1、函數(shù)逼近問題的一般提法：,對(duì)于函數(shù)類A中給定的函數(shù)f (x)，要求在另一類較簡單 的且便于計(jì)算的函數(shù)類B( A)中尋找一個(gè)函數(shù)p (x)，使p (x) 與f (x)之差在某種度量意義下最小。,最常用的度量標(biāo)準(zhǔn)：,(一) 一致逼近,以函數(shù)f (x)和p (x)的最大誤差,作為度量誤差 f (x) p (x) 的“大小”的標(biāo)準(zhǔn),在這種意義下的函數(shù)逼近稱為一致逼近或均勻逼近,對(duì)于任意給定的一個(gè)小正數(shù) 0，如果存在函數(shù)p (x)，使不等式,成立，則稱該函數(shù)p (x)在區(qū)間a, b上一致逼近或均勻逼近 于函數(shù)f (x)。,(二) 平方逼近：,采用,作為度量誤差的“大小”的標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)逼近稱為平方逼近 或均

2、方逼近。,1 正交多項(xiàng)式,一、正交函數(shù)系的概念,考慮函數(shù)系,1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，connx，sinnx，,此函數(shù)系中任何兩個(gè)不同函數(shù)的乘積在區(qū)間- , 上的積分都等于0 ！,我們稱這個(gè)函數(shù)中任何兩個(gè)函數(shù)在- , 上是正交 的，并且稱這個(gè)函數(shù)系為一個(gè)正交函數(shù)系。,若對(duì)以上函數(shù)系中的每一個(gè)函數(shù)再分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，,使之成為：,那么這個(gè)函數(shù)系在- , 上不僅保持正交的性質(zhì)， 而且還是標(biāo)準(zhǔn)化的(規(guī)范的),1權(quán)函數(shù),定義7.1 設(shè) (x)定義在有限或無限區(qū)間a, b上，,如果具有下列性質(zhì)：,(1) (x) 0，對(duì)任意x a, b，,(2) 積分 存在，(n = 0, 1, 2

3、, )，,(3) 對(duì)非負(fù)的連續(xù)函數(shù)g (x) 若,則在(a, b)上g (x) 0,稱 (x)為a, b上的權(quán)函數(shù),2內(nèi)積,定義7.2 設(shè)f (x)，g (x) C a, b， (x)是a, b上的權(quán)函數(shù)，,則稱,為 f (x) 與 g (x)在 a, b上以 (x)為權(quán)函數(shù)的內(nèi)積。,內(nèi)積的性質(zhì)：,(1) (f, f )0，且 (f, f )=0 f = 0；,(2) (f, g) = (g, f )；,(3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)；,(4) 對(duì)任意實(shí)數(shù)k，(kf, g) = k (f, g )。,3正交性,定義7.3 設(shè) f (x)，g(x) C

4、 a, b 若,則稱f (x)與g (x)在a, b上帶權(quán) (x)正交。,定義7.4 設(shè)在a, b上給定函數(shù)系，若滿足條件,則稱函數(shù)系k (x)是a, b上帶權(quán) (x)的正交函數(shù)系，,若定義7.4中的函數(shù)系為多項(xiàng)式函數(shù)系，則稱為以 (x) 為權(quán)的在a, b上的正交多項(xiàng)式系。并稱pn(x)是a, b上 帶權(quán) (x)的n次正交多項(xiàng)式。,特別地，當(dāng)Ak 1時(shí)，則稱該函數(shù)系為標(biāo)準(zhǔn)正交函數(shù)系。,二、常用的正交多項(xiàng)式,1切比雪夫()多項(xiàng)式,定義7.5 稱多項(xiàng)式,為n 次的切比雪夫多項(xiàng)式(第一類)。,切比雪夫多項(xiàng)式的性質(zhì)：,(1) 正交性：,由 Tn (x)所組成的序列 Tn (x)是在區(qū)間-1, 1上帶權(quán)

