1、4.1求積公式 4.1.1 求積公式,結(jié)束,對(duì)定義在區(qū)間a,b上的定積分,以上公式多稱(chēng)為牛頓-萊布尼茲公式，F(xiàn)(x)為f(x)的原函數(shù).但有時(shí)原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，有時(shí)原函數(shù)又十分復(fù)雜，難于求出或計(jì)算.如被積函數(shù)為:,第四章 數(shù)值積分,1,等函數(shù)的積分都無(wú)法解決，當(dāng)被積函數(shù)為一組數(shù)據(jù)時(shí)，更是無(wú)能為力. 為解決定積分的近似計(jì)算,從定積分的定義：,這樣就避開(kāi)了求原函數(shù)的運(yùn)算.(4.1)式就叫做求積公式，Ak(k=0,1,n)與函數(shù)f(x)無(wú)關(guān)，叫做求積系數(shù),顯然要確定一個(gè)求積公式，要確定求積結(jié)點(diǎn)xk和求積系數(shù)Ak，或者說(shuō)不同的求積結(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)將確定不同的求積公式.,結(jié)束,2,結(jié)束,4.1.2

2、 求積公式的余項(xiàng)和代數(shù)精度,一般情況下，(4.1)兩端并不相等.我們稱(chēng):,(4.2)為求積公式(4.1) 的余項(xiàng)，或截?cái)嗾`差.,為考查一個(gè)求積公式的誤差，通常用代數(shù)精度來(lái)表示，如果一個(gè)求積公式對(duì)于不超過(guò)m次的多項(xiàng)式都能夠精確成立(Rf0)，而對(duì)m+1次以上的多項(xiàng)式不能精確成立，則稱(chēng)該求積公式的代數(shù)精度為m.,3,結(jié)束,例如求積公式：,驗(yàn)證當(dāng) f(x)=xm，m=0,1,2,3,4 時(shí)，是否有Rxm=0,4,所以以上求積公式的代數(shù)精度為 3.,任何一個(gè)求積公式的代數(shù)精度至少為零即取f(x)=1時(shí)公式應(yīng)精確成立，這是求積系數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的起碼條件，可以用它檢驗(yàn)一個(gè)求積公式的系數(shù)的正確性.,4.1.3 矩

3、形求積公式,f(x)= f(a)+ f ()(x-a)， 在x,a之間,兩端積分：,把 f(x)在a處作Taylor展開(kāi):,結(jié)束,5,結(jié)束,注意到右端第二項(xiàng)積分，設(shè)f (x)在a,b上連續(xù)，而x-a在 a,b上不變號(hào)(非負(fù))，據(jù)積分中值定理有：,于是有左矩形公式：,同理 , f(x)在b點(diǎn)展開(kāi),可得右矩形公式:,6,結(jié)束,f(x)在中點(diǎn)(a+b)/2展開(kāi),可得中矩形公式 :,不難驗(yàn)證，(4.3)和(4.4)具有零次代數(shù)精度，(4.5)具有一次代數(shù)精度.,7,結(jié)束,4.1.4 內(nèi)插求積公式,由插值可知，對(duì)任一函數(shù)f(x)(包括表格形式的函數(shù))可用一n次多項(xiàng)式對(duì)其插值，即,當(dāng)Pn (x)為拉格朗日

4、插值多項(xiàng)式時(shí)，即,8,結(jié)束,其中:,通常將公式(4.6)叫做內(nèi)插求積公式.,9,4.2 牛頓-柯特斯公式,為便于上機(jī)計(jì)算，通常在內(nèi)插求積公式中取等距節(jié)點(diǎn)，即將積分區(qū)間a,bn等分，即令h=(b-a)/n，且記x0=a,xn=b，則節(jié)點(diǎn)為xk=x0+kh(k=0,1,n)，作變換:t=(x-x0)/h，代入求積系數(shù)公式：,結(jié)束,10,這種由等距節(jié)點(diǎn)的內(nèi)插求積公式通常叫做牛頓-柯特斯公式,下面介紹幾個(gè)常用的公式:,取a=x0,b=x1,(即n=1)，代入(4.9)式得,4.2.1 梯形公式,所以梯形公式為,結(jié)束,11,結(jié)束,這是用梯形面積近似代替曲邊梯形的面積，對(duì)梯形公式的誤差估計(jì)有如下定理：,定

