1、數(shù)據(jù)的代表教案 一、要點(diǎn)回顧1.一般地，對(duì)于n個(gè)數(shù)我們把叫做這n個(gè)數(shù)的 ，簡(jiǎn)稱平均數(shù)，記作.2.平均數(shù)有算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)兩種，其中加權(quán)平均數(shù)的公式是：，分別是數(shù)據(jù)的 ，一個(gè)數(shù)據(jù)的權(quán)，能夠反映這個(gè)數(shù)據(jù)的相對(duì)“重要程度”，在具體的問(wèn)題中，數(shù)據(jù)的權(quán)可以是一個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)，也可以是一個(gè)數(shù)據(jù)占總量的比或百分比，因此加權(quán)平均數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用.3.平均數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)的 水平的特征數(shù)，反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)系，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的變化都會(huì)引起平均數(shù)的變化.4.一般地，n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組

2、數(shù)據(jù)的 .5.一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)只有一個(gè)，把一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為 時(shí)，中位數(shù)是最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，當(dāng)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為 時(shí)，中位數(shù)是最中間的那個(gè)數(shù).6.在一組數(shù)據(jù)中存在極大或極小值時(shí)，平均數(shù)不能準(zhǔn)確表示數(shù)據(jù)的集中情況，而 不受極大或極小值的影響，因此 能較準(zhǔn)確反映數(shù)據(jù)的集中情況.7.一般地，在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的 .8.眾數(shù)在數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的次數(shù)最頻繁，說(shuō)明該數(shù)值在數(shù)據(jù)中最具有代表性.在一組數(shù)據(jù)中，若無(wú)極大值、極小值，且這組數(shù)據(jù)比較接近時(shí)， 可表示這組數(shù)據(jù)的集中情況.并不是每一組數(shù)據(jù)都具有眾數(shù)，只有當(dāng)數(shù)組中不同數(shù)值的數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)具有明顯的差異時(shí)，才有眾數(shù)

3、，眾數(shù)也可能是不惟一的.二、考點(diǎn)例析1.平均數(shù)平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它是一組數(shù)據(jù)的“重心”，是度量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的最重要的因素.從近幾年中考來(lái)看，多以考查平均數(shù)的求法，當(dāng)所給數(shù)據(jù)比較分散時(shí)，一般利用定義公式來(lái)求.在一組數(shù)據(jù)中，各個(gè)數(shù)據(jù)的“重要程度”未必相同，當(dāng)在計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)，常常會(huì)給每個(gè)數(shù)據(jù)加個(gè)“權(quán)”，此時(shí)要選用加權(quán)平均數(shù)公式.例1(2009武漢)小明記錄了今年元月份某五天的最低溫度（單位：）：1，2，0，這五天的最低溫度的平均值是（ ）A.1B.2C.0D.析解：由平均數(shù)的定義公式可得，因此選C.評(píng)注：本題考查了一組數(shù)據(jù)算術(shù)平均數(shù)的求法，同學(xué)們應(yīng)該掌握好平均數(shù)的求法等這

4、些基礎(chǔ)知識(shí).例2（2009年內(nèi)蒙古包頭）某校欲招聘一名數(shù)學(xué)教師，學(xué)校對(duì)甲、乙、丙三位候選人進(jìn)行了三項(xiàng)能力測(cè)試，各項(xiàng)測(cè)試成績(jī)滿分均為100分，根據(jù)結(jié)果擇優(yōu)錄用.三位候選人的各項(xiàng)測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤硭荆簻y(cè)試項(xiàng)目測(cè)試成績(jī)甲乙丙教學(xué)能力857373科研能力707165組織能力647284（1）如果根據(jù)三項(xiàng)測(cè)試的平均成績(jī)，誰(shuí)將被錄用，說(shuō)明理由；（2）根據(jù)實(shí)際需要，學(xué)校將教學(xué)、科研和組織三項(xiàng)能力測(cè)試得分按532的比例確定每人的成績(jī)，誰(shuí)將被錄用，說(shuō)明理由.析解：本題考查平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的知識(shí)及它們?cè)谏钪械膽?yīng)用，特別是加權(quán)平均數(shù)尤為重要.（1）甲的平均成績(jī)?yōu)椋海ǚ郑┮业钠骄煽?jī)?yōu)椋海ǚ郑┍钠骄煽?jī)?yōu)椋海ǚ郑?/p>

