1、第三章 粘性流體流動(dòng)的微分方程,前面已討論了總質(zhì)量、總能量及總質(zhì)量衡算方程，用它們可以解決工程設(shè)計(jì)中的許多問題。,總衡算的對象是某一宏觀控制體。,特點(diǎn)：由進(jìn)出口流股的狀態(tài)、控制體范圍與環(huán)境之間的交換情況去確定內(nèi)部某些量發(fā)生的總變化。,例：總質(zhì)量衡算只是考察流體通過圓管的平均速度，而不能確定截面上的速度分布，這一問題要由微觀衡算來解決，微觀衡算所依據(jù)的定律與總衡算一樣。,微分衡算方程又稱為變化方程，它們描述與動(dòng)量、熱量和質(zhì)量傳遞有關(guān)的物理量如速度、密度、壓力、溫度、組分濃度等隨位置和時(shí)間變化的普遍規(guī)律。,本章重點(diǎn)是微分質(zhì)量衡算和微分動(dòng)量衡算方程。,第一節(jié) 連續(xù)性方程,連續(xù)性方程：對于單組分系統(tǒng)或

2、組成無變化的多組分系統(tǒng)，應(yīng)用質(zhì)量守恒定律進(jìn)行微分衡算得到的方程。,31 連續(xù)性方程的推導(dǎo),y,如圖：在流動(dòng)的流體中選取一微元體，其邊長為dx，dy，dz，相應(yīng)的各邊長分別與x軸，y軸和z軸平行。,流體在任一點(diǎn)（x，y，z）處的速度u沿x，y，z方向的分量分別為ux ， uy，和uz ，流體的密度為，為x，y，z和的函數(shù)。,因此在點(diǎn)（x，y，z）處的質(zhì)量通量為u,根據(jù)質(zhì)量守恒定律，對此微元體進(jìn)行質(zhì)量衡算得：,輸出的質(zhì)量流率輸入的質(zhì)量流率累積的質(zhì)量流率0,首先分析x方向流過此微元體的質(zhì)量流率：,設(shè)微元體左側(cè)平面處的質(zhì)量通量為ux ，則輸入微元體的質(zhì)量流率ux dydz,右側(cè)平面處的質(zhì)量通量為,則輸

3、出微體的質(zhì)量流率,沿x方向的凈輸出質(zhì)量流率為上述二者之差即：,同理：沿y方向的凈輸出質(zhì)量流率為,沿z方向的凈輸出質(zhì)量流率為,三者相加便是此微元體中流體質(zhì)量流率的總輸出與總輸入之差：,即總凈輸出量為：,(輸出的質(zhì)量流率）（輸入的質(zhì)量流率）,在時(shí)，微元體的質(zhì)量為dxdydz，,在d 時(shí)，其質(zhì)量變?yōu)?累積的質(zhì)量速率為上述兩項(xiàng)之差除以d,累積質(zhì)量速率,于是可證流體流動(dòng)時(shí)的微分質(zhì)量衡算式為：,寫成向量形式為：,（31）,（32）,散度,此式即為流體流動(dòng)時(shí)的通用微分衡算方程，又稱為連續(xù)性方程。,適用范圍：,（1）由于推導(dǎo)時(shí)沒作任何假定，故它適用于穩(wěn)態(tài)或非穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。,（2）理想流體和真實(shí)流體。,（3）可壓縮

4、和不可壓縮流體。,（4）牛頓型流體和非牛頓型流體。,它是研究動(dòng)量、熱量和質(zhì)量傳遞過程的最基本、最重要的微分方程之一。,32 對連續(xù)性方程的分析和簡化,將連續(xù)性方程展開可得其另一種形式為：,上式的物理意義分析：,與傳遞過程有關(guān)的許多物理量（如壓力、密度、速度、溫度、濃度等）都是位置和時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，,對于有：,將進(jìn)行全微分得：,（33）,（34）,寫成全導(dǎo)數(shù)的形式為：,（36）,（35）,各項(xiàng)物理意義：,（1）偏導(dǎo)數(shù),表示某固定點(diǎn)處流體密度隨時(shí)間的變化率。因?yàn)閤，y，z固定時(shí)，后三項(xiàng)均為零，,（2）全導(dǎo)數(shù),它可想象為當(dāng)測量運(yùn)動(dòng)流體密度時(shí)，觀察者在流體中以任意速度運(yùn)動(dòng)（式中,為其速度分量，該速度不

