1、,函數、導數及其應用,第 二 章,第6講函數的奇偶性與周期性,欄目導航,1偶函數、奇函數的概念 一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有_， 那么函數f(x)就叫做偶函數 一般地，如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有_，那么函數f(x)就叫做奇函數,f(x)f(x),f(x)f(x),2奇、偶函數的圖象特點 偶函數的圖象關于_對稱，奇函數的圖象關于_對稱 3函數奇偶性的常用結論 (1)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)f(|x|) (2)奇函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性，偶函數在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性 (3)在公共定義域內有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶

2、，偶偶偶，奇偶奇,y軸,原點,4函數的周期性 (1)對于函數f(x)，如果存在一個_T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有_，那么函數f(x)就叫做周期函數，T叫做這個函數的周期 (2)如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的_正周期,非零常數,f(xT)f(x),最小,6函數的對稱性與周期性的關系 (1)如果函數f(x)(xD)在定義域內有兩條對稱軸xa，xb(ab)，則函數f(x)是周期函數，且周期T2(ba)(不一定是最小正周期，下同) (2)如果函數f(x)(xD)在定義域內有兩個對稱中心A(a,0)，B(b,0)(ab)，那么函數f(x

3、)是周期函數，且周期T2(ba) (3)如果函數f(x)(xD)在定義域內有一條對稱軸xa和一個對稱中心B(b,0)(ab)，那么函數f(x)是周期函數，且周期T4|ba|. 注：對于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函數的圖象加強記憶,1思維辨析(在括號內打“”或“”) (1)函數具備奇偶性的必要條件是函數的定義域在x軸上關于坐標原點對稱() (2)若函數f(x)為奇函數，則一定有f(0)0.( ) (3)若函數yf(xa)是偶函數，則函數yf(x)關于直線xa對稱() (4)若函數yf(xb)是奇函數，則函數yf(x)關于點(b,0)中心對稱(),2下列函數為偶函數的是() Af

4、(x)x1Bf(x)x2x Cf(x)2x2xDf(x)2x2x 解析易判斷A，B項中的函數為非奇非偶函數；對于C項，f(x)2x2x(2x2x)f(x)為奇函數；對于D項，f(x)2x2xf(x)為偶函數故選D 3(2017全國卷)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x(，0)時，f(x)2x3x2，則f(2)_. 解析依題意得，f(2)2(2)3(2)212，由函數f(x)是奇函數，得f(2)f(2)12.,D,12,4函數f(x)的定義域為R，且對于xR，恒有f(x2)f(x)當x2,4時，f(x)x22x，則f(2 019)_. 解析由f(x2)f(x)，知f(x)是周期T2的周期

5、函數 因為x2,4時，f(x)x22x， 所以f(2 019)f(1 00823)f(3)32233， 即f(2 019)3.,3,5若f(x)ln(e3x1)ax是偶函數，則a_.,判斷函數奇偶性的方法 (1)判斷函數的奇偶性，首先看函數的定義域是否關于原點對稱；在定義域關于原點對稱的條件下，再化簡解析式，根據f(x)與f(x)的關系作出判斷 (2)分段函數指在定義域的不同子集上有不同對應關系的函數分段函數奇偶性的判斷，要分別從x0或x0來尋找等式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，只有當對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關系時，分段函數才具有確定的奇偶性,一函數奇偶性的判斷,C,二函數奇偶性的應

6、用,與函數奇偶性有關的問題及解決方法 (1)已知函數的奇偶性，求函數值將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數值求解 (2)已知函數的奇偶性求解析式將待求區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構造關于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式,(3)已知函數的奇偶性，求函數解析式中參數的值常常利用待定系數法：由f(x)f(x)0得到關于待求參數的恒等式，由系數的對等性得參數的值或對方程求解 (4)應用奇偶性畫圖象和判斷單調性利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象并判斷另一區(qū)間上的單調性,【例2】 (1)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f(

7、x)g(x)x3x21，則f(1)g(1)() A3B1 C1D3 (2)已知函數f(x)ax3bsin x4(a，bR)，flg(log210)5，則flg(lg 2)() A5B1 C3D4,C,C,三函數的周期性,函數周期性的判斷與應用 (1)判斷函數的周期性只需證明f(xT)f(x)(T0)便可證明函數是周期函數，且周期為T，函數的周期性常與函數的其他性質綜合命題 (2)根據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數的周期，則kT(kZ，且k0)也是函數的周期,【例3】 定義在R上的函數f(x)滿足f(x6)f(x)當3x1時，f(x

8、)(x2)2；當1x3時，f(x)x.則f(1)f(2)f(3)f(2 018)() A337B338 C339D2 018 解析由f(x6)f(x)可知，函數f(x)的周期為6，由已知條件可得f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，所以在一個周期內有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 018)f(1)f(2)336112336339.,C,四函數性質的綜合應用,函數性質綜合應用問題的常見類型及解題策略 (1)單調性與奇偶性的綜合注意函數單調性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數圖象的對稱性 (2)周期性與奇偶性的綜合此類問題多考查求值問題，常用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解 (3)單調性、奇偶性與周期性的綜合解決此類問題通常先利用周期性轉化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調性求解,A,1,D,2已知f(x)是定義在R上的奇函數，當x0時，f(x)3xm(m為常數)，則f(log35)() A6B6 C4D4 解析因為f(x)是定義在R上的奇