5、理 4.1 設(shè)f(x)為二階連續(xù)可微函數(shù)，則梯形求積公式的余項(xiàng)為 (證明),其中h=b-a，記成上面形式是為以后復(fù)化求積公式余項(xiàng)的一致性.由余項(xiàng)公式立刻可以看出梯形公式的代數(shù)精度為1.,12,結(jié)束,例1 利用梯形公式計(jì)算,解:,4.2.2 拋物形（辛卜生）公式,取a=x0,(a+b)/2=x1,b=x2,(即n=2)，代入(4.9)式得,13,結(jié)束,所以拋物形公式為,其中h=(b-a)/2,上式也可寫(xiě)成:,14,結(jié)束,拋物形公式通常也稱(chēng)為辛普生公式，拋物形公式是用拋物線圍成的曲邊梯形近似代替f(x)圍成的曲邊梯形.,定理4.2 設(shè) f(x)C4a,b，則辛普生公式的誤差估計(jì)為:,直接可以驗(yàn)證拋

6、物形公式代數(shù)精度為3(對(duì)f(x)為三次以下多項(xiàng)式精確成立).,例2 利用拋物形公式計(jì)算,解:,15,結(jié)束,(4.9)式給出,4.2.3 牛頓-柯特斯公式,其中:,可以看出，C(n)k不依賴(lài)函數(shù)f(x)和積分區(qū)間a,b，可以事先計(jì)算出來(lái)，通常叫做牛頓-柯特斯系數(shù)，下面給出n從16的牛頓-柯特斯系數(shù)表4-1：,16,結(jié)束,表4-1,17,結(jié)束,對(duì)牛頓-柯特斯公式，當(dāng)f(x)C na,b，f (n+1)(x)在a,b上存在時(shí)，求積公式的余項(xiàng)為:,對(duì)f(x)為任何不超過(guò)n次的多項(xiàng)式，均有f (n+1)(x) 0，因而Rnf0，也就是說(shuō)，牛頓-柯特斯公式的代數(shù)精度至少為n.,我們可以證明當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，牛

7、頓-柯特斯公式的代數(shù)精度可達(dá)到n+1.,證明: 令n=2k,設(shè),為任一n+1次多項(xiàng)式，其最高次系數(shù)為an+1，則它的n+1階導(dǎo)數(shù)為,18,結(jié)束,下面我們證明,作變換u=t-k，則,19,結(jié)束,容易驗(yàn)證(u)為奇函數(shù)，即(-u)= -(u),而奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分為零，所以,也就是說(shuō)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，牛頓-柯特斯公式對(duì)不超過(guò)n+1次的多項(xiàng)式均能精確成立，因此，其代數(shù)精度可達(dá)到n+1.正是基于這種考慮，當(dāng)n=2k與n=2k+1時(shí)具有相同的代數(shù)精度，因而在實(shí)用中常采用n為偶數(shù)的牛頓-柯特斯公式，如拋物形公式(n=2)等.,20,4.3 復(fù)化求積公式,從求積公式的余項(xiàng)的討論中我們看到，被積函數(shù)所用的

8、插值多項(xiàng)式次數(shù)越高，對(duì)函數(shù)光滑性的要求也越高.另一方面，插值節(jié)點(diǎn)的增多(n的增大)，在使用牛頓-柯特斯公式時(shí)將導(dǎo)致求積系數(shù)出現(xiàn)負(fù)數(shù)(當(dāng)n8時(shí),牛頓.柯特斯求積系數(shù)會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù))因而在實(shí)際應(yīng)用中往往采用將積分區(qū)間劃分成若干個(gè)小區(qū)間，在各小區(qū)間上采用低次的求積公式(梯形公式或拋物形公式)，然后再利用積分的可加性，把各區(qū)間上的積分加起來(lái)，便得到新的求積公式，這就是復(fù)化求積公式的基本思想.為敘述方便，我們僅討論各小區(qū)間均采用同一低次的求積公式的復(fù)化求積公式對(duì)各小區(qū)間也可分別采用不同的求積公式，也可推出新的求積公式，讀者可按實(shí)際問(wèn)題的具體情況討論,結(jié)束,21,4.3.1. 復(fù)化梯形公式,用n+1個(gè)分點(diǎn)將區(qū)