5、一定等于流體速度）時(shí)密度對時(shí)間的變化率。顯然，全導(dǎo)數(shù)除了與時(shí)間和位置有關(guān)外，還與觀察者的速度有關(guān)。,（3）隨體導(dǎo)數(shù),若測量流體密度時(shí)，觀察者在流體中的運(yùn)動(dòng)速度與流體運(yùn)動(dòng)的速度完全一致時(shí)，則,為流體流速在三個(gè)坐標(biāo)軸的分量。,此時(shí)，上述方程即可表明流體密度為位置、時(shí)間及流體速度u的函數(shù)。此種隨流體運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)數(shù)稱為“隨體導(dǎo)數(shù)”或“真實(shí)導(dǎo)數(shù)”，或稱拉格朗日（Lagrangian)導(dǎo)數(shù)，記為,（37）,隨體導(dǎo)數(shù)中的物理量可以為標(biāo)量如（壓力、密度、溫度、濃度等），也可以為矢量如（速度）,流體密度的隨體導(dǎo)數(shù)可表示為：,（38）,局部導(dǎo)數(shù),對流導(dǎo)數(shù),隨體導(dǎo)數(shù)由兩部分組成，其一為局部變化，即量在空間的一個(gè)固定點(diǎn)上

6、隨時(shí)間的變化，稱為“局部導(dǎo)數(shù)”,另一部分是量的對流變化，即該量由于流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，由一點(diǎn)移動(dòng)到另一點(diǎn)時(shí)該量所發(fā)生的變化，稱為“對流導(dǎo)數(shù)”。,上式表明：當(dāng)流體質(zhì)點(diǎn)在d時(shí)間內(nèi)，由空間的一點(diǎn)（x，y，z）移動(dòng)到另一點(diǎn)（xdx，ydy，zdz）時(shí)，流體密度對時(shí)間的變化率。,連續(xù)性方程用隨體導(dǎo)數(shù)形式表達(dá)為：,方程中的前三項(xiàng)是速度向量的散度,現(xiàn)在來看第四項(xiàng)的物理意義：,考察隨流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)單位質(zhì)量的流體微元，質(zhì)量衡定，但體積v和密度隨時(shí)間而變，,因?yàn)?（310）,兩邊求隨體導(dǎo)數(shù)得：,（311）,（312）,代入方程（39）得：,（313）,流體微元的體積膨脹速率或形變速率,速度向量的散度實(shí)際上表述了三個(gè)軸

7、線方向上的線性形變速率。,速度向量的散度 等于流體運(yùn)動(dòng)時(shí)體積膨脹速率。此概念很重要，后面要用到多次。,上述方程的物理意義是：,在進(jìn)行動(dòng)量、能量和質(zhì)量衡算及對流體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析時(shí)，有兩種方法。,一是歐拉（Euler）方法：在流體運(yùn)動(dòng)的空間內(nèi)固定某一位置，并且固定被研究流體的體積，但其質(zhì)量隨時(shí)間而變，據(jù)此,來分析該固定位置流體狀況的變化，從而獲得整個(gè)流場流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。,另一是拉格朗日（Lagrange）方法：在流體運(yùn)動(dòng)的空間內(nèi)，選擇某一固定質(zhì)量的微元，觀察者追隨此流體微元一起運(yùn)動(dòng)，并根據(jù)此運(yùn)動(dòng)著的流體微元的狀態(tài)變化來研究整個(gè)流場流體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。此時(shí)，流體質(zhì)量固定，位置變化，體積也可能變化。,在總

8、衡算或微分衡算方程的推導(dǎo)過程中，兩種觀點(diǎn)都可以采用，最終結(jié)果也都一樣，只是不同的情況用某一種方法會(huì),簡化。而用另一種方法會(huì)繁瑣罷了。,比如：推導(dǎo)連續(xù)性方程時(shí)采用歐拉法，而分析該方程時(shí)又采用Lagrange方法。,后面的微分動(dòng)量衡算和微分能量衡算方程的推導(dǎo)將采用Lagrange法。,連續(xù)性方程的化簡,（1）穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的連續(xù)性方程,由于是穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，密度不隨時(shí)間而變，即,，方程（31）可簡化為：,（314）,上式適用于可壓縮和不可壓縮流體。,（2）不可壓縮流體的連續(xù)性方程,由于此時(shí)為常數(shù)，故（31）式可簡化為：,（315）,適用于穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)。此式非常有用！,33 柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程

