1、第六章 自由電子費(fèi)米氣體 (金屬自由電子論) Free Electron Fermi Gas,2,在固體材料中，三分之二以上的固體純?cè)匚镔|(zhì)屬于金屬材料。由于金屬具有極好的導(dǎo)電、導(dǎo)熱性能及優(yōu)良的機(jī)械性能，是一種非常重要的實(shí)用材料，所以，通過(guò)對(duì)金屬材料功能的研究，可以了解金屬材料的性質(zhì)，同時(shí)推動(dòng)現(xiàn)代固體理論的進(jìn)一步發(fā)展。 另一方面，對(duì)金屬材料的了解，也是認(rèn)識(shí)非金屬材料的基礎(chǔ)。,引 言,本章將按照理論發(fā)展的順序來(lái)介紹金屬電子論。,有關(guān)金屬的第一個(gè)理論模型，是特魯?shù)?P. Drude)在1900年提出的經(jīng)典自由電子氣體模型。它將在當(dāng)時(shí)已非常成功的氣體分子運(yùn)動(dòng)理論運(yùn)用于金屬，用以解釋金屬電導(dǎo)和熱導(dǎo)的行

2、為。1928年索末菲(A. Sommerfeld)又進(jìn)一步將費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)理論用于自由電子氣體，發(fā)展了量子的自由電子氣模型，從而克服了經(jīng)典自由電子氣模型的不足。,3,許多固體具有導(dǎo)電性，這意味著在這固體內(nèi)有許多電子并沒(méi)有真正被原子所束縛住，相反的這些電子可以在固體內(nèi)遨游。 具有導(dǎo)電性的固體可被區(qū)分成兩類(lèi)，那便是金屬與半導(dǎo)體。 在這章節(jié)內(nèi)我們將只針對(duì)金屬進(jìn)行討論。,4,6.1 金屬自由電子論 的物理模型,5,借助自由電子模型，我們可以理解金屬，特別是簡(jiǎn)單金屬的許多物理性質(zhì)。,盡管如此，在討論那些主要依賴(lài)于傳導(dǎo)電子動(dòng)力學(xué)的相關(guān)性質(zhì)時(shí)，自由電子模型仍然獲得了很大成功。在下一章中我們將討論傳導(dǎo)電子與

3、晶體離子實(shí)之間的相互作用。,自由電子模型原子中的價(jià)電子變成傳導(dǎo)電子，并且在金屬 體內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)；不考慮電子與電子、電子與 離子實(shí)之間的相互作用,但是我們也知道，即使是在自由電子模型最為適用的金屬中，傳導(dǎo)電子的電荷分布實(shí)際上也與離子實(shí)的強(qiáng)靜電勢(shì)密切相關(guān)。,6,在量子力學(xué)創(chuàng)立很久以前，人們就已經(jīng)建立了用自由電子的運(yùn)動(dòng)來(lái)解釋金屬性質(zhì)的學(xué)說(shuō)。 如著名的歐姆定律公式以及電導(dǎo)率與熱導(dǎo)率之間關(guān)系的推導(dǎo)。, 完全忽略電子與電子、電子與離子實(shí)之間的相互作用。無(wú)外場(chǎng)時(shí)，傳導(dǎo)電子作勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)；有外場(chǎng)時(shí)，傳導(dǎo)電子的運(yùn)動(dòng)服從牛頓運(yùn)動(dòng)定律。,1 特魯?shù)?Drude)經(jīng)典自由電子氣理論,特魯?shù)履Ｐ统晒Φ靥幚砹酥绷麟妼?dǎo)問(wèn)題,

4、特魯?shù)履Ｐ蛯⒔饘倬w內(nèi)的高濃度(10221023/cm3)電子氣視作理想氣體，其基本假設(shè)：,傳導(dǎo)電子在金屬中運(yùn)動(dòng)時(shí)，與原子實(shí)發(fā)生碰撞，是一個(gè)使電子改變速度的瞬時(shí)事件；并且忽略電子與電子之間的碰撞（不同于理想氣體）。,傳導(dǎo)電子軌跡,7, 單位時(shí)間內(nèi)傳導(dǎo)電子與原子實(shí)發(fā)生碰撞的概率是1/t，t稱(chēng)為平均自由時(shí)間。而且假設(shè)：t 與電子位置和速度無(wú)關(guān)。,電子氣系統(tǒng)和周?chē)h(huán)境達(dá)到熱平衡僅僅是通過(guò)碰撞實(shí)現(xiàn)的，碰撞前后電子的速度毫無(wú)關(guān)聯(lián)，且方向是隨機(jī)的，其速度是和碰撞發(fā)生處的溫度相對(duì)應(yīng)的。,2）金屬的直流電導(dǎo),根據(jù)特魯?shù)履Ｐ?，金屬晶體內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)類(lèi)似理想氣體分子的運(yùn)動(dòng)，因此電流密度為 j = -nev平,n 金