9、間a，bn等分。每個(gè)區(qū)間長(zhǎng),在xk，xk+1上用梯形公式，則,結(jié)束,22,Tn叫做復(fù)化梯形求積公式，下標(biāo)n表示將積分區(qū)間等分的份數(shù).,從公式的特點(diǎn)可以看出，內(nèi)節(jié)點(diǎn)xk(k=1,2,n-1)作為小區(qū)間的端點(diǎn)參與前、后兩個(gè)小區(qū)間的計(jì)算，因而系數(shù)為2，端點(diǎn)a與b只參與一次計(jì)算，系數(shù)為1.,如果在Tn的基礎(chǔ)上，將各小區(qū)間對(duì)分，這時(shí)節(jié)點(diǎn)數(shù)為2n+1，分段數(shù)為2n.記新的分點(diǎn)的函數(shù)值的和為n，則T2n應(yīng)為原內(nèi)節(jié)點(diǎn)與新增節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的和的兩倍，加上兩端點(diǎn)a,b的函數(shù)值之和再乘上新區(qū)間長(zhǎng)度的一半，即,結(jié)束,23,從這一公式可以看出，將區(qū)間對(duì)分后，原復(fù)化梯形公式的值Tn作為一個(gè)整體保留.只需計(jì)算出新分點(diǎn)的函數(shù)值，

10、便可得出對(duì)分后的積分值，不需重復(fù)計(jì)算原節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值，從而減少了計(jì)算量.,結(jié)束,24,定理4.3 設(shè) f (x)C2a,b，復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差,這一復(fù)化梯形求積公式的余項(xiàng)在形式上與(4.13)式相同，不同的是，這里的h=(b-a)/n，而(4.13)式中的h=b-a.,利用復(fù)化求積公式的余項(xiàng)，我們可以估計(jì)出在滿(mǎn)足精度的要求下，應(yīng)將積分區(qū)間等分多少份，即n取多少.這種誤差估計(jì)方法稱(chēng)為事前誤差估計(jì).如例4.3,例3 利用復(fù)化梯形公式計(jì)算 使其誤差限為10-4，應(yīng)將區(qū)間0,1幾等分?,結(jié)束,25,解: 因?yàn)楸环e函數(shù),取n=17可滿(mǎn)足要求.,結(jié)束,26,另一方法是利用公式前后兩次計(jì)算結(jié)果的差來(lái)估計(jì)誤

11、差的，即用T2n-Tn,這是因?yàn)?當(dāng) f (x)在a,b上連續(xù)，并且假定當(dāng)n充分大時(shí)有 f()f()，則,結(jié)束,27,這種誤差估計(jì)方法通常叫做事后誤差估計(jì)，在計(jì)算機(jī)上用來(lái) 控制計(jì)算精度常用這一方法，有的也把這種方法叫做步長(zhǎng)的 自動(dòng)選取或逐次對(duì)分的方法.,因此當(dāng)T2n-Tn時(shí)，可認(rèn)為,結(jié)束,28,4.3.2 復(fù)化拋物形公式,將積分區(qū)間 a,b 分為 2m 等分，n=2m，節(jié)點(diǎn)為 xk=a+kh (k=0,1,2,2m)，h=(b-a)/2m.在每?jī)蓚€(gè)小區(qū)間x2k,x2k+2 (k=0,1,2,m-1)上用拋物形公式，則有:,結(jié)束,29,S2m叫做復(fù)化拋物形求積公式，下標(biāo)2m表示積分區(qū)間等分的份數(shù)

12、，2m強(qiáng)調(diào)為偶數(shù)份.,公式的特點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)x2k,(k=1,2,m-1)作為小區(qū)間x2k, x2k+2的端點(diǎn)，參與前后兩次的辛普生公式的計(jì)算，因而系數(shù)為 2，而奇數(shù)節(jié)點(diǎn)x2k+1,(k=0,1,m-1)因辛普生公式中間點(diǎn)的求積系數(shù)為4而保留4，前面的h/3為辛普生公式的公共求積系數(shù).,定理4.4 設(shè)函數(shù)f(x)C4a,b，則,結(jié)束,30,例4 利用復(fù)化拋物形公式計(jì)算 使其誤差限為10-4，應(yīng)將區(qū)間0,1幾等分?,解:利用例3的結(jié)果,因此只需將區(qū)間0,1二等分，即取m=1(n=2).,結(jié)束,31,前面用復(fù)化梯形公式計(jì)算此題，滿(mǎn)足相同的精度需要將區(qū)間 0,117等分，可見(jiàn)復(fù)化拋物形公式的精度的確比復(fù)化