5、因此候選人丙將被錄用.（2）根據(jù)題意3人的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢杭椎臏y(cè)度成績(jī)?yōu)椋海ǚ郑┮业臏y(cè)度成績(jī)?yōu)椋海ǚ郑┍臏y(cè)度成績(jī)?yōu)椋海ǚ郑┮虼撕蜻x人甲將被錄用.評(píng)注：本題考查了算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)的求法以及在生活中的應(yīng)用，同學(xué)們?cè)趶?fù)習(xí)時(shí)要注意選擇哪種方式來(lái)求平均數(shù)，在利用加權(quán)平均數(shù)公式求平均數(shù)時(shí)，要注意權(quán)的不同表示形式：整數(shù)比或百分?jǐn)?shù).如本題（2）中可以修改為教學(xué)能力占50%，科研能力占30%，組織能力占20%，這與教學(xué)、科研和組織三項(xiàng)能力的比值是532的描述是一樣的.本題來(lái)源于課本的例題，在復(fù)習(xí)時(shí)同學(xué)們要加強(qiáng)對(duì)課本上的題目的鉆研.2.中位數(shù)一般地，n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間

6、兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).在求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)時(shí)要先將這組數(shù)據(jù)按大小順序排列，若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，若數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，則最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).例3(2009年河北)在一周內(nèi)，小明堅(jiān)持自測(cè)體溫，每天3次測(cè)量結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：體溫（）36.136.236.336.436.536.636.7次 數(shù)2346312則這些體溫的中位數(shù)是 .析解：從統(tǒng)計(jì)表可以看出共有21個(gè)數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按照由小到大的順序排列后，第11個(gè)數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，因此這些體溫的中位數(shù)是36.4.評(píng)注：本題考查了中位數(shù)的概念和中位數(shù)的求法，在求一組數(shù)

7、據(jù)的中位數(shù)時(shí)一定要先將這組數(shù)據(jù)按照一定的順序排列，然后再找出最中間的數(shù).3.眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).在求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)時(shí)，一般先數(shù)清各個(gè)數(shù)據(jù)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)，然后找出這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)就可以了，要注意一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)有時(shí)不止一個(gè)，也可以沒(méi)有眾數(shù)，當(dāng)各個(gè)數(shù)據(jù)重復(fù)次數(shù)大致相等時(shí)，眾數(shù)往往沒(méi)有特別的意義.例4（2009年廣州市）在某校舉行的藝術(shù)節(jié)的文藝演出比賽中，九位評(píng)委給其中一個(gè)表演節(jié)目現(xiàn)場(chǎng)打出的分?jǐn)?shù)如下：9.3，8.9，9.3，9.1，8.9，8.8，9.3，9.5，9.3，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是_.析解：在這組數(shù)據(jù)中9.3共出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，由眾數(shù)的

8、定義可知，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是9.3.評(píng)注：本題以實(shí)際問(wèn)題為背景，對(duì)眾數(shù)的概念和眾數(shù)的求法進(jìn)行了考查.例5（2009山西省太原市）學(xué)業(yè)考試體育測(cè)試結(jié)束后，某班體育委員將本班50名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)制成如下的統(tǒng)計(jì)表這個(gè)班學(xué)生體育測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)是（ ）成績(jī)（分）2021222324252627282930人數(shù)（人）112456581062A.30分 B.28分 C.25分 D.10人析解：眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，由表知28分的人數(shù)最多是10人，所以眾數(shù)是28分，故選B.評(píng)注：本題考查了眾數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，不要誤認(rèn)為是出現(xiàn)的次數(shù)，而是這組數(shù)據(jù)中的某個(gè)數(shù)據(jù).4

9、.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的綜合應(yīng)用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都是數(shù)據(jù)的代表，都能用來(lái)刻畫一組數(shù)據(jù)的平均水平，表示數(shù)據(jù)的集中情況.平均數(shù)在計(jì)算時(shí)應(yīng)用了所有數(shù)據(jù)，但平均數(shù)容易受極端值影響，因此平均數(shù)不能準(zhǔn)確表示數(shù)據(jù)的集中情況；中位數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)單，不受極端值影響，但不能充分利用所有數(shù)據(jù)；眾數(shù)求解簡(jiǎn)單，但當(dāng)各個(gè)數(shù)據(jù)的重復(fù)此時(shí)相等時(shí)，沒(méi)有多大的意義.例6（2009年煙臺(tái)市）某校初一年級(jí)有六個(gè)班，一次測(cè)試后，分別求得各個(gè)班級(jí)學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)，它們不完全相同，下列說(shuō)法正確的是（ ）A.全年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)一定在這六個(gè)平均成績(jī)的最小值與最大值之間B.將六個(gè)平均成績(jī)之和除以6，就得到全年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)C.這六個(gè)平均成績(jī)的