5、屬導(dǎo)體內(nèi)的電子數(shù)密度,v平 電子運(yùn)動(dòng)的平均速度,外電場(chǎng)E=0時(shí)， v平=0 電子運(yùn)動(dòng)是隨機(jī)的 凈定向電流為零，對(duì)電流密度沒(méi)有貢獻(xiàn),8,me電子的質(zhì)量 t 傳導(dǎo)電子與離子實(shí)發(fā)生碰撞的平均自由時(shí)間,歐姆定律,外電場(chǎng)E 0時(shí)， v平 0 產(chǎn)生凈定向電流 在外場(chǎng)E作用下，考慮電子每一次碰撞后其運(yùn)動(dòng)方向是隨機(jī)的，所以電子的初速度對(duì)平均速度是沒(méi)有貢獻(xiàn)的。,因此，電子平均速度v平起源于在外場(chǎng)E作用下，電子在連續(xù)兩次碰撞的平均時(shí)間間隔內(nèi)，電子附加上的一個(gè)速度：,9,實(shí)驗(yàn)測(cè)定金屬的電阻率r，來(lái)估計(jì)平均自由時(shí)間t,3）金屬的平均自由時(shí)間和平均自由程,平均自由程l (電子在連續(xù)兩次碰撞之間的平均運(yùn)動(dòng)距離),根據(jù)經(jīng)典

6、的能量均分定律，有,但實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)金屬中電子的平均自由程要比以上特魯?shù)履Ｐ偷墓浪阒荡蟮枚?。Cu： T=4K， （起源于波粒二象性）,10, 設(shè)單位體積內(nèi)的電子數(shù)為n，則電子氣系統(tǒng)的內(nèi)能密 度為, 每個(gè)電子具有3個(gè)自由度，每個(gè)自由度具有kBT/2的 平均能量,特魯?shù)履Ｐ蛯⒔饘僦械碾娮右曌鹘?jīng)典粒子。根據(jù)經(jīng)典的能量均分定律：,4）金屬的比熱,電子氣的熱容：,大多數(shù)金屬,高溫下與晶格振動(dòng)的貢獻(xiàn)相當(dāng)， 這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符。,11,通過(guò)假定平衡態(tài)下電子具有確定的平均速度，成功地處理了直流電導(dǎo)問(wèn)題；得到金屬電子的弛豫時(shí)間、平均自由程和熱容。,獲得的平均自由程和熱容與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符；在處理磁化率等問(wèn)題上也遇到根本性

7、的困難。,經(jīng)典電子論的失敗或困難,量子力學(xué)對(duì)金屬中電子的處理, 索末菲在自由電子模型基礎(chǔ)上，提出電子在離子產(chǎn)生的平均勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，電子氣體服從費(fèi)密 狄拉克分布和泡利不相容原理。 成功地計(jì)算了電子的熱容，解決了經(jīng)典理論的困難。,4）特魯?shù)履Ｐ偷某晒εc失敗,12,2 索末菲(Sommerfeld)的自由電子論,電子在運(yùn)動(dòng)中存在一定的散射機(jī)制。,一、索末菲自由電子模型,電子在一無(wú)限深度的方勢(shì)阱中運(yùn) 動(dòng)，電子間的相互作用忽略不計(jì)；,電子按能量的分布遵從FermiDirac統(tǒng)計(jì)；,電子的填充滿(mǎn)足泡利（Pauli）不相容原理；,（即金屬中的電子可以看作是被關(guān)在一個(gè)箱體中的 自由 電子）,13,二、運(yùn)動(dòng)方程及

