1、1.3二項(xiàng)式定理庖丁巧解牛知識(shí)巧學(xué) 一、二項(xiàng)式定理1.公式(a+b)n=(nN*).對(duì)二項(xiàng)式公式，令a=1,b=x，則得一個(gè)比較常用的公式：(1+x)n=1+xn.（1）(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式共有1項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)（0,1，2,，）叫做二項(xiàng)式系數(shù)；（2）各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù). 方法歸納 （1）字母的冪指數(shù)按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由逐次減1直到零，字母的冪指數(shù)按升冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到;（2）由于二項(xiàng)式定理表示的是一個(gè)恒等式，在二項(xiàng)展開(kāi)式中，有關(guān)系數(shù)的或組合數(shù)中一些和的問(wèn)題，可對(duì)照二項(xiàng)展開(kāi)式，對(duì)、賦以特殊值，是解決這類(lèi)問(wèn)題的基本方法;(3)有關(guān)三項(xiàng)展開(kāi)問(wèn)題

2、，可將三項(xiàng)中某兩項(xiàng)看做一項(xiàng)，然后利用二項(xiàng)式定理處理.（4）二項(xiàng)式系數(shù)只與第n項(xiàng)有關(guān)，與a,b的大小無(wú)關(guān).2.通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開(kāi)式中第1項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，即Tk+1=an-kbk.（1）通項(xiàng)公式表示的是二項(xiàng)展開(kāi)式中的任意一項(xiàng)，只要與確定，該項(xiàng)也隨之確定；對(duì)于一個(gè)具體的二項(xiàng)式，它的二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)依賴于；（2）通項(xiàng)公式表示的是第1項(xiàng)，而非第項(xiàng)；（3）公式中的第一個(gè)量與第二個(gè)量的位置不能顛倒. 疑點(diǎn)突破 利用通項(xiàng)公式可以解決以下問(wèn)題：（1）求指定項(xiàng)；（2）求特征項(xiàng)；（3）求指定項(xiàng)、特征項(xiàng)的系數(shù).在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）要能準(zhǔn)確地寫(xiě)出通項(xiàng)，特別注意符號(hào)問(wèn)題；（2）要將通項(xiàng)中的系數(shù)和字

3、母分離開(kāi)來(lái)，以便解決有關(guān)問(wèn)題；（3）通項(xiàng)公式中含有a,b,n,k,Tk+1五個(gè)元素，只要知道其中的四個(gè)元素，就可以求第五個(gè)元素，在有關(guān)二項(xiàng)式定理的問(wèn)題中，常遇到已知這五個(gè)元素中的若干個(gè)，求另外幾個(gè)元素的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題一般是利用通項(xiàng)公式，把問(wèn)題歸納為解方程或方程組，這里必須注意是正整數(shù)，是非負(fù)整數(shù)，且.二、二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì)二項(xiàng)展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)(r=0,1,2,，n)叫做展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù).它們是一組僅與二項(xiàng)式的冪指數(shù)有關(guān)的1個(gè)組合數(shù)，與a,b無(wú)關(guān).其性質(zhì)如下：（1）對(duì)稱性：在二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.事實(shí)上，這一性質(zhì)可以由得到.（2）增減性與最大值：如果二項(xiàng)式的

4、冪指數(shù)是偶數(shù)，那么其展開(kāi)式中間一項(xiàng)，即的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果是奇數(shù)，那么其展開(kāi)式中間兩項(xiàng)與的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和：=2n，且奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即+=2n-1. 方法點(diǎn)撥 對(duì)形如(ax+b)n,(a2+bx+c)m的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令=1即可，對(duì)形如(ax+by)n的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令=1即可. 辨析比較 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念.如(a-b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式只需把-看成代入原來(lái)的二項(xiàng)式定理可得：Tr+1=(-1)ran-rbr，則第1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，而第1項(xiàng)的系數(shù)是(-1)r. 知識(shí)拓展 如