9、,在研究圓管、圓筒形流道內(nèi)的流動(dòng)時(shí)，在相同半徑上的所有各點(diǎn)都具有相同的速度及其它物理量，此時(shí)用柱坐標(biāo)系表達(dá)連續(xù)性方程最為方便。同理，當(dāng)流動(dòng)系統(tǒng)的范圍面為球形或其一部分時(shí)，采用球坐標(biāo)最方便。,這兩種坐標(biāo)系中的連續(xù)性方程的推導(dǎo)，原則上與直角坐標(biāo)系相似，并且還可通過坐標(biāo)系間的對應(yīng)關(guān)系由直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換而得。這里就不詳講了，結(jié)果如下：,柱坐標(biāo)系上的連續(xù)性方程：,R徑向坐標(biāo),Z軸線坐標(biāo),（316）,方位角,時(shí)間,為三個(gè)方向上的流體速度分量,全緯度,方位角,（316）,為球坐標(biāo)系方向上的速度分量。,球坐標(biāo)系上的連續(xù)性方程：,第二節(jié) 運(yùn)動(dòng)方程,通過微分質(zhì)量衡算，導(dǎo)出了連續(xù)性方程。同樣，微分動(dòng)量衡算可以導(dǎo)出流體

10、的運(yùn)動(dòng)方程。兩者結(jié)合便可解決許多流體運(yùn)動(dòng)問題。這兩方程是三傳的基礎(chǔ)方程。,1 運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo),流體運(yùn)動(dòng)所遵循的牛頓第二定律可表述為：流體的動(dòng)量隨時(shí)間的變化率等于作用在該流體上的諸外力的向量和。,（318）,采用Lagrange方法，對于質(zhì)量衡定且以相同流速跟隨流體運(yùn)動(dòng)的微元流體，方程（318）可寫成：,（319）,方程（319）是向量方程，可以分別為x，y，z三個(gè)方向的分量加以描述，其中的質(zhì)量M可用密度與體積的積表示為：,于是有：,（320）,分解為x，y，z三軸方向上的分量時(shí)，分別為：,（321a）,（321b）,（321c）,i表示慣性力,為作用在上述流體微元上的,合力在x，y，z方向上的

11、分量。,合外力的每一個(gè)分量都由兩類力組成：,（1）質(zhì)量力或體積力，指作用在整個(gè)流體微元上的外力，記為,（2）機(jī)械力或表面力，指作用在流體諸表面上的外力，記為,分別說明如下：,1 質(zhì)量力,在傳遞過程中，僅限于考察處于重力場作用下的流體，所以對于一個(gè)流體微元來說，在x方向上的質(zhì)量力分量 為：,（322）,X單位質(zhì)量流體的質(zhì)量力在x方向上的分量，因只考慮重力場的作用，所以X又指單位質(zhì)量流體所承受的重力在x方向上的分量 ，可寫成：,式中為x軸方向與重力方向之間的夾角。因x方向?yàn)樗椒较?，故X0，同理Z0，Yg,則有：,（323a）,（323b）,（323c）,2 表面力,該力來自該流體微元毗鄰的外部流

12、體，由靜壓力和粘性力所提供，所以又稱為機(jī)械力。對單位表面而言稱為表面應(yīng)力或機(jī)械應(yīng)力。表面應(yīng)力可分為法向和切向兩部分，即法向應(yīng)力和剪應(yīng)力。表面應(yīng)力記為。,圖中標(biāo)出一個(gè)流體微元yz平面上三個(gè)機(jī)械應(yīng)力分量的作用情況， 為法向應(yīng)力分量， 和 為切向應(yīng)力分量，即剪應(yīng)力分量,下標(biāo)的含義為：,第一個(gè)下標(biāo)x為應(yīng)力分量的作用面與x軸相垂直，,第二個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力分量的作用力方向分別為x軸，y軸和z軸方向。,顯然，兩個(gè)下標(biāo)均相同時(shí)，即表示法線應(yīng)力。,法線應(yīng)力：,拉伸方向?yàn)檎聪蛲鉃檎?壓縮方向?yàn)樨?fù)，即向內(nèi)為負(fù)。,X方向上作用于流動(dòng)的流體微元的機(jī)械應(yīng)力分量圖,考察一個(gè)流體微元在x方向上所受到的機(jī)械應(yīng)力情況。此微元

