的切線方程,切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量.,法平面：過(guò)M點(diǎn)且與

2、切線垂直的平面.,解,切線方程,法平面方程,1.空間曲線方程為,法平面方程為,特殊地：,2.空間曲線方程為,切線方程為,法平面方程為,implicit,另一方面,注意到,定理12.5.1 曲線,在 點(diǎn)的法平面就是,由梯度向量grad F( ) 和grad G( ) 張成的過(guò) 的平面.,(P192),所求切線方程為,法平面方程為,設(shè)曲面方程為,二、曲面的切平面與法線,其中F在D上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足,即曲面S是光滑的.,考察曲面S過(guò)點(diǎn) 的任意一條光滑曲線,此表明曲面S上過(guò) 的任一光滑曲線在 點(diǎn)的切線都與向量 垂直，所以這些切線都在一張平面上 . 平面稱為曲面S在點(diǎn) 的切平面 ，它的法向量 稱為S

3、在 點(diǎn)的法向量.,由于曲線 在曲面S上,因此,曲面在 處的法向量:,法線方程為,切平面方程為,通過(guò)點(diǎn),而垂直于切平面的直線 稱為曲面在該點(diǎn)的法線.,特殊地：空間曲面方程形為,曲面在 處的切平面方程為,曲面在 處的法線方程為,令,切平面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)的增量,因?yàn)榍嬖?處的切平面方程為,解,切平面方程為,法線方程為,解,令,切平面方程,法線方程,解,設(shè) 為曲面上的切點(diǎn),切平面方程為,依題意，切平面方程平行于已知平面，得,因?yàn)?是曲面上的切點(diǎn)，,所求切點(diǎn)為,滿足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),S在 點(diǎn)的法向量（c.f. P198）,切平面方程為,法線方程,例12.5.4 求曲面,例12.5.5 已知曲面,例12.5.6 證明兩球面,兩曲線交點(diǎn)處的夾角; 兩曲面交線上一點(diǎn)處的夾角; 兩曲面正交.,空間曲線的切線與法平面（關(guān)鍵在切向量）,（直線：點(diǎn)向式；平面：點(diǎn)法式）,三、小結(jié),特殊地：,曲面的切平面與法線(關(guān)鍵在法向量),思考題,思考題解答,設(shè)切點(diǎn),依題意知法矢量為,切點(diǎn)滿足曲面和平面方程,隱函數(shù)的求導(dǎo)公式,附錄：隱函數(shù)存在唯一性定理及求導(dǎo)法則,另外,反函數(shù)組見(jiàn)P185定理12.4.5.,return,設(shè)曲面方程為,附錄:曲面的切平面,參看華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)分