1、第十一章 理想剛塑性體的平面應(yīng)變問題,11-1 平面應(yīng)變問題的基本方程 11-2 滑移線 11-3 滑移線的幾何性質(zhì) 11-4 邊界條件 11-5 剛性平頭沖模的壓入 *11-6 滑移線場的數(shù)值解法,引言,前面主要是討論了塑性力學(xué)中的一些簡單問題。但是，對(duì)許多具有重大實(shí)際意義的問題，由于它們的復(fù)雜性，要獲得準(zhǔn)確的解答往往是很困難的。因此，不得不引用某些假設(shè)，使問題得到適當(dāng)?shù)暮喕缓笳页鼋平獯?。忽略彈性變形，而把材料看成是剛塑性的，這就是從材料方面作的一個(gè)簡化。當(dāng)塑性變形可以自由地發(fā)展，這種簡化是合理的。但在彈性區(qū)特別是彈、塑性區(qū)交界處的所謂過渡區(qū)域內(nèi)，這樣的簡化帶來的誤差就比較大。盡管如此

2、，引用剛塑性假設(shè)以后，仍將使很多具有實(shí)際意義的問題得到一個(gè)很好的近似解。 當(dāng)物體的形狀是很長的或兩端固定的等截面柱體，而所受載荷與橫截面平行且沿長度不變，這就是彈性力學(xué)中的平面應(yīng)變問題。其變形特點(diǎn)是沿長度方向的應(yīng)變?yōu)榱?，橫截面內(nèi)的應(yīng)變與長度方向坐標(biāo)無關(guān)。土建、水利中的擋土墻和重力壩等，都是很接近于平面應(yīng)變問題的。 對(duì)于理想塑性體，當(dāng)截荷逐漸加大時(shí)，都可到達(dá)極限狀態(tài)，即載荷不變而變形可以不斷增長的狀態(tài)，與極限狀態(tài)對(duì)應(yīng)的載荷即為塑性極限載荷。從前面的一些例子中可以看出，如果只要求確定塑性極限載荷，則不須從彈性狀態(tài)到塑性狀態(tài)一步步地求解，而可以采用剛塑性材料模型直接求解，所得結(jié)果與彈塑性結(jié)果相同。本

3、章將討論理想剛塑性體在平面應(yīng)變條件下的塑性極限載荷以及在塑性區(qū)內(nèi)的應(yīng)力和變形分布。由于忽略彈性變形，以下所講的剛性區(qū)實(shí)際上包括彈性區(qū)以及與彈性變形同量級(jí)的約束塑性變形區(qū)。,111 平面應(yīng)變問題的基本方程,1應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)圖11-1 平面應(yīng)變 取圖111所示平頭沖模壓入為例，在橫截面內(nèi)取x、y軸，且取z軸垂直于該平面。對(duì)于平面應(yīng)變問題，物體內(nèi)各點(diǎn)的位移平行于xy平面，且與z無關(guān)，即 u =u（x，y） v=v（x，y） w=0 由幾何方程應(yīng)有 而 也與z無關(guān)，則應(yīng)變張量為,圖11-1 平面應(yīng)變,(111),z=0 yz=zx = 0,x y xy,（112a）,相應(yīng)的應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)變率張量為:

4、,(112b),取,和,，,，,，則有,關(guān)于應(yīng)力分量，根據(jù)理想剛塑性體的evyMises本構(gòu)方程：,或者,就有yz =zx = 0,由z= 0，則得：,S z = 0 即,（113）,（114）,解得,進(jìn)而可得平均應(yīng)力為 ：,設(shè),所以，塑性區(qū)的應(yīng)力張量和應(yīng)力偏張量分別為 ：,由于 ,所以 是主應(yīng)力之一。如設(shè) , 由材料力學(xué)可得另外兩個(gè)主應(yīng)力，從而有,yz =zx = 0,z,123,（115）,(116),最大剪應(yīng)力為 ：,z方向的正應(yīng)力也等于平均應(yīng)力。顯然在平面應(yīng)變情況下，每一點(diǎn)的 應(yīng)力狀態(tài)相當(dāng)于平均應(yīng)力加上純剪應(yīng)力，如圖112所示。如不考慮平均 應(yīng)力，則其應(yīng)力狀態(tài)相當(dāng)于純剪應(yīng)力狀態(tài)。,作用

