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1、第 二 章,曲面論,1,3 曲面的第二基本形式,主要內(nèi)容,1.曲面的第二基本形式； 2.曲面上曲線的曲率； 3.Dupin指標(biāo)線； 4.曲面的漸近方向和共軛方向； 5.曲面的主方向和曲率線； 6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率； 7.曲面在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu)； 8.Gauss曲率的幾何意義.,2,定義,注,計(jì)算公式：,3.1 曲面的第二基本形式,3,4,3.2 曲面上曲線的曲率,1.曲面上曲線的曲率,5,2.法截線、法曲率,6,定義,7,定理,8,例3,解：,9,例4,證：,10,3.3 杜邦(Dupin)指標(biāo)線,定義,方程,11,注,12,形狀,13,曲面上點(diǎn)的分類,14,3.4 曲面的

2、漸近方向和共軛方向,復(fù)習(xí),二次曲線,1. 漸近方向,定義：,曲線的分類：,叫做二次曲線的漸近方向.,2. 中心,定義：,如果點(diǎn)C是二次曲線的通過(guò)它的所有弦的中點(diǎn)那么點(diǎn)C叫做二次曲線的中心.,15,求法：,曲線的分類：,16,3. 直徑,定義：,也叫做共軛于平行弦方向的直徑.,二次曲線的平行弦中點(diǎn)軌跡叫做二次曲線的直徑，,4. 共軛方向,定義：,求法：,5. 主直徑與主方向,定義：,主直徑的方向與垂直于主直徑的方向 都叫做二次曲線的主方向,二次曲線的垂直于其共軛弦的直徑 叫做二次曲線的主直徑，,17,1.曲面的漸近方向,定義,注,18,定義,命題1,證:,注,19,命題2,證:,20,定理,注,

3、定義,注,21,命題3,證:,22,2.共軛方向,定義,定理,23,定義,命題,證：,24,命題4,25,3.5 曲面的主方向和曲率線,1.主方向,定義,問(wèn)題：,26,27,28,定義,注,29,例5,證：,例6,證：,30,31,主方向的判別定理,證：,32,注,33,2.曲率線與曲率線網(wǎng),定義,方程,命題,證：,34,35,注,命題5,例7,解：,36,3.6 曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率,1.主曲率,定義,37,38,注,39,命題6,證：,40,主曲率的計(jì)算公式,41,42,2.高斯曲率和平均曲率,定義,43,44,例8,解：,45,46,47,例9,注：,解：,48,49,50,3.7 曲面在一點(diǎn)鄰近的結(jié)構(gòu),曲面上點(diǎn)的分類,51,52,53,54,55,3.8 高斯曲率的幾何意義,1.曲面的球面表示、曲面的第三基本形式,定義

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