5、求（a+bx）n展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A1,A2,，An+1，設(shè)第1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有從而解出的值即可.問(wèn)題探究問(wèn)題1什么叫做二項(xiàng)式系數(shù)？什么叫做二項(xiàng)式項(xiàng)的系數(shù)？它們本質(zhì)相同嗎？有什么區(qū)別？ 思路:(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式共有1項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)(k0,1,2,，n)叫做二項(xiàng)式系數(shù).而二項(xiàng)式項(xiàng)的系數(shù)是在二項(xiàng)式系數(shù)的前面加相應(yīng)符號(hào).二者是有區(qū)別的，如(a+bx)n的展開(kāi)式中，第1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，而第1項(xiàng)的系數(shù)為an-rbr 探究:在有關(guān)二項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題中，要注意二項(xiàng)式系數(shù)與總分項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系，同時(shí)注意“取特殊值法”在求系數(shù)和中的作用.如在（1+2

6、x）7的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)是T4=17-3（2x）3，其二項(xiàng)式系數(shù)是，則第4項(xiàng)的系數(shù)是23=280，它們既有區(qū)別，又有聯(lián)系.求二項(xiàng)式系數(shù)的和是2n，求二項(xiàng)展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)和一般用賦值法解決.問(wèn)題2在數(shù)的整除問(wèn)題中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問(wèn)題：今天是星期天，220天后是星期幾？11827的末位數(shù)字是幾？34n+2+5m+1能被14整除嗎？等等.你能對(duì)此類(lèi)問(wèn)題提供一種較好的解決方法嗎？試說(shuō)明之. 并由此談?wù)勀銓?duì)二項(xiàng)式定理的理解. 思路:對(duì)類(lèi)似的整除問(wèn)題，可以借助于二項(xiàng)式定理來(lái)解決.把一個(gè)數(shù)的指數(shù)冪的底數(shù)分解為兩個(gè)數(shù)的和或差，利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，對(duì)展開(kāi)項(xiàng)的數(shù)字特征進(jìn)行分析. 對(duì)二項(xiàng)式定理的理解應(yīng)注意它是

7、一個(gè)恒等式，左邊是二項(xiàng)式冪的形式.表示簡(jiǎn)單，右邊是二項(xiàng)式的展開(kāi)式，表示雖然復(fù)雜，但很有規(guī)律，規(guī)律特點(diǎn)為：它有1項(xiàng)，是和的形式；各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪的次數(shù)；字母按降冪排列，次數(shù)由減到0，字母按升冪排列，次數(shù)由0增到.各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次為：，利用展開(kāi)式解決問(wèn)題時(shí)可以根據(jù)需要而選擇. 探究:上題中的“11827的末位數(shù)字是幾”這一問(wèn)題，可以利用二項(xiàng)式定理看做（10+1）827，由二項(xiàng)式展開(kāi)，得容易發(fā)現(xiàn)，其個(gè)位數(shù)字即為1. 二項(xiàng)式定理中，、是任意的，于是我們可以根據(jù)需要對(duì)其賦值，利用二項(xiàng)式定理來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題.如令=1，=，則（1+x）n=1+這也為我們解決問(wèn)題提供了“取特例”的思想方法.如

8、上式中再令=-1，或令、取一些特殊的值還可以得到許多有用的結(jié)果.典題熱題例1(2020全國(guó)高考)(2x-)9的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi).（用數(shù)字作答）.思路分析:二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=(2x)9-r(-)r=(-1)r29-r.令9-r-=0，得=6.故常數(shù)項(xiàng)為T(mén)7=(-1)623=672.答案:672 方法歸納 凡涉及到展開(kāi)式的項(xiàng)及其系數(shù)等問(wèn)題時(shí)，常是先寫(xiě)出其通項(xiàng)公式Tr+1=an-rbr，然后再根據(jù)題意進(jìn)行求解，往往是結(jié)合方程思想加以解決. 拓展延伸 (2020山東高考)如果(3x)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開(kāi)式中的系數(shù)是（ ）A.7 B.-7 C.21 D.-21思路分析:

9、分清某一項(xiàng)的系數(shù)與它的二項(xiàng)式系數(shù)是否相同，常規(guī)解法是利用通項(xiàng)公式Tr+1=an-rbr，先確定，再求其系數(shù).令=1，即(3-1)n=128，得=7.由通項(xiàng)公式，得Tr+1=(3x)7-r()r=(-1)r37-r，由7-=-3.解得r=6.故的系數(shù)是(-1)63=21.答案:C 深化升華 在求二項(xiàng)式中參數(shù)的值及特定項(xiàng)的系數(shù)等問(wèn)題時(shí)，通常是利用展開(kāi)式的通項(xiàng)與題目提供的信息及各量之間的制約關(guān)系，巧妙構(gòu)造方程，利用方程的思想求解.例2（1+2x）n的展開(kāi)式中第六項(xiàng)與第七項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).思路分析:根據(jù)已知條件可求出，再根據(jù)的奇偶性，確定出二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).解