10、中位數(shù)就是全年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)D.這六個(gè)平均成績(jī)的眾數(shù)不可能是全年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)析解：設(shè)6個(gè)班級(jí)的平均成績(jī)和人數(shù)分別如下表所示班級(jí)1班2班3班4班5班6班平均成績(jī)a1a2a3a4a5a6人數(shù)n1n2n3n4n5n6從表格中可以看出全年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)可以表示為，從這個(gè)式子可以看出，全年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)一定在這六個(gè)平均成績(jī)的最小值與最大值之間，因此選項(xiàng)A正確；因?yàn)楦鱾€(gè)班的平均成績(jī)不完全相同，因此B選項(xiàng)將六個(gè)平均成績(jī)之和除以6，就得到全年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)是錯(cuò)誤的，只有當(dāng)6個(gè)班的人數(shù)完全相等時(shí)，此時(shí)設(shè)n1= n2= n3= n4= n5= n6=n，則全年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)才等于將六個(gè)平均成績(jī)之和除

11、以6；六個(gè)班平均成績(jī)的中位數(shù)只是將6個(gè)班的平均成績(jī)按照一定的順序排列以后，取中間兩個(gè)數(shù)的平均值，所有的學(xué)生成績(jī)并沒(méi)有全部參與運(yùn)算，因此這六個(gè)平均成績(jī)的中位數(shù)不能表示全年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；六個(gè)平均成績(jī)的眾數(shù)表示的是六個(gè)班中平均成績(jī)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)字，這個(gè)數(shù)字有可能等于全年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī).故本題選A.評(píng)注：本題以實(shí)際問(wèn)題為背景，綜合考查了同學(xué)們對(duì)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的理解.三、易錯(cuò)警示1.混淆算術(shù)平均數(shù)與加權(quán)平均數(shù)例1某商場(chǎng)將單價(jià)為14元/千克的甲種糖果10千克，單價(jià)為12元/千克的乙種糖果10千克，單價(jià)為10元/千克的丙種糖果40千克混合成什錦糖果，該商場(chǎng)將這種混合什錦糖果的單價(jià)

12、定位多少進(jìn)行出售較合理?錯(cuò)解：這種混合什錦糖果的單價(jià)應(yīng)定為元/千克.剖析：因混合的這三種糖果的質(zhì)量不完全相等，因此不能用單價(jià)的算術(shù)平均數(shù)作為混合糖果的價(jià)格，應(yīng)將三種糖果的質(zhì)量分別作為三種糖果價(jià)格的“權(quán)”，利用加權(quán)平均數(shù)計(jì)算混合什錦糖果的單價(jià).正解：這種混合什錦糖果的單價(jià)應(yīng)定為元/千克.2.求中位數(shù)時(shí)沒(méi)有將原數(shù)據(jù)按照一定的順序排列例2在一次“愛(ài)心互助”捐款活動(dòng)中，某班第一小組7名同學(xué)捐款的金額（單位：元）分別為：6，3，6，5，5，6，9.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）A.5B.5.5C.6D.9錯(cuò)解：選A.剖析：在求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)時(shí)首先要將這組數(shù)據(jù)按照一定的順序（由大到小的順序或者由小到大的順序）

13、重新排列，處在中間（或最中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）的數(shù)據(jù)就是中位數(shù).本組數(shù)據(jù)重新排列后為：3，5，5，6，6，6，9，因此中位數(shù)是6.錯(cuò)解的原因是沒(méi)有將這組數(shù)據(jù)按一定順序重新排列.正解：選C.3.誤把眾數(shù)當(dāng)作某個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)例3王老師為了了解本班學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)情況，在班中隨機(jī)調(diào)查了10名學(xué)生，他們每人上周平均每天完成家庭作業(yè)所用的時(shí)間分別是（單位：小時(shí)）：1.5，2，2，2，2.5，2.5，2.5，2.5，3，3.5求這10個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù).錯(cuò)解：因?yàn)檫@10個(gè)數(shù)據(jù)中2.5出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，因此這10個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)是4.剖析：一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是指這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，而不是這個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù).正解：在這10個(gè)數(shù)據(jù)中2.5出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，由眾數(shù)的定義知這10個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2.5小時(shí).4.忽視一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不止一個(gè)例4某班派9名同學(xué)參加拔河比賽，他們的體重分別是（單位：千克）：67，59，61，59，61，57，70，59，61，求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).錯(cuò)解：在這組數(shù)據(jù)中59出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是59千克.剖析：在這組數(shù)據(jù)中59出現(xiàn)了3次，61也出現(xiàn)了3次，在一組數(shù)據(jù)中當(dāng)幾個(gè)數(shù)據(jù)出現(xiàn)最多的次數(shù)相同時(shí)，這幾個(gè)數(shù)據(jù)都為眾數(shù)，錯(cuò)解中漏掉了一個(gè)眾數(shù).正解：在這組數(shù)據(jù)中，59和61都出現(xiàn)了3次，并且次數(shù)最多，因此這組數(shù)據(jù)的眾