8、其解,Y(r)：在電子近似下，表示電子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)。 V0： 電子在勢(shì)阱底部所具有的勢(shì)能，取V0 0。 （或者說(shuō)是晶格平均場(chǎng)+其他電子的平均場(chǎng)） E： 電子的本征能量,令,有,1. 電子的運(yùn)動(dòng)方程（定態(tài)薛定諤方程）,14,方程的解：,A：歸一化因子，由歸一化條件確定,電子相應(yīng)于波函數(shù)Yk(r)的能量：,V: 金屬的體積,：電子平面波的波矢,具有平面波的形式,15,因?yàn)椴ê瘮?shù)Y(r)同時(shí)也是動(dòng)量算符 的本征態(tài)，所以處于Y(r)態(tài)的電子有確定的動(dòng)量，可以寫(xiě)成,相應(yīng)的速度為,電子能量再現(xiàn)熟悉的經(jīng)典形式,：電子平面波的波矢，它的方向?yàn)槠矫娌ǖ膫鞑シ较颍?它的取值需要由邊界條件確定。,16,傳導(dǎo)電子

9、在金屬中自由運(yùn)動(dòng)，電子與電子之間有很強(qiáng)的排斥力，電子與離子實(shí)之間有很強(qiáng)的吸引力。Sommerfeld自由電子理論認(rèn)為把離子實(shí)的電荷抹散成一個(gè)正電荷背景(這樣周期勢(shì)場(chǎng)就不存在了) 好象“凝膠”一樣。這種“凝膠”的作用純粹是為了補(bǔ)償傳導(dǎo)電子之間的排斥作用，以至于使得這些傳導(dǎo)電子不至于因?yàn)楸舜酥g很強(qiáng)的排斥作用而從金屬晶體中飛濺出去，這就相當(dāng)于“凝膠”模型。,17,按照Sommerfeld模型，電子在正電荷的背景中運(yùn)動(dòng)不受正電荷的散射，電子所受到的散射純粹來(lái)自周期結(jié)構(gòu)的破壞與偏離，這些散射是：,（1）電子與聲子的碰撞。離子實(shí)固定在陣點(diǎn)上是不散射電子的，只有離子實(shí)在平衡位置附近振動(dòng)才會(huì)產(chǎn)生聲子，才會(huì)出

10、現(xiàn)聲子與電子的碰撞。,（2）電子與缺陷的散射。由于夾雜缺陷的存在破壞了晶體的周期勢(shì)場(chǎng)， 因而會(huì)引起散射。,（3）電子與電子之間的散射。這是由泡利原理引起的，幾率很小。,18,物理現(xiàn)象 或?qū)嶒?yàn)結(jié)果,物理模型,結(jié)果與預(yù)言,驗(yàn) 證,修改,理論解釋,19,6.2 能級(jí)和軌道密度,20,1. 一維能級(jí)和軌道,若有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的樣品，可以寫(xiě)出其中傳導(dǎo)電子的薛定鍔方程為:,一維自由電子氣體的定態(tài)薛定鍔方程為:,則方程變?yōu)椋?21,解此方程的邊界條件有兩種選法：,固定邊界條件,即電子不能跑到晶體外邊去。 在固定邊界條件下，薛定鍔方程的解具有駐波形式，而能量的本征值：,22,描寫(xiě)一個(gè)電子的量子態(tài)需要兩個(gè)量子數(shù)： 能

11、量量子數(shù) 自旋量子數(shù),23,在T=0k時(shí),電子的能級(jí)與軌道填充時(shí)有兩個(gè)原則: 先填能量低的能級(jí) 服從泡利原理,在T=0K時(shí),電子所能填充到的最高能級(jí)稱(chēng)為費(fèi)米能級(jí)：,由于每個(gè)能級(jí)上只能存在有自旋相反的兩個(gè)電子,:單位長(zhǎng)度上的電子數(shù)(電子濃度),24, 周期性邊界條件,在此條件下薛定鍔方程的解是行波解,不再是駐波解。,能量本征值：,25,2. 三維情況下自由電子的能級(jí)和軌道,在固定邊界條件下有駐波解：,26,若在三個(gè)方向都用周期性邊界條件：薛定鍔方程的解在三個(gè)方向都以L(fǎng)為周期重復(fù)，即：,波矢取一系列分立值：,此時(shí),27,將 代回薛定鍔方程可求出能級(jí)：這就是色散關(guān)系，能量隨波矢的變化是拋物線(xiàn)函數(shù)。,

