1、,第二章 隨機(jī)變量及其分布,為更好地揭示隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性并利 用數(shù)學(xué)工具描述其規(guī)律, 有必要引入隨機(jī) 變量來描述隨機(jī)試驗(yàn)的不同結(jié)果.,例 燈泡壽命可用一個連續(xù)變量 T 來描述.,例 檢測一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個結(jié)果 , 也可以用一個離散變量來描述,2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù),設(shè) 是試驗(yàn)E的樣本空間, 若,則稱 X ( ) 為 上的 隨機(jī)變量,r.v.一般用大寫字母 X, Y , Z , 或小寫希臘字母 , , 表示.,定義,簡記 r.v. X .,2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù),此映射具有如下特點(diǎn),2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù), 表示 “某天9:00 10:00 接到電話次數(shù)超過100” 這一事

2、件,2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù), = 兒童的發(fā)育情況 ,X() 身高,Y() 體重,Z() 頭圍.,各 r.v.之間可能有一定的關(guān)系, 也可能沒有關(guān)系 即相互獨(dú)立,2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù),離散型,非離散型,r.v. 分類,引入 r.v. 重要意義, 任何隨機(jī)現(xiàn)象可被 r.v.描述, 借助微積分方法將討論進(jìn)行到底,2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù),為 X 的分布函數(shù).,設(shè) X 為 r.v., x 是任意實(shí)數(shù),稱函數(shù),定義,用分布函數(shù)計(jì)算 X 落在( a ,b 里的概率：,2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù),分布函數(shù)的性質(zhì),F ( x ) 單調(diào)不減，即,且,F ( x ) 右連續(xù)，即,2.1 隨機(jī)變

3、量及其分布函數(shù),用分布函數(shù)表示概率,2.1 隨機(jī)變量及其分布函數(shù),2.2離散型隨機(jī)變量及其概率分布,定義,若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限 個或可列個, 則稱 X 為離散型隨機(jī)變量。,描述X 的概率特性常用概率分布或分布律,或,即,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,分布律的性質(zhì),X ,或,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,F( x) 是分段階梯函數(shù), 在 X 的可能取 值 xk 處發(fā)生間斷, 間斷點(diǎn)為第一類跳躍間 斷點(diǎn),在間斷點(diǎn)處有躍度 pk .,其中 .,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,解,例1 設(shè)汽車在開往甲地途中需經(jīng) 過 4 盞信號燈, 每盞信號燈獨(dú)立地 以概率 p 允許汽車通過

4、.,首次停下時已通過的信號燈盞數(shù), 求 X 的概 率分布與 p = 0.4 時的分布函數(shù).,令 X 表示,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,0.6,0.24,0.096,0.0384,0.0256,代入,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,1,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,例2 一門大炮對目標(biāo)進(jìn)行轟擊,假定此目標(biāo) 必須被擊中r 次才能被摧毀. 若每次擊中目 標(biāo)的概率為p (0 p 1), 且各次轟擊相互獨(dú) 立,一次次地轟擊直到摧毀目標(biāo)為止.求所需 轟擊次數(shù) X 的概率分布.,帕斯卡 分 布,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,(1) 0 1 分布,是否超標(biāo)等等.,凡試驗(yàn)只有兩個結(jié)果,

5、常用0 1,分布描述, 如產(chǎn)品是否合格、人,口性別統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗,0 p 1,或,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,(2) 二項(xiàng)分布,n 重Bernoulli 試驗(yàn)中, X 是事件A 在 n 次試 驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù) , P (A) = p ,若,則稱 X 服從參數(shù)為n, p 的二項(xiàng)分布，記作,01 分布是 n = 1 的二項(xiàng)分布,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,二項(xiàng)分布中最可能出現(xiàn)次數(shù)的定義與推導(dǎo),則稱 為最可能出現(xiàn)的次數(shù),2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,當(dāng)( n + 1) p 整數(shù)時, 在 k = ( n + 1) p 處的概率取得最大值,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率

6、分布,Poisson定理說明若X B( n, p), 則當(dāng)n 較大， p 較小, 而 適中, 則可以用近似公式,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,(3) Poisson 分布,若,的Poisson 分布.,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,在某個時段內(nèi)：,大賣場的顧客數(shù)；,某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次數(shù)；,市級醫(yī)院急診病人數(shù)；,某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數(shù)., ,一個容器中的細(xì)菌數(shù)；,一本書一頁中的印刷錯誤數(shù)；,一匹布上的疵點(diǎn)個數(shù)；, ,放射性物質(zhì)發(fā)出的 粒子數(shù)；,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,例3 設(shè)一只昆蟲所生蟲卵數(shù)為隨機(jī)變量 X ,已知,設(shè)各個蟲卵是否能發(fā)育成幼蟲是相互獨(dú)立的.,X

7、P()，且每個蟲卵發(fā)育,成幼蟲的概率為 p.,求一昆蟲所生的蟲卵發(fā)育成幼蟲數(shù) Y 的概率 分布.,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,解,昆蟲,X 個蟲卵,Y 個幼蟲,已知,由全概率公式,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,故,2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,定義 設(shè) X 是隨機(jī)變量, 若存在一個非負(fù) 可積函數(shù) f ( x ), 使得,其中F ( x )是它的分布函數(shù),則稱 X 是 連續(xù)型 r.v. ，f ( x )是它的概率 密度函數(shù)( p.d.f. )，簡記為d.f.,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,p.d.f. f