5、于max作用面上的正面應(yīng)力為,2. 基本方程 （1）平衡微分方程 討論即將流動(dòng)的瞬時(shí)，體積力不計(jì)，且各量與坐標(biāo)z無關(guān)，則有,圖11-2 應(yīng)力狀態(tài),（117）,（2）屈服條件 將主應(yīng)力表達(dá)式代入Tresca和Mises屈服條件， 得出相同形式的屈服條件，即,（118）,式中：按Tresca屈服條件 ；按Mises屈服條件 。,（3）本構(gòu)關(guān)系 按 Levy Mises 本構(gòu)關(guān)系，有,可以化作,（11-9a）,(119b),即,（4）體積不可壓縮條件 由于略去彈性變形，材料成為不可壓縮的，則有,(1110),基本方程組中的五個(gè)式子：（117）、（118）、（119）、（1110）， 并利用邊界條件，

6、將決定塑性區(qū)內(nèi)的三個(gè)應(yīng)力分量x、y、xy和兩個(gè)速度分 量x 、y 。對(duì)于理想剛塑性問題，在塑性流動(dòng)區(qū)域中的應(yīng)力分布一般是唯一 的，與之對(duì)應(yīng)的塑性極限載荷也是唯一的。但速度場則只能確定到一個(gè)未定因 子的范圍。,112 滑移線 1滑移線及其微分方程 塑性區(qū)內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，如圖113（a）所示，可作圖113（b） 所示的應(yīng)力圓。從圖中可見，它可用平均應(yīng)力與純剪應(yīng)力狀態(tài) 相疊加的 應(yīng)力狀態(tài)來表示。平均應(yīng)力=z= 。 最大剪應(yīng)力所在平面平行于 z軸，且與主平面成 45 的夾角。其上的正應(yīng)力和切應(yīng)力則分別為應(yīng)力圓 上、 點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)所表示。 由屈服條件（118）式可知，此應(yīng)力圓的半徑為k，即 。

7、在塑 性區(qū)內(nèi)每 一點(diǎn)都能找到一對(duì)正交的極值剪應(yīng)力方向。于是，在塑性區(qū)內(nèi)可以 作出兩組正交的連續(xù)曲線，曲線上每一點(diǎn)的切線即為該點(diǎn)處極值剪應(yīng)力作用 面的法線方向，所以，它們是極值剪應(yīng)力的方向線，分別稱為族及族滑移線。 在塑性區(qū)內(nèi)布滿了這種正交的滑移線網(wǎng)絡(luò)，形成滑移線場。 由圖113可知，滑移線是極值剪應(yīng)力 所在面的法線，如取、為 右手坐標(biāo)系，則主應(yīng)力1應(yīng)位于、坐標(biāo)系的第一、三象限，所以，由1 方向順時(shí)針轉(zhuǎn)過45就是方向，逆時(shí)針轉(zhuǎn)45就是方向，這種關(guān)系使得我 們很容易通過最大主應(yīng)力方向確定滑移場方向。角是線的切線方向與x軸的 夾角，并規(guī)定相對(duì)于x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?圖11-3 塑性區(qū)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài),

8、如圖114所示的、族滑移線，其微分方程式分別為,(1111),圖11-4 滑移線單元體上的應(yīng)力,式中=（x ,y），是各點(diǎn)位置的函數(shù)。,2. 用滑移線坐標(biāo)系表示的平衡方程 在建立了正交的滑移線網(wǎng)絡(luò)后，為了今后討論方便起見，現(xiàn)將上節(jié)在 x、y 坐標(biāo)系中的平衡方程轉(zhuǎn)換到、曲線坐標(biāo)系中。在該坐標(biāo)系中的平 均應(yīng)力與剪應(yīng)力k，如圖114所示。塑性區(qū)中由應(yīng)力圓可得出：,（1112）,因此，求應(yīng)力分布的問題就變成求角和平均應(yīng)力的分布問題。,將式（1112）代入平衡方程（117），得,（1113）,這是兩個(gè)含有未知函數(shù)（x、y）及（x、y）的一階偏導(dǎo)數(shù)的非線性微 分方程?？梢宰C明，該方程組屬雙曲線型，滑移線即