12、28,對(duì)于一個(gè)三維晶體，需要的量子數(shù)為：(1)波矢k（三個(gè)分量kx、ky、kz）(2)自旋量子數(shù) 給定了 就確定了能級(jí)， 代表同能級(jí)上自旋相反的一對(duì)電子軌道。在波矢空間自由電子的等能面是一個(gè)球面 =恒常在波矢空間是一球面方程，不同能量的等能面是一系列同心球面。,29,電子在T=0k時(shí)所能填充到的最高等能面稱(chēng)為費(fèi)米面. 我們知道自由電子的等能面是球面，在T=0k時(shí)，費(fèi)米面把電子填充過(guò)的軌道與電子未填充過(guò)的軌道完全分開(kāi)了，即費(fèi)米面內(nèi)所有的軌道都被填充，費(fèi)米面外邊都是空軌道，這一點(diǎn)對(duì)金屬是非常重要的，因?yàn)橹挥匈M(fèi)米面附近的電子才能決定金屬的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。,30,費(fèi)米面包圍的體積稱(chēng)為費(fèi)米球，費(fèi)米球代表T=

13、0k時(shí)電子填充的全部軌道，費(fèi)米球的半徑稱(chēng)為費(fèi)米波矢， 用kF表示， 費(fèi)米速度： (費(fèi)米面上的電子速度），這就是能量為費(fèi)米能的那些電子的速度，T=0k的最大速度為VF，最大波矢為kF。,31,三維時(shí)，每個(gè)波矢的體積為 ，每個(gè)波矢代表自旋相反的兩個(gè)軌道，費(fèi)米球的體積為 ，則： (軌道數(shù)等于總電子數(shù)) V-晶體體積 -單位體積中的電子數(shù)，又稱(chēng)為電子密度 費(fèi)米波矢由電子氣的密度唯一地決定：,32,相應(yīng)的費(fèi)米能： 也由電子氣的密度唯一地決定。 費(fèi)米速度：也唯一決定于電子氣密度，電子氣的密度越大， 都越大。,33,如一些典型金屬的費(fèi)米面參數(shù)：原子價(jià) 金屬 n(cm-3) kF(cm-1) VF(cm/s)

14、 EF(eV) 1 Na 2.651022 0.92108 1.07108 3.23 2 Zn 13.101022 1.57108 1.82108 10.90 3 Al 18.061022 1.75108 2.02108 11.63,34,特別要注意的是，EF是T=0k時(shí)的能量，它不是熱能kBT。室溫下電子的熱能為1/40eV0.025eV，費(fèi)米能比室溫下的熱能要高得多。費(fèi)米能是T=0k時(shí)電子所固有的動(dòng)能。 費(fèi)米波矢是費(fèi)米球的半徑，VF是基態(tài)時(shí)電子氣的最高速度，費(fèi)米溫度定義為： ，費(fèi)米溫度一般在104k的數(shù)量級(jí)， 。,35,3. 軌道密度,36,量子統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí),經(jīng)典的Boltzmann統(tǒng)計(jì)：

15、,量子統(tǒng)計(jì)： FermiDirac統(tǒng)計(jì)和BoseEinstein統(tǒng)計(jì),玻色子：自旋為整數(shù)n的粒子（如：光子、聲子等）， 玻色子遵從BoseEinstein統(tǒng)計(jì)規(guī)律， 玻色子不遵從Pauli原理。,費(fèi)米子：自旋為半整數(shù)（n1/2） 的粒子（如：電子、質(zhì) 子、中子 等），費(fèi)米子遵從FermiDirac統(tǒng)計(jì)規(guī) 律，費(fèi)米子的填充滿(mǎn)足Pauli原理。,37,T0時(shí)電子的分布, 費(fèi)米半徑, 費(fèi)米動(dòng)量, 費(fèi)米能, 費(fèi)米速度,38,T 0時(shí)的分布,能量在EEdE之間的電子數(shù)為：, FermiDirac分布函數(shù),：電子的化學(xué)勢(shì)，其物理意義是在體積不變的情況 下，系統(tǒng)增加一個(gè)電子所需的自由能。,當(dāng)E時(shí)，f()1/

