1、第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示,總綱目錄,教材研讀,1.平面向量的基本定理,考點(diǎn)突破,2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,3.平面向量共線的坐標(biāo)表示,考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用,考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示,1.平面向量的基本定理 如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)1、2,使a=1e1+2e2. 其中,不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組 基底.,教材研讀,2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2),a

2、-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=. (2)向量坐標(biāo)的求法 (i)若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo). (ii)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1),|= .,3.平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,則abx1y2-x2y1=0.,D,2.已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),則向量=() A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4),答案A根據(jù)題意得=(3,1),=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故 選A.,A,3.已知點(diǎn)M(5

3、,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為() A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0),A,答案A=-3a=-3(1,-2)=(-3,6), 設(shè)N(x,y),則=(x-5,y+6)=(-3,6), 所以即故點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,0).,4.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=,則c可用向量a,b表示為() A.a+bB.-a-b C.a+bD.a-b,A,答案A設(shè)c=xa+yb,則=(2x-y,x+2y), 所以解得則c=a+b.,5.向量a,b滿足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),則b=.,(-3,4),答案(-3,4),解析由a+b=(-

4、1,5),a-b=(5,-3),得2b=(-1,5)-(5,-3)=(-6,8),所以b=(-6,8)= (-3,4).,6.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A、B、C三點(diǎn)共線,則k= .,答案-,解析=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2),因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共 線,即與共線,所以=(k0),解得k=-.,典例1(1)在ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,CD平分ACB.若=a,=b,|a|= 1,|b|=2,則=() A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b (2)在平行四邊形ABCD中,E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),有=+ ,其中,R,則+=.,考點(diǎn)一平面向量基本

5、定理及其應(yīng)用,考點(diǎn)突破,答案(1)B(2),規(guī)律總結(jié) 用平面向量基本定理解決問題的一般思路 (1)先選擇一組基底,并運(yùn)用平面向量基本定理將條件和結(jié)論表示成該組基底的線性組合,再進(jìn)行向量的運(yùn)算. (2)在基底未給出的情況下,合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便,另外,要熟練運(yùn)用線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式. 提醒:零向量和共線向量不能作基底.,1-1如圖所示,已知向量=2,=a,=b,=c,則下列等式中成 立的是() A.c=b-aB.c=2b-a C.c=2a-bD.c=a-b,A,答案A由=2得+=2(+),即2=-+3,所以 =-,即c=b-a.故選A.,1-2如圖,正方形ABCD中,M是BC的中點(diǎn),若

6、=+,其中, R,則+等于() A.B.C.D.2,B,答案B因?yàn)?+=(+)+(+)=+ (-+)=(-)+, =+,所以解得 +=.故選B.,考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 命題方向一已知向量的坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算,典例2已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),設(shè)=a,=b,=c,且=3c, =-2b.求: (1)3a+b-3c; (2)滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n; (3)M,N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).,典例3(2017課標(biāo)全國,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=+,則+的最大值為 () A.3B.2C.D.2,命題方向二坐標(biāo)法在

7、向量中的應(yīng)用,A,解析分別以CB、CD所在的直線為x軸、y軸,、的方向?yàn)閤軸,y 軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則A(2,1),B(2,0),D(0,1).點(diǎn)P在以C為圓心且與BD相切的圓上,可設(shè)P. 則=(0,-1),=(-2,0),=. 又=+, =-sin +1,=-cos +1, +=2-sin -cos =2-sin(+), 其中tan =,(+)max=3.,答案A,方法技巧,1.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧 (1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo). (2)解題過程中,常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則,通過列

8、方程(組)進(jìn)行求解.,2.向量問題的坐標(biāo)化 當(dāng)題目條件中所給的幾何圖形方便建立平面直角坐標(biāo)系(如矩形、等腰三角形等)時(shí),可建立平面直角坐標(biāo)系,向量坐標(biāo)化,將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,更便于計(jì)算求解.,2-1已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,則c=() A.(-23,-12)B.(23,12)C.(7,0)D.(-7,0),答案A由題意可得3a-2b+c=(23+x,12+y)=(0,0),所以解得 所以c=(-23,-12).,A,2-2在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C(-1,c)(c0),且|=2, 若=+,其中,R,

9、則+的值為.,答案-1,解析因?yàn)閨=2, 所以|2=1+c2=4, 因?yàn)閏0,所以c=. 因?yàn)?+, 所以(-1,)=(1,0)+(0,1), 所以=-1,=, 所以+=-1.,2-3給定兩個(gè)長度為1的平面向量和,它們的夾角為,如圖所 示.點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng).若=x+y,其中x,yR,求x +y的最大值.,解析如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA所在的直線為x軸,的方向?yàn)閤軸的正 方向建立平面直角坐標(biāo)系,則可知A(1,0),B,設(shè)C(cos ,sin ) ,則有x=cos +sin ,y=sin ,所以x+y=cos +sin = 2sin,所以當(dāng)=時(shí),x+y取得最大值2.,考點(diǎn)三平面向量共線

10、的坐標(biāo)表示,典例4已知a=(1,0),b=(2,1). (1)當(dāng)k為何值時(shí),ka-b與a+2b共線? (2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三點(diǎn)共線,求m的值.,解析(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1). a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2). ka-b與a+2b共線,2(k-2)-(-1)5=0, 即2k-4+5=0,得k=-. (2)A,B,C三點(diǎn)共線,=(R). 即2a+3b=(a+mb), m=.,規(guī)律總結(jié) 平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的常見類型及解題策略 (1)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地,在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí),可設(shè)所求向量為

11、a(R), 然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量. (2)利用兩向量共線求參數(shù).如果已知兩向量共線,求某些參數(shù)的取值時(shí),利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab的充要條件是x1y2=x2y1”解題比較方便.,3-1已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三點(diǎn)共線,則k的 值是() A.-B.C.D.,答案A=-=(4-k,-7), =-=(-2k,-2). A,B,C三點(diǎn)共線,共線, -2(4-k)=-7(-2k),解得k=-.,A,3-2(2018山東濟(jì)寧質(zhì)檢)已知向量m=(+1,1),n=(+2,2),若(m+n)(m-n),則=.,0,答案0,解析因?yàn)閙+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),又(m+n)(m-n),所以(2+