13、的6個(gè)表面都受到與之,毗鄰的、由外部流體而來的機(jī)械應(yīng)力。每一個(gè)應(yīng)力又都可分解為x，y，z方向上的分量。圖中只示出了x方向上的應(yīng)力分量。,當(dāng)流體微元的體積縮小為一點(diǎn)時(shí)，可以想象，相對兩表面上的法向應(yīng)力與切向應(yīng)力都相應(yīng)地大小相等，方向相反。,因此，在流場中，任何一點(diǎn)流體所承受的機(jī)械應(yīng)力狀態(tài)，僅采用9個(gè)機(jī)械應(yīng)力分量即可完全表達(dá)，3個(gè)法向應(yīng)力和6個(gè)剪應(yīng)力，每個(gè)方向兩個(gè)應(yīng)力分量。,可以證明上述6個(gè)剪應(yīng)力可以使流體微元發(fā)生旋轉(zhuǎn)。同時(shí)可以證明它們彼此不是獨(dú)立的，而是相互關(guān)聯(lián)的。,下面將導(dǎo)出其相互關(guān)系。,將圖中的流體微元的xy平面上一個(gè)相應(yīng)平面分離出來加以觀察，則環(huán)繞該平面四周上所作用的4個(gè)剪應(yīng)力表示如下圖：

14、,圖中平面的形心點(diǎn)為0，假設(shè)有一根平行于z軸的軸線穿過形心點(diǎn)時(shí)，顯然，這4個(gè)剪應(yīng)力對于該軸線會(huì)產(chǎn)生力矩，使得流體微元圍繞軸線旋轉(zhuǎn)起來。,力矩應(yīng)等于流體質(zhì)量、旋轉(zhuǎn)半徑平方以及角加速度三者之積。,應(yīng)指出：只有剪應(yīng)力才能對旋轉(zhuǎn)軸產(chǎn)生力矩，而法向應(yīng)力和重力的作用是通過上述形心的，故其不會(huì)產(chǎn)生力矩（即旋轉(zhuǎn)半徑為零所致）。,令：逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)力為正，反之為負(fù)，,則可寫出如下力矩方程：,簡化上式得：,（324）,當(dāng)流體微元小到趨于零時(shí)，則旋轉(zhuǎn)半徑 0因此上式右側(cè)趨于0，于是可得：,（325a）,同樣的道理可得：,（325b）,（325c）,這就是說，前述9個(gè)機(jī)械應(yīng)力中只有6個(gè)是獨(dú)立的。,運(yùn)動(dòng)微分方程的推導(dǎo)：

15、,任參照上述流體微元的受力圖，首先考察x方向上的凈機(jī)械力分量,顯然可用下式表示：,（326）,簡化后：,（327）,再考察x方向上的總外力分量：它等于機(jī)械力分量與重力分量之和，即：,（328）,將式（321a）、（322）和（327）代入方程（328）得：,（329）,同理可得：,（330）,（331）,上式三式即為粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程。,對運(yùn)動(dòng)微分方程的分析：,上述三個(gè)運(yùn)動(dòng)微分方程中，只有三個(gè)已知量X，Y，Z，而獨(dú)立的未知變量達(dá)10,個(gè)之多，即：,因此要想得到其解析解是根本不可能的。只有通過適當(dāng)?shù)暮喕?、假設(shè)才能在某些特殊情況下求解。下面將通過牛頓型流體應(yīng)力與形變速率之間的關(guān)系導(dǎo)出奈維斯托克

16、斯方程。,2 應(yīng)力與形變速率之間的關(guān)系,一 剪應(yīng)力,對牛頓型流體，剪應(yīng)力與剪切速率成正比，即對于一維流動(dòng)，且速度梯度與y軸方向相同時(shí)有：,（332）,其中 為x方向上的形變速率，或稱剪切速率。,如果將形變速率表示成平面夾角變化速率的形式將更為方便。,如圖所示：,對于一維流動(dòng)，設(shè)流體微元的xy平面原為矩形，由于剪切力的作用，此矩形必然發(fā)生形變，經(jīng)d后，變成了虛線,所示的平行四邊形，這一變化可作如下解釋：,當(dāng)粘性流體流動(dòng)時(shí)，由于粘性的作用，會(huì)使平行于x軸的兩相對平面產(chǎn)生相對運(yùn)動(dòng)，亦即在圖示的情況下，在d的時(shí)間內(nèi)，相對運(yùn)動(dòng)使上層流體較下層流體多走行了,一段距離： ，與此相應(yīng)，在xy平面上的原矩形平面