16、2 ，代表填充概率為1/2的能態(tài)。,39,本書(shū)叫費(fèi)米分布函數(shù):,是電子氣的化學(xué)勢(shì)，在給定的體系中，在給定的溫度下，由電子氣的總數(shù)決定：,當(dāng)T TF時(shí):,40,與處理點(diǎn)陣振動(dòng)的熱能相仿，由電子氣的軌道密度D()可求出電子氣的內(nèi)能，軌道密度定義為 在能量附近，單位能量間隔中的軌道數(shù)，在d能量間隔中的軌道數(shù)為D()d，色散關(guān)系為：,41,軌道密度,考慮每一k值對(duì)應(yīng)軌道上可容納自旋相反的兩個(gè)電子，并將每一個(gè)自旋態(tài)看作一個(gè)能態(tài)，那么在能量為E的球體中，電子能態(tài)總數(shù)為,在能量為E的球體中，波矢 的取值總數(shù)為,在自由電子近似下，k空間的等能面是一個(gè)球面，即,42,定義：軌道密度,其中：,電子的軌道密度并不是

17、均勻分布的，電子能量越高，軌道密度就越大。,電子的軌道密度：在EEdE之間單位能量間隔中的能態(tài)數(shù),單位體積中的軌道密度：,43,與點(diǎn)陣振動(dòng)的情況相仿，在講聲子時(shí)我們講過(guò)一維情況下的模式密度為： (L為晶體長(zhǎng)度)，相應(yīng)的對(duì)電子氣有： 之所以乘以2是因?yàn)槊恳粋€(gè)k對(duì)應(yīng)于兩個(gè)自旋相反的電子。一維時(shí)的群速度： ，對(duì)于點(diǎn)陣振動(dòng)，模式密度的一般表達(dá)式為：，相應(yīng)的電子氣的軌道密度的一般表達(dá)式為： (由于自旋2),44,總電子數(shù)與費(fèi)米能的關(guān)系：在波式空間中能量為的等能面所包圍的軌道數(shù)為：,下面推導(dǎo)此式：,45,46,在波矢空間，波矢為k的球的球體體積為：4/3k3，每個(gè)k值占的體積為(2/L)3，每個(gè)k又對(duì)應(yīng)自

18、旋相反的一對(duì)電子，則： 此可得軌道密度:D()是的拋物線(xiàn)函數(shù)。,47,48,最主要的是費(fèi)米面附近的軌道密度將 兩邊取對(duì)數(shù)得： +常數(shù)微商上式得：,49,費(fèi)米面附近的軌道密度近似等于總電子數(shù)除以費(fèi)米能：,50,6.3 電子氣體的熱容,51,實(shí)際上自由電子的熱容達(dá)不到此值的1%，根據(jù)Drude模型無(wú)法解釋。,當(dāng)晶體溫度升高時(shí)，每個(gè)電子對(duì)熱容都有貢獻(xiàn)，晶體中只有N個(gè)電子，按經(jīng)典理論： Cv3/2 NkB,在T=0k時(shí)，電子氣充滿(mǎn)了費(fèi)米球內(nèi)的所有軌道，當(dāng)溫度T上升時(shí)，并不是費(fèi)米球內(nèi)的電子都受到熱激發(fā)。這是因?yàn)樵诿總€(gè)k值上只能有自旋相反的兩個(gè)電子，由于泡利原理限制，熱激發(fā)(kBT)是低能激發(fā)，遠(yuǎn)離費(fèi)米面

19、的電子不可能被激發(fā)(因?yàn)楦浇鼰o(wú)空軌道)，只有費(fèi)米面以外才有空軌道，因此只有費(fèi)米面附近的電子才能被激發(fā)，要激發(fā)遠(yuǎn)離費(fèi)米面的電子必須用高能激發(fā)(如光激發(fā)等)，而kvTF，所以遠(yuǎn)離費(fèi)米面的電子是凍結(jié)的。,按Sommerfeld的自由電子模型，電子氣服從費(fèi)米統(tǒng)計(jì)規(guī)律及泡利原理。,53,電子氣的軌道密度為拋物線(xiàn)關(guān)系，費(fèi)米分布函數(shù)為：,54,在T=0時(shí)，軌道全占滿(mǎn)，但當(dāng)溫度T上升時(shí)，費(fèi)米面附近的電子可能激發(fā)到高軌道上去，在溫度T時(shí)能受熱激發(fā)的電子數(shù)(只看到數(shù)量級(jí))大約為：（kBT/F）N，則在溫度T時(shí)電子氣熱能的增加為：,而電子氣的熱容為：,55,而在經(jīng)典理論中 當(dāng) 時(shí),考慮了自由電子的費(fèi)米分布與泡利不相