13、梯形公式精度高同樣也可用 S4m-S2m 來(lái)控制計(jì)算的精度.,4.4 龍貝格(Romberg)求積公式,4.4.1 復(fù)化梯形公式的逐次分半公式,我們已知的T2n與Tn的關(guān)系,結(jié)束,32,于是可以逐次對(duì)分形成一個(gè)序列T1,T2,T4,T8,此序列收斂 于積分真值 I.當(dāng) |T2n-Tn|時(shí),取T2n為I的近似值.以上算法稱(chēng) 為復(fù)化梯形公式的逐次分半公式. 但由于此序列收斂太慢 ,因 此并不實(shí)用.現(xiàn)我們?cè)噲D將它改造成為收斂快的序列.,如認(rèn)為,則有,結(jié)束,33,于是有:,記,這樣我們從收斂較慢的Tn序列推出了收斂較快的Sn序列. 可以證明Sn序列實(shí)際上就是逐次分半的復(fù)化拋物形公式序列.,如認(rèn)為,則有

14、,于是有:,記,這樣我們從Sn序列又推出了收斂更快的Cn序列. 可以證明Cn序列實(shí)際上就是逐次分半的復(fù)化柯特斯公式序列.,結(jié)束,34,如認(rèn)為,則有,于是有:,記,這樣我們從Cn序列又推出了收斂更快的Rn序列. Rn序列也稱(chēng)為龍貝格序列.這樣我們從收斂較慢的Tn序列只用了一些四則運(yùn)算,便推出了收斂更快的Sn序列, Cn序列和Rn序列. 這個(gè)過(guò)程還可繼續(xù)下去,但已意義不大.我們常將這四個(gè)序列排成如下的三角形數(shù)表(表4-2),結(jié)束,35,表4-2,該表四個(gè)序列都是收斂的.,結(jié)束,36,例5 利用龍貝格方法計(jì)算 解:計(jì)算結(jié)果列如下表:,這一結(jié)果與I=相比較已有較好的精度.,結(jié)束,37,4.5 高斯型求

15、積公式,由前面的討論已經(jīng)知道，以a=x0x1xn=b為節(jié)點(diǎn)的N-C求積公式的代數(shù)精度一般為n或n+1,這時(shí)節(jié)點(diǎn)簡(jiǎn)單地按照閉式等距的方式確定。對(duì)一個(gè)求積公式而言，如果不固定節(jié)點(diǎn)的位置，在節(jié)點(diǎn)數(shù)目不變的情況下，代數(shù)精度能否提高，最多能達(dá)到多少?高斯型求積公式討論的就是最高代數(shù)精度的求積公式.先看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，考慮兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式.,4.5.1 最高代數(shù)精度的求積公式,結(jié)束,38,這里積分區(qū)間選為-1,1 不失一般性，因?yàn)閷?duì)區(qū)間a,b，總可用變量替換,將化為-1,1上的積分.從而用（4.35）式得到解決。,現(xiàn)在不固定節(jié)點(diǎn)x0,x1的位置為區(qū)間端點(diǎn)-1,1，而允許取在 (-1,1) 內(nèi)，即選取 x

16、0 , x1及A0，A1，使 (4.35)具有最高的代數(shù)精度. 為 此，分別取 代入(4.35)式，得方 程組,結(jié)束,39,取前四個(gè)方程構(gòu)成此方程組是因?yàn)橹挥?4個(gè)待定數(shù)x0,x1，A0, A1，即代數(shù)精度m=3.,方程組(4.36)有一組解為,即求積公式,具有的代數(shù)精度為 3,結(jié)束,40,從上面這一簡(jiǎn)單的例子可以看到，節(jié)點(diǎn)數(shù)目不變的情況下，求積公式的代數(shù)精度是可以提高的.下面就對(duì)一般問(wèn)題進(jìn)行討論，即當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目為n+1時(shí)，求積公式的代數(shù)精度最高能達(dá)多少，怎樣才能達(dá)到這一最高的代數(shù)精度.,設(shè)節(jié)點(diǎn)為x0,x1,xn，求積公式為：,共2n+2未知參數(shù),可列2n+2個(gè)方程,由此可以推設(shè)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上