17、的夾角也變化了d（以弧度表示），d的正切可表示為：,（333）,為何取負(fù)號(hào)，是因?yàn)楫?dāng)上層多行走一段距離時(shí)，值減小了，故d 為負(fù)值。,由于d 很小，所以 故上式寫成,（334）,代入牛頓粘性定律得：,（335）,為角形變速率，可理解為微分長度dy以原點(diǎn)為圓心旋轉(zhuǎn)時(shí)的角速度。,利用該式分析三維流體流動(dòng)時(shí)的情況：,粘性流體在流動(dòng)過程中，必然產(chǎn)生體積形變，由原來的方形體變成菱形微元六面體。,分析一下xy平面上所承受的剪應(yīng)力分量與形變速率之間的關(guān)系，,經(jīng)微分時(shí)間d后，由 變成 （其中 和 均為負(fù)值），同一維流動(dòng)相似，可以寫成：,故,（336）,由于牛頓型流體的剪應(yīng)力與形變速率成正比，所以將上式代入式（3

18、-35）后，便可寫成：,同理：,（337a）,（337b）,（337c）,二 法向應(yīng)力,由靜壓力的作用產(chǎn)生部分,流體微元承受壓縮應(yīng)力,體積形變,由粘性應(yīng)力的作用產(chǎn)生部分,微元在法線方向上承受拉伸或壓縮,線性形變,1 如果流體微元靜止，或雖流動(dòng)，但無粘性應(yīng)力的作用（即理想流體）,則流體中各處或一點(diǎn)處各方向上的流速不會(huì)發(fā)生變化，此時(shí)可以認(rèn)為在數(shù)值上法向,應(yīng)力的三個(gè)分量都等于壓力，即：,“”表示法向應(yīng)力方向與靜壓力方向反。,于是可知,（338）,（對于理想流體或靜止的實(shí)際流體成立）,2 對于流動(dòng)的粘性流體,流場中各處流速不同，所以 三者彼此間并不相等，且它們與p的關(guān)系也更復(fù)雜。,代表了三個(gè)法向應(yīng)力的

19、平均值，該平均值與靜壓力p之間的關(guān)系仍然在數(shù)值上相等，即上式仍然成立。,盡管如此，對于氣體和不可壓縮流體而言，,對于流動(dòng)著的粘性流體， ，但仍可寫成：,（339）,式中 為x方向上的法向粘性應(yīng)力分量。,通過變換可得出如下方程：,（340）,（341a）,（a）,（b）,（c）,同理可得：,（341b）,（a）,（b）,（d）,（341c）,（a）,（c）,（c）,這里共出現(xiàn)四項(xiàng)：,a為p,b為,d為,c為,通過分析分別求出這四項(xiàng)對x方向上的線性形變速率的影響，即,對 的影響如下：,（342a）,（342b）,（342c）,（342d）,則在x方向上，由法向應(yīng)力分量 所引起的形變速率之和為 ，它

20、等于,（343）,經(jīng)代入整理并求解 得：,（344a）,同理得：,（344b）,（344c）,上述三式可以看出：,法向應(yīng)力與靜壓力雖有密切關(guān)聯(lián)，但二者概念明顯不同。只有當(dāng)流體靜止或?yàn)槔硐肓黧w時(shí)，二者在數(shù)值上相同，但方向相反。,36 奈維斯托克斯方程,（NavierStokes Equation）,以前導(dǎo)出過以應(yīng)力形式表示的運(yùn)動(dòng)微分方程，x方向的形式為：,（329）,上節(jié)分別導(dǎo)出了 的函數(shù)表達(dá)式，將（344a），（337a），和（337c）代入（329）的x方向上的完全運(yùn)動(dòng)微分方程，經(jīng)整理后得：,（345a）,同理可得，y，z方向上的運(yùn)動(dòng)微分方程：,（345b）,（345c）,將上述三式寫成向量的形式為：,（346）,方程（345a）（345c）稱為奈維斯托克斯方程,方程中共有五個(gè)未知數(shù)：,再加上連續(xù)性方程和流體狀態(tài)方程，正好五個(gè)方程，五個(gè)未知數(shù)，從理論上是可以求解的，但實(shí)際的求解過程極其復(fù)雜，幾乎不可能，所以只是針對一些特殊情況可以將解析式求出。,比如，針對不可壓縮流體這種特殊情況：,連續(xù)性方程為：,代入上三式得不可壓縮流體的奈維斯托克斯方程：,（347a）,（347b）,（347c）,通常所遇到的流體流動(dòng)情況，大多數(shù)都可按不可壓縮流體流動(dòng)處理，所以方程（347）具有實(shí)用意義。,它們?yōu)槊枋雠ｎD型粘性流體運(yùn)動(dòng)時(shí)所共同遵循的基本規(guī)律。,37 柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系