20、容原理，用這樣一個(gè)定性的模型解釋了熱容與經(jīng)典理論的差別與矛盾，由此可看到費(fèi)米面的重要性。,56,下面再?gòu)亩康慕嵌葋?lái)計(jì)算電子氣的熱容，在T=0 k時(shí)： 能量 F時(shí)， f(.T)=1 F時(shí)， f(.T)=0 基態(tài)下電子氣的總能量：當(dāng)溫度升高到TK時(shí)電子氣的總能量：這兩個(gè)能量之差就是電子氣溫度升高時(shí)的熱能。,57,58,當(dāng)溫度T升高時(shí)，隨溫度變化比較大是在費(fèi)米面附近，在遠(yuǎn)離費(fèi)米面的地方，隨溫度的變化很小?？傠娮訑?shù)： d=常數(shù)（不隨溫度變化）,d=常數(shù),59,即： 又再加上一項(xiàng)等于零的積分對(duì)Cel無(wú)影響則：,60,上式表示只在費(fèi)米面附近求積分，若把D()換成D(F)，即只考慮費(fèi)米面附近的軌道密度，則

21、： 又 是溫度的函數(shù)，當(dāng)TTF時(shí)，近似等于F，由此引起的誤差在T/TF的二次方的數(shù)量級(jí)。,61,62,63,金屬的熱容應(yīng)是兩部分熱容之和，既自由電子費(fèi)米氣與點(diǎn)陣對(duì)熱容的貢獻(xiàn)之和，低溫下電子氣的熱容Cel T，而點(diǎn)陣對(duì)Cv的貢獻(xiàn)為：,64,在室溫下電子氣對(duì)熱容的貢獻(xiàn)小的可以忽略，但在低溫下電子氣的熱容就顯示出來(lái)了，低溫下C=T+AT3或C/T=+AT2，由C/TT2的直線(xiàn)關(guān)系，由截距可求出，斜率可決定A，由實(shí)驗(yàn)直線(xiàn)可定出這兩個(gè)常數(shù)。而由此可求出理論值，但理論值與觀(guān)測(cè)值的差別很大。,65,實(shí)驗(yàn)值,66,按照近代固體理論，晶體中的電子與真空中的自由電子不同，不再是一個(gè)基本粒子，而是一個(gè)準(zhǔn)粒子，把晶體

22、中的電子與周?chē)幕プ饔每醋饕粋€(gè)整體，晶體中的電子就好象一個(gè)穿了衣服的電子一樣。,67,電子與周?chē)h(huán)境的互作用主要有：電子與原子實(shí)周期點(diǎn)陣的互作用。 電子在周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，周期勢(shì)場(chǎng)的作用改變了電子的質(zhì)量，稱(chēng)有能帶有效質(zhì)量。,電子與聲子的互作用 原子實(shí)在平衡位置作小振動(dòng)，電子運(yùn)動(dòng)到原子實(shí)附近時(shí)，由于電子與原子實(shí)之間的庫(kù)侖作用要干擾原子實(shí)的振動(dòng)，這種互作用可用一種畸變勢(shì)來(lái)描寫(xiě)，電子要改變離子實(shí)的勢(shì)場(chǎng)而運(yùn)動(dòng)。,電子與電子的互作用 在稠密電子氣中，電子間有很強(qiáng)的庫(kù)侖排斥作用，不論電子運(yùn)動(dòng)到什么地方都存在這種互作用，這樣一種互作用也可考慮到電子質(zhì)量的改變中。,70,6.4 電導(dǎo)與歐姆定律,71,1.電導(dǎo)率