5、,的正交多項(xiàng)式序列。且,(2) 遞推關(guān)系,相鄰的三個(gè)切比雪夫多項(xiàng)式具有三項(xiàng)遞推關(guān)系式：,(3) 奇偶性：,切比雪夫多項(xiàng)式Tn (x)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為奇函數(shù)； n為偶數(shù)時(shí)為偶函數(shù)。,(4) Tn (x)在區(qū)間-1, 1上有n 個(gè)不同的零點(diǎn),(5) Tn (x) 在-1, 1上有n + 1個(gè)不同的極值點(diǎn),使Tn (x)輪流取得最大值 1 和最小值 -1。,(6) 切比雪夫多項(xiàng)式的極值性質(zhì),Tn (x) 的最高次項(xiàng)系數(shù)為 2n-1 (n = 1, 2, )。,定理7.1 在-1x 1上，在首項(xiàng)系數(shù)為1的一切n次多項(xiàng)式Hn (x)中,與零的偏差最小，且其偏差為,即，對(duì)于任何 ， 有,2勒讓德(Lege

6、ndre)多項(xiàng)式,定義7.6 多項(xiàng)式,稱為n次勒讓德多項(xiàng)式。,勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)：,(1) 正交性,勒讓德多項(xiàng)式序列pn(x)是在-1, 1上帶權(quán) (x) = 1 的正交多項(xiàng)式序列。,(2) 遞推關(guān)系,相鄰的三個(gè)勒讓德多項(xiàng)式具有三項(xiàng)遞推關(guān)系式：,(3) 奇偶性：,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，pn (x)為偶函數(shù)；,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，pn (x)為奇函數(shù)。,(4) pn (x)的n個(gè)零點(diǎn)都是實(shí)的、相異的，且全 部在區(qū)間-1, 1內(nèi)部。,3其它常用的正交多項(xiàng)式,(1) 第二類切比雪夫多項(xiàng)式,定義7.7 稱,為第二類切比雪夫多項(xiàng)式。, un(x)是在區(qū)間-1, 1上帶權(quán)函數(shù),的正交多項(xiàng)式序列。, 相鄰的三項(xiàng)具有遞推關(guān)

7、系式：,(2) 拉蓋爾(Laguerre)多項(xiàng)式,定義7.8 稱多項(xiàng)式,為拉蓋爾多項(xiàng)式。, Ln(x)是在區(qū)間0, +上帶權(quán) (x) = e-x 的正交多項(xiàng)式序列。, 相鄰的三項(xiàng)具有遞推關(guān)系式：,(3) 埃爾米特(Hermite)多項(xiàng)式,定義7.9 稱多項(xiàng)式,為埃爾米特多項(xiàng)式。,的正交多項(xiàng)式序列。, Hn(x)是在區(qū)間(-, +)上帶權(quán)函數(shù), 相鄰的三項(xiàng)具有遞推關(guān)系式：,2 最佳一致逼近,一、最佳一致逼近的概念,定義7.10 設(shè)函數(shù)f (x)是區(qū)間a, b上的連續(xù)函數(shù)，對(duì)于 任意給定的 0，如果存在多項(xiàng)式p (x)，使不等式,成立，則稱多項(xiàng)式p (x)在區(qū)間a, b上一致逼近 (或均勻逼近)于

8、函數(shù)f (x)。,維爾斯特拉斯定理,若f (x)是區(qū)間a, b上的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任意 0， 總存在多項(xiàng)式p (x)，使對(duì)一切a x b有,3 最佳平方逼近,1函數(shù)系的線性關(guān)系,定義7.11若函數(shù) ，在區(qū)間a, b上連續(xù)， 如果關(guān)系式 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)才成立，則稱 函數(shù)在a, b上是線性無關(guān)的，否則稱線性相關(guān)。,設(shè) 是a, b上線性無關(guān)的連續(xù)函數(shù) a0, a1, , an 是任意實(shí)數(shù)，則,并稱 是生成集合的一個(gè)基底。,的全體是Ca, b的一個(gè)子集，記為,定理7.3 連續(xù)函數(shù)在a, b上線性無關(guān)的充分必要條件是它們 的克萊姆(Gram)行列式Gn 0，其中,2廣義多項(xiàng)式,設(shè)函數(shù)系 ，線性無關(guān)，,則其有限項(xiàng)的線性組合,稱為廣義多項(xiàng)式。,二、函數(shù)的最佳平方逼近,定義7.12 對(duì)于給定的函數(shù) ，若n次多項(xiàng)式,滿足關(guān)系式,則稱S*(x)為f (x)在區(qū)間a, b上的n次最佳平方逼近多項(xiàng)式。,定義 7.13 對(duì)于給定的函數(shù),如果存在,使,則稱S*(x)為f (x)在區(qū)間a, b上的最佳平方逼近函數(shù)。,求最佳平方