17、的求積公式，其代數(shù)精度最多為2n+1，即 (4.38)的代數(shù)精度可以達(dá)到2n+1.通常確定節(jié)點(diǎn)xk與求積系數(shù)Ak不是通過(guò)解非線性方程組，而是利用正交多項(xiàng)式的性質(zhì)來(lái)求得的.下面討論更一般情況的高斯型求積公式,結(jié)束,41,其中(x)0為權(quán)函數(shù)，為使此公式對(duì)f(x)為不超過(guò)2n+1次的多項(xiàng)式時(shí)能精確成立，記:,用(x)去除 f(x)，則可表示成,其中，q(x)為商，r(x)為余，q(x),r(x)均為不超過(guò)n次的 多項(xiàng)式，于是有,結(jié)束,42,如果對(duì)任何不超過(guò) n次的多項(xiàng)式 q(x)都有,又因?yàn)?則,結(jié)束,43,即求積公式(4.40)對(duì)不超過(guò) 2n+1次的多項(xiàng)式能精確成立,而 滿(mǎn)足條件(4.43)只需

18、 q(x)與(x)為區(qū)間a,b上關(guān)于權(quán)函 數(shù)(x)正交，若取節(jié)點(diǎn)xk(k=0,1,2,n)恰為此正交多項(xiàng)式 系中n+1次多項(xiàng)式的n+1個(gè)零點(diǎn)，而由正交多項(xiàng)式的性質(zhì)可知 這些根均為實(shí)根，無(wú)重根，且全部分布在(a,b)內(nèi)這樣，對(duì) 于給定的權(quán)函數(shù)總能構(gòu)造出關(guān)于此權(quán)函數(shù)在a,b區(qū)間上的 正交多項(xiàng)式系Pk(x)，然后取其第n+1次多項(xiàng)式的n+1個(gè)零 點(diǎn)作為高斯型求積公式的節(jié)點(diǎn).節(jié)點(diǎn)確定之后，再按下面的公 式計(jì)算高斯型積分公式的求積系數(shù):,結(jié)束,44,這里,l k(x)就是拉格朗日插值基函數(shù).,對(duì)高斯型求積公式的截?cái)嗾`差有如下結(jié)果 定理4.5 設(shè)f(x)C2n+2a,b，則高斯型求積公式的截?cái)嗾`差為,還可

19、進(jìn)一步證明：只要函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，則當(dāng)n時(shí)，高斯型求積公式將收斂于積分值.高斯型求積公式的優(yōu)點(diǎn)是代數(shù)精度高，但是節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)的計(jì)算比較麻煩.為使用方便，將某些常見(jiàn)的正交多項(xiàng)式系的節(jié)點(diǎn)與求積系數(shù)事先算出列成數(shù)表，這樣在選定節(jié)點(diǎn)數(shù)目時(shí)，便可根據(jù)不同的權(quán)函數(shù)直接查表求得求積公式的節(jié)點(diǎn)及求積系數(shù)，而不必每次都用正交條件去求節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的求積系數(shù).,結(jié)束,45,高斯型求積公式在計(jì)算含e-x，e-x2等因子的廣義積分時(shí)十分有用 這是其它方法不可比擬的,4.5.2 幾個(gè)常用的高斯型求積公式,下面我們給出幾種常用的高斯型求積公式的節(jié)點(diǎn)與相應(yīng)的系數(shù)表,1.高斯-勒讓德(Gauss-Legendre)求

20、積公式 高斯-勒讓德求積公式是古典的高斯求積公式，通常就叫做高斯求積公式.它以-1,1上關(guān)于權(quán)函數(shù)(x)1的勒讓德多項(xiàng)式,為正交多項(xiàng)式系Pk(x),(其中P0(x)=1),結(jié)束,46,表4-4給出了Gauss-Legendre 求積公式在n=28時(shí)的節(jié)點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的系數(shù).,例6 利用兩點(diǎn)Gauss-Legendre 求積公式計(jì)算,解:因?yàn)?為偶函數(shù),高斯求積公式的截?cái)嗾`差為,結(jié)束,47,2.高斯-拉蓋爾(Gauss-Laguerre)求積公式 該公式以0,+)區(qū)間上，關(guān)于權(quán)函數(shù)(x)=e-x的拉蓋爾多項(xiàng)式,為正交多項(xiàng)式系Lk(x)(其中L0(x)=1)，求積節(jié)點(diǎn)xk和系數(shù)Ak由表4-5.,結(jié)束,48,使用不同的n值，