23、 在基態(tài)下，自由電子填充了費(fèi)米球的所有軌道，即邊界條件允許的每個(gè)k值上都分布了自旋相反的兩個(gè)電子， 當(dāng)溫度升高時(shí)，費(fèi)米面附近的電子要被熱激發(fā)，在無(wú)外電場(chǎng)時(shí)，在波矢空間費(fèi)米球內(nèi)的k的分布是對(duì)稱(chēng)的，有一個(gè)波矢為k的電子，就有一個(gè)波矢為-k的電子，或者說(shuō)有一個(gè)速度為V的電子，就有一個(gè)速度為-V的電子(有中心反演對(duì)稱(chēng)性),所以整個(gè)費(fèi)米球內(nèi)的電子的平均速度為零，對(duì)電流無(wú)貢獻(xiàn),無(wú)外電場(chǎng)時(shí)就沒(méi)有電流。,72,在恒定電場(chǎng)作用下，費(fèi)米球中的所有軌道上的電子都會(huì)受到電場(chǎng)力的作用，這個(gè)力會(huì)使波矢發(fā)生變化，由于費(fèi)米球內(nèi)的所有電子的波矢都發(fā)生了變化，而且由于外加恒定電場(chǎng)，變化率都相同，則，因而費(fèi)米球就以一定的速度在波矢

24、空間漂移，其運(yùn)動(dòng)方向與電子運(yùn)動(dòng)方向相反，球心離開(kāi)了愿點(diǎn)，在恒定電場(chǎng)下，費(fèi)米球就以恒定速度漂移下去。,73,74,反映在真實(shí)空間中，是每個(gè)電子的動(dòng)量發(fā)生了變化,但 是恒定的，電子是作勻加速運(yùn)動(dòng)，即單位時(shí)間內(nèi)電子的速度變化率是相同的，電子的運(yùn)動(dòng)速度越來(lái)越快。在恒定電場(chǎng)作用下就不會(huì)有恒定電流，而電流就會(huì)越來(lái)越大，這是與事實(shí)不符合的。,75,我們必須考慮碰撞機(jī)制，電子與聲子及雜質(zhì)缺陷的碰撞。正是由于這種碰撞使得電子的附加動(dòng)量有所減小，才能抑制費(fèi)米球的漂移，當(dāng)這種碰撞消耗的動(dòng)量與費(fèi)米球漂移速度增大的積累相平衡時(shí)，費(fèi)米球?qū)⒉辉倨啤?76,即 （等號(hào)右邊為單位時(shí)間內(nèi)耗散的動(dòng)量）-弛豫時(shí)間，-eE為定向運(yùn)動(dòng)

25、動(dòng)量的積累(相當(dāng)于球心的位移),單位時(shí)間內(nèi)耗散的動(dòng)量為hk/,當(dāng)兩項(xiàng)動(dòng)量變化相等時(shí),費(fèi)米球就不動(dòng)了。,77,電子的漂移速度為：電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)： （n是電子氣密度） （這就是歐姆定律），相應(yīng)的電子氣的電導(dǎo)率： （此處的m*為電子的有效質(zhì)量）。,78,從這里我們可以看到在其它條件不變的情況下隨n增大而增大，這是合理的，因?yàn)闈舛萵增大，載流子的數(shù)目就增多。電導(dǎo)率與m*成反比也在預(yù)料之中，m*越大就是粒子的惰性越大，也就越難于加速。與成正比，是因?yàn)閷?shí)際是連續(xù)兩次碰撞的時(shí)間間隔，即平均自由壽命，所以越大，電子在兩次碰撞間被電場(chǎng)加速的時(shí)間越長(zhǎng)，因而漂移速度越大，也就越大。,79,電子有兩種不同性質(zhì)的速度

26、，一種是電子在外加電場(chǎng)中的定向運(yùn)動(dòng)速度，稱(chēng)為漂移速度，另一個(gè)是無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)速度，是由于電子的無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)引起的，即使沒(méi)有外電場(chǎng)，電子也仍象普通氣體分子那樣作無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，電子到處亂動(dòng)，并不斷被散射而改變運(yùn)動(dòng)方向，這種運(yùn)動(dòng)在電場(chǎng)中也照樣存在，它不會(huì)對(duì)電流有所貢獻(xiàn)，但有外場(chǎng)存在時(shí)，有一個(gè)與外電場(chǎng)反向的凈附加速度，這個(gè)速度是疊加在無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)速度之上的，電子無(wú)規(guī)運(yùn)動(dòng)的速度比漂移速度要大。,80,決定金屬中電子運(yùn)動(dòng)平均自由程的有三種機(jī)制：（1）樣品中雜質(zhì)缺陷對(duì)電子的散射。（2）電子與聲子的碰撞，既電子受格波的散射，嚴(yán)格的周期勢(shì)場(chǎng)是不散射電子的，只有周期場(chǎng)遭到破壞時(shí)才產(chǎn)生對(duì)電子的散射，這種碰撞依賴(lài)于溫度，隨溫度的升高