8、( x )的性質(zhì),1),2),常利用這兩個性質(zhì)檢驗(yàn)一個函數(shù)能否作為連續(xù)型 r.v.的 d.f.,3),在 f ( x ) 的連續(xù)點(diǎn)處，,f ( x ) 描述了X 在 x 附近單位長度的 區(qū)間內(nèi)取值的概率,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,注意: 對于連續(xù)型r.v.X , P(X = a) = 0,其中 a 是隨機(jī)變量 X 的一個可能的取值,命題 連續(xù)r.v.取任一常數(shù)的概率為零,強(qiáng)調(diào) 概率為0 (1) 的事件未必不發(fā)生(發(fā)生),事實(shí)上,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,對于連續(xù)型 r.v. X,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,(1) 均勻分布,若 X 的 d.f. 為,則稱 X 服從區(qū)間( a ,

9、 b)上的均勻分布或稱,X 服從參數(shù)為 a , b的均勻分布. 記作,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,X 的分布函數(shù)為,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,即 X 落在(a,b)內(nèi)任何長為 d c 的小區(qū)間的 概率與小區(qū)間的位置無關(guān), 只與其長度成正 比. 這正是幾何概型的情形.,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,(2) 指數(shù)分布,若 X 的d.f. 為,則稱 X 服從 參數(shù)為 的指數(shù)分布,記作,X 的分布函數(shù)為, 0 為常數(shù),2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,對于任意的 0 a b,應(yīng)用場合,用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：,隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間,電話問題中的通話時間,無線電元件的壽命,動物的壽命,指數(shù)分布常作

10、為各種“壽命”分布的近似,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,(3) 正態(tài)分布,若X 的 d.f. 為,則稱 X 服從參數(shù)為 , 2 的正態(tài)分布,記作 X N ( , 2 ),為常數(shù)，,亦稱高斯 (Gauss)分布,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,N (-3 , 1.2 ),2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,f (x) 的性質(zhì)：,圖形關(guān)于直線 x = 對稱, 即,在 x = 時, f (x) 取得最大值,在 x = 時, 曲線 y = f (x) 在對應(yīng)的點(diǎn)處有拐點(diǎn),曲線 y = f (x) 以 x 軸為漸近線,曲線 y = f (x) 的圖形呈單峰狀,f ( + x) = f ( - x),2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,2.3

11、 連續(xù)型隨機(jī)變量,f ( x) 的兩個參數(shù)：, 位置參數(shù),即固定 , 對于不同的 , 對應(yīng)的 f (x)的形狀不變化，只是位置不同, 形狀參數(shù),固定 ，對于不同的 ，f ( x) 的形狀不同.,若 1 2 則,比x= 2 所對應(yīng)的拐點(diǎn)更靠近直線 x=,附近值的概率更大. x = 1 所對應(yīng)的拐點(diǎn),前者取 ,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,Showfn1,fn3,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,正態(tài)變量的條件,若 r.v. X, 受眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素影響, 每一因素的影響都是微小的, 且這些正、負(fù)影響可以疊加,則稱 X 為正態(tài) r.v.,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,可用正態(tài)變量描述的實(shí)例極多：,各種測量的誤差；

12、 人體的生理特征；,工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；,海洋波浪的高度； 金屬線抗拉強(qiáng)度；,熱噪聲電流強(qiáng)度； 學(xué)生的考試成績；,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,一種重要的正態(tài)分布,是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為,其值有專門的表供查., 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0,1),密度函數(shù),2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,對一般的正態(tài)分布 ：X N ( , 2),其分布函數(shù),作變量代換,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,求 P ( X 0 ).,解一,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,解二 圖解法,0.2,由圖,2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,例 3 原理,設(shè) X N ( , 2), 求,解,一次試驗(yàn)中, X 落入?yún)^(qū)間( - 3 , +3

13、 ) 的概率為 0.9974, 而超出此區(qū)間可能性很小,由3 原理知，,當(dāng),2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位數(shù) z,設(shè) X N (0,1) , 0 1, 稱滿足,的點(diǎn) z 為X 的上 分位數(shù),z,常用 數(shù)據(jù),2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量,2.4 r.v. 函數(shù)的分布,方法 將與Y 有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成 X 的事件,求 隨機(jī)因變量Y= g ( X )的密度函數(shù) 或分布律,問題 已知 r.v. X 的d.f.,或分布律.,2.4 r.v. 函數(shù)的分布,設(shè) r.v. X 的分布律為,由已知函數(shù) g( x)可求出 r.v. Y 的 所有可能取值，則 Y 的概率分布為,2.4 r.v. 函數(shù)的分布,

14、例4 已知 X 的概率分布為,求 Y 1= 2X 1 與 Y 2= X 2 的分布律,解,2.4 r.v. 函數(shù)的分布,2.4 r.v. 函數(shù)的分布,已知 X 的d.f. f (x) 或分布函數(shù) 求 Y = g( X ) 的d.f.,方法：,（1） 從分布函數(shù)出發(fā) （2）用公式直接求d.f.,2.4 r.v. 函數(shù)的分布,例5 已知 X 的 d.f.為,為常數(shù)，且 a 0, 求 fY ( y ),解,當(dāng)a 0 時，,2.4 r.v. 函數(shù)的分布,當(dāng)a 0 時，,故,2.4 r.v. 函數(shù)的分布,例如 設(shè) X N ( ,2) , Y = a X +b, 則,Y N ( a +b, a22 ),特別地 ，若 X N ( , 2) ,則,2.4 r.v. 函數(shù)的分布,第二章 隨機(jī)變量及其分布,隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念及其性質(zhì) 離散型隨機(jī)變量的概率分布 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 常見隨機(jī)變