9、為它的特征線，因而可 通過滑移線來求此偏數(shù)分方程組的解。,取、作為曲線坐標(biāo)，如圖114所示，并設(shè)x、y沿、方向，即以=0 代入式（1113），得,（1114）,式中 是沿、線的導(dǎo)數(shù)。因此就有,(1115),其中C和C為常數(shù)。沿同一條（或）線，參數(shù)C（或C）之值不變， 但由一族中某一條滑移線轉(zhuǎn)移到另一條滑移線時(shí)，這些常數(shù)一般是要變化的。 式（1115）是在、坐標(biāo)系中的平衡方程，表示、沿這些線的變化規(guī) 律，稱為漢基（Hencky）方程,也常被稱為塑性方程的積分。它們是塑性理論應(yīng) 用于壓力加工的基本方程。 如果已知滑移線場，即已知場的變化，則應(yīng)用式（1115），可根據(jù)某點(diǎn) b的平均應(yīng)力去確定場內(nèi)任意

10、點(diǎn)a的平均應(yīng)力，如圖115所示。顯然，滑移線方 向變化越大，平均應(yīng)力的變化也越大。,圖11-5 由b確定a 圖11-6 滑移線坐標(biāo)系中的速度分量,3用滑移線坐標(biāo)系表示的速度方程,如圖116所示，設(shè) 、為塑性區(qū)內(nèi)的任意點(diǎn) O的速度矢量沿滑移線及 方向的速度分量。從而速度矢量沿直角坐標(biāo)x與y方向的分量x 、y與 、 關(guān)系為,（1116）,將上式代入（119a）得,現(xiàn)取x、y沿、方向，即= 0。因 為有限值，所以上式左側(cè)分子應(yīng)為零， 得,（1117）,（1118）,這就是沿滑移線的速度方程。,順便指出，滑移線具有剛性性質(zhì)。由式（119b）可得,如取x、y沿、方向， = =,則有,而由式（1110）有

11、,所以就有,和,即沿滑移線的相對(duì)伸長速度為零，表明滑移線具有剛性性質(zhì)，塑性區(qū)的變形 只有沿滑移線方向的剪切流動(dòng)。 如果已知滑移線場，即的變化為已知，則可由式（1118）用差分法求出 、 沿滑移線變化的規(guī)律。因此，關(guān)健也在于如何作出滑移線場。,113 滑移線的幾何性質(zhì),滑移線場具有某些固有的幾何性質(zhì)，這些性質(zhì)對(duì)求解具體問題很有幫助。,1. Hencky第一定理,現(xiàn)考慮一個(gè)以兩條線(AP、BQ)和兩條線(AB、PQ)為界的曲邊四邊形A BQP，如圖117所示。 對(duì)于滑移線場中任一結(jié)點(diǎn)，存在有,(a),圖11-7 Hencky第一定理證明,由（a）式可解出：,(b),對(duì)于曲邊四邊形ABQP則有,沿1

12、兩結(jié)點(diǎn)角之差：BA= 沿2兩結(jié)點(diǎn)角之差：QP=,上下兩式比較，顯然有,(c),它說明了同族的兩條滑移線與另一族中任一條滑移線在交點(diǎn)處的切線間的夾角 不變。,同樣可以證明存在有,(d),它說明了同族的兩條滑移線與另一族中任一條滑移線在交點(diǎn)處的平均應(yīng)力的改 變是相同的。 歸納起來：同一族的兩條滑移線與另一族中任一條滑移線在交點(diǎn)處的切線間的 夾角以及平均應(yīng)力的改變都是相同的。這就是Hencky第一定理。,推論 1: 若一族滑移線某一段為直線，則被另族滑移線截割的所有這族的相應(yīng)線 段也都是直線，且長度相等。 如圖118（a）所示。由于族滑移線的直線段AB，在與族滑移線交點(diǎn)A、B處 的切線間夾角為零，由

13、式（c）可知，在A、B處切線間夾角也為零，從而AB、 AB等均為直線。 任何曲線的法包線是它的曲率中心的幾何軌跡。顯然，滑移線AA和BB具有同一 條法包線，如圖118（a）。原來的曲線AA和BB可由法包線展開而作出，在畫出 曲線BB時(shí)，僅比畫出曲線AA縮短一個(gè)線段AB。所以AB與AB的長度相等。 在區(qū)域AABB內(nèi)，沿同一線（直線）上的值不變，故也不變。應(yīng)力分布僅 沿線改變（因在改變）。這種應(yīng)力稱為簡單應(yīng)力場。圖（b）所示的中心場就是 一例。 推論2 若兩族滑移線均為直線，則在此區(qū)域內(nèi)的任一點(diǎn)的、值都相同。這樣 的滑移場形成均勻應(yīng)力場，如圖119所示。,圖11-8,圖11-9 均勻應(yīng)力場 圖11