10、:T6=(2x)5,T7=(2x)6，依題意有25=26，解得n=8.所以(1+2x)n的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)5=（2x）4=1 120x4.設(shè)第1項(xiàng)系數(shù)最大，則有.解得5r6.由于r0，1，2，8，所以=5或=6.則系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)6=1 792x5,T7=1 792x6. 方法歸納 二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的問(wèn)題，可直接根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大;為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大. 誤區(qū)警示 求展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，采用列不等式，解不等式的方法求.例3求(1+2x-3x2)6展開(kāi)式中含x5的項(xiàng)

11、.思路分析:冪函數(shù)6是個(gè)不大的數(shù)目，顯然可以按多項(xiàng)式乘法法則把(1+2x-3x2)6乘開(kāi)為多項(xiàng)式，再?gòu)闹腥〕龊瑇5的項(xiàng)，但是計(jì)算量較大.如果把1+2x-3x2中的兩項(xiàng)結(jié)合起來(lái)，則可看成二項(xiàng)式，從而可利用二項(xiàng)式定理，展開(kāi)后，再把結(jié)合為一組的兩項(xiàng)展開(kāi)，就能得到含x5的系數(shù). 解:原式=1+(2x-3x2)6=1+(2x-3x2)+(2x-3x2)2+(2x-3x2)3+(2x-3x2)6.可以看出，繼續(xù)將右端展開(kāi)后，在(2x-3x2)3,(x-3x2)4,(2x-3x2)5這三部分的展開(kāi)式中都含有x5的項(xiàng)，它們分別是：2(-3)2x5,23(-3)x5,25x5.把這三項(xiàng)合并后，就得到(1+2x-

12、3x2)6展開(kāi)式中含的項(xiàng)是-168x5. 方法歸納 用結(jié)合的方法，把三項(xiàng)式做為二項(xiàng)式處理，這是一種較為普遍的轉(zhuǎn)化方法.通過(guò)轉(zhuǎn)化.可以把較生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較熟悉的問(wèn)題，把較困難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較容易的問(wèn)題.例4求0.9986的近似值，使誤差小于0.001.思路分析:因?yàn)橹苯訉?duì)0.9986進(jìn)行求值難度較大，而0.9986=(1-0.002)6，故可用二項(xiàng)式定理展開(kāi)計(jì)算.解:0.9986=(1-0.002)6=1+6（-0.002）1+15(-0.002)2+（-0.002）6.因?yàn)門(mén)3=（-0.002）2=15(-0.002)2=0.000 060.001，且第三項(xiàng)以后的絕對(duì)值都小于0.001，所以從

13、第三項(xiàng)起，以后的項(xiàng)可以忽略不計(jì).則0.9986=(1-0.002)61+6(-0.002)=1-0.012=0.988. 深化升華 由(1+x)n=1+x+x2+xn，當(dāng)?shù)慕^對(duì)值與1相比很小且很大時(shí)，x2,x3,，xn等項(xiàng)的絕對(duì)值都很小，因此在精確度允許的范圍內(nèi)可以忽略不計(jì)，因此，可用近似計(jì)算公式：(1+x)n1+nx.在使用這個(gè)公式時(shí)，要注意按問(wèn)題對(duì)精確度的要求，來(lái)確定對(duì)展開(kāi)式中各項(xiàng)的取舍.若精確度要求較高，則可使用較為精確的公式：(1+x)n1+nx+x2.例5求證：對(duì)任何非負(fù)整數(shù)，33n-26n-1可被676整除.思路分析:當(dāng)=0或1時(shí)，所給式子為具體數(shù)，可以驗(yàn)證.當(dāng)2時(shí)，由于注意到676等于262，而33n=27n=(26-1)n.可以用二項(xiàng)式展開(kāi)，看各項(xiàng)中是否均能含有262.解:當(dāng)=0時(shí)，原式等于0，可被676整除.當(dāng)=1時(shí)，原式=0，也可被676整除.當(dāng)