27、，碰撞幾率增大。（3）電子與電子的碰撞，由于泡利原理的限制，這種幾率較小。,81,2.弛豫時(shí)間的起源 我們?cè)胱鳛閮纱闻鲎仓g的弛豫時(shí)間，但未曾討論過(guò)它的起源，由周期結(jié)構(gòu)中的波動(dòng)理論，當(dāng)電子波通過(guò)周期性的晶格時(shí)，將沒(méi)有散射，除非周期性遭到破壞，布喇格條件被滿(mǎn)足，因此規(guī)則晶格內(nèi)電子波是不會(huì)被散射的，電子在晶體中的碰撞只能是同聲子與雜質(zhì)原子或缺陷之間的碰撞，正因?yàn)槿绱?，弛豫時(shí)間也就是電子與聲子等碰撞的時(shí)間間隔。,82,3.金屬的實(shí)驗(yàn)電阻率 引入電子與雜質(zhì)碰撞的弛豫時(shí)間i，電子與熱聲子的碰撞弛豫時(shí)間l, 則1/i與1/l分別表示電子與雜質(zhì)、電子與熱聲子碰撞的幾率，那么電子與雜質(zhì)碰撞、電子與熱聲子碰

28、撞對(duì)電阻率的貢獻(xiàn)分別為：兩種機(jī)制彼此獨(dú)立時(shí)總的散射幾率為：對(duì)電阻率的總貢獻(xiàn)為：= i+ l 這就是馬提生（Matthissens rule）定則。,83,根據(jù)馬提生定則，金屬的電阻率應(yīng)是溫度T的函數(shù)：(T) = i+ l 作- T曲線(xiàn)，外推到T=0K，此時(shí) l=0，則可得純粹由樣品的雜質(zhì)決定的電阻率，稱(chēng)為剩余電阻率，它是一個(gè)結(jié)構(gòu)敏感量，是表征著樣品純度(或完美性)的特征量。,84,通常對(duì)金屬來(lái)說(shuō)由于熱聲子散射導(dǎo)致的電阻率有一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式：當(dāng)TR時(shí)，f1，l T，即l與溫度成正比，溫度升高時(shí)，聲子密度增加，碰撞幾率增加，增加。 但當(dāng)TR時(shí)， ，熱聲子的電阻率l T5。,85,6.5 電子在電磁場(chǎng)中

29、的運(yùn)動(dòng),86,1.漂移速度方程 由于外力 ，使電子獲得定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量， ，電子與聲子及雜質(zhì)原子間的碰撞可考慮成摩擦阻力，由于摩擦阻力而使單位時(shí)間內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)量的改變(摩擦力為f=p/)：而在外加電磁場(chǎng)作用下： 這就是外加電磁場(chǎng)作用下電子的漂移速度方程。,87,若設(shè)磁場(chǎng)B的方向沿Z軸方向，漂移速度方程的三個(gè)分量的方程式為：,88,若外電場(chǎng)是一個(gè)靜電場(chǎng)E，外磁場(chǎng)是一個(gè)靜磁場(chǎng)B，E、B不隨時(shí)間而變化，則dv/dt=0，既過(guò)程達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，電子的速度也不隨時(shí)間變化，則： 其中 稱(chēng)為回旋頻率。,89,2.霍耳效應(yīng) 由上面的漂移速度方程我們能討論霍耳效應(yīng)，如下圖：若一晶體上沿x方向有一電流，此時(shí)在z方向加一磁場(chǎng)電子受洛侖磁力作用而向-y方向偏移，偏移的結(jié)果使樣品邊界上有電荷積累，產(chǎn)生了一個(gè)y方向的電場(chǎng)，這種現(xiàn)象稱(chēng)為霍耳效應(yīng)，產(chǎn)生的這個(gè)電場(chǎng)稱(chēng)為霍耳電場(chǎng)，它阻止電子向-y方向偏移，若霍耳電場(chǎng)力與洛侖磁力達(dá)到平衡時(shí)，電子就不再偏移，達(dá)到平衡時(shí)Vy=0(在金屬中不形成電流),此時(shí)：,9