14、-10 Hencky第二定理的證明,2. Hencky第二定理 如沿一族的某一滑移線移動(dòng)，則另一族滑移線在交點(diǎn)處的曲率半徑改 變量，在數(shù)值上等于所移動(dòng)過的距離。如用公式表示則為,（1119）,如、線的曲率半徑分別為R、R； 則曲率就為,（e）,這里規(guī)定(或)線的曲率中心位于S（或S）增加方向時(shí)，曲率半 徑為正。反之為負(fù)。圖1110所示R、R均為正。由于沿著線曲率增 加方向，角增加；而沿著線曲率增加方向，角減少。因此，式（e） 中的兩式出現(xiàn)不同的正、負(fù)號(hào)。 考慮由無限接近的、族滑移線所圍成的曲邊四邊形ABQP如圖1110。 式（e）可寫成,(f),沿線對(duì)S計(jì)算導(dǎo)數(shù)：,(g),另一方面，由圖111

15、0中的幾何關(guān)系來求此導(dǎo)數(shù)。在此，研究的是微段弧， 為了便于說明問題，以割線代替切線，從圖上可知,由此可得,由（g）式即有,圖11-11 應(yīng)力導(dǎo)數(shù)間斷與曲率間斷,根據(jù)Hencky第一定理，是不隨S變化 的常數(shù)，因而就有,同理可證,這就是Hencky第二定理。,為了數(shù)值計(jì)算方便，將式（1119）寫成： 沿線 dR + dS = 0 沿線 dR+ dS = 0,由于dS和dS可分別以Rd以及（Rd）來代替，故上式可寫成,（1120）,用式（1120）來確定、滑移線的形狀，也是比較方便的。,推論 若應(yīng)力分量對(duì)(或)的導(dǎo)數(shù)在通過(或) 線時(shí)發(fā)生間斷 (不連接），則(或)線在通過(或)線處的曲率也將發(fā)生間

16、斷。 式（1114）第一式為,或?qū)懽?而 為線的曲率。因此，如沿線的應(yīng)力導(dǎo)數(shù) 在某點(diǎn)處間 斷，則該點(diǎn)的曲率 亦發(fā)生間斷。這說明應(yīng)力導(dǎo)數(shù)的不連續(xù)性只能在跨 過另一族滑移線時(shí)發(fā)生，并且體現(xiàn)在曲率的不連續(xù)性上，如圖1111所示， A點(diǎn)以左R=，而A點(diǎn)以右R為有限值，而這咱變化是在跨過一條線時(shí) 發(fā)生的,至此，我們得到了沿滑移線的應(yīng)力、速度和曲率半徑的三組方程，為 今后應(yīng)用方便，將它們歸納如下：,（1121）,11.4 邊界條件,以上已將基本方程變換成沿滑移線的方程，因此邊界條件也要作相應(yīng)的變換。 1給定邊界上的應(yīng)力確定和 在塑性區(qū)內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力滿足屈服條件，因此，由邊界應(yīng)力n、n（圖1112）所作應(yīng)力圓

17、的半徑為k。但是，通過(n、n)點(diǎn)所作半徑為k的應(yīng)力圓有兩個(gè)，因而與邊界面垂直的截面上的應(yīng)力t有兩個(gè)值，如圖1113所示。t的確定必須從問題的整體來考慮。例如一個(gè)張角為2r90的平面應(yīng)變無限楔體，圖1114（a），在AB邊上作用有均勻壓力p, AC邊為自由邊界。考慮AC邊上任一點(diǎn)e，已知n =n = 0，由屈服條件得t =2k，據(jù)此可作兩個(gè)應(yīng)力圓，如圖1114（b）。根據(jù)楔體受力后的變形分析，AC邊受壓，應(yīng)取t =2k，即取左邊的應(yīng)力圓。d點(diǎn)的平均應(yīng)力。,圖11-14 從問題的整體考慮確定,應(yīng)力圓確定后，即確定了主應(yīng)力，邊界上的、線也就可以確定了。 下面討論用數(shù)學(xué)公式表示邊界條件。設(shè)物體表面上

18、任一點(diǎn)的外法線n與x軸的夾角為，如圖1112所示，則該點(diǎn)的應(yīng)力n和n可由應(yīng)力分量x 、y和xy表示為,(a),在塑性區(qū)內(nèi)有:,將式(b)代入式(a)，則有,(b),(c),上式即為塑性區(qū)的邊界條件 ,如果邊界上給定n 、n，則可求得邊界處沿滑移線的平均應(yīng)力以及值，由上式可得,（11-22）,式中， 的取主值。m為任意正、負(fù)整數(shù)或零，可從角的選取中確定。上式說明，對(duì)應(yīng)于給定的n 、n，和并不是唯一的，還需根據(jù)具體問題來正確選取。例如，可以根據(jù)邊界各點(diǎn)的切向正應(yīng)力t的性質(zhì)來確定，因?yàn)槠骄鶓?yīng)力為所以有t=2n （1123）當(dāng)t的正負(fù)號(hào)可以判斷時(shí)，由式（1123）就能確定的正負(fù)號(hào)，進(jìn)而確定式（1122

19、）中的正負(fù)號(hào)。或者，由最大主應(yīng)力1的方向來確定方向，即決定角。,下面討論兩種特殊情況： 光滑接觸表面。邊界上n 0，而n = 0，即邊界面為主平面之一。由（1122）式得 如取m = 0，則，即滑移線與邊界成45夾角。在邊界為直線時(shí)，滑移線場如圖1115。 接觸表面的摩擦力達(dá)到變形金屬的物理性質(zhì)所能允許的最大值，即邊界上的n = k。邊界面即為極值剪力作用面，因此，在這種情況下，一族滑移線與邊界成90，另一族則與邊界線有公切或以邊界線為其包絡(luò)線。當(dāng)邊界線為直線時(shí)，滑移線場如圖1116所示。,上面討論的是兩種極端情況，對(duì)于其它情況，即0nk時(shí)，滑移線與邊界的夾角值介于上述兩者之間。,2剛塑性區(qū)交

20、界線如果不計(jì)整體的剛體位移，可以認(rèn)為在剛性區(qū)內(nèi)速度 ，而在塑性區(qū)內(nèi) 不能全為零，所以，在剛塑性區(qū)交界線上必有速度間斷，可以證明：速度間斷面必為滑移線或滑移線族的包絡(luò)線。,3兩個(gè)塑性區(qū)的交界線,如果兩個(gè)塑性區(qū)的交界線L不是滑移線，圖1117，則和通過時(shí)要發(fā)生間斷。這種間斷相當(dāng)于通過一點(diǎn)有兩個(gè)不同的應(yīng)力圓，參看圖1113，即法向應(yīng)力n 、n連續(xù)，而切向正應(yīng)力t間斷，其值為 如圖11-18所示同時(shí)，由應(yīng)力圓上轉(zhuǎn)角的關(guān)系可知L與兩邊滑移線的夾角必相等，即圖11-17中所示的 + =,115 剛性平頭沖模的壓入,現(xiàn)討論寬為2b、長為l的條形剛性平頭沖模以速度v壓入塑性介質(zhì)（半無限平面）時(shí)，在極限狀態(tài)下介

21、質(zhì)的塑性流動(dòng)問題。如圖1119（a）所示，介質(zhì)內(nèi)各點(diǎn)處于平面應(yīng)變狀態(tài)。,假設(shè)沖頭與平面間的接觸表面光滑，沖頭對(duì)介質(zhì)的壓力p均勻分布。于是，AB為光滑的直線邊界，而AE、BF為直線的自由邊界。圖1119（a）所示為Hill提出的滑移線場 .,由彈性力學(xué)知，A、B兩點(diǎn)可能因應(yīng)力集中產(chǎn)生很大應(yīng)力而首先進(jìn)入屈服，如圖1119（b）。隨著外力的增加，塑性區(qū)由A、B兩點(diǎn)逐漸擴(kuò)展，最終連成一體而發(fā)生塑性流動(dòng)，由此可構(gòu)造出圖示的滑移線場。在開始流動(dòng)的瞬間，沖頭以速度v向下移動(dòng)，此時(shí)的載荷即為極限載荷。,1滑移線場,由于問題的對(duì)稱性，可只討論右半邊。 在邊界AE上，n =y= 0，n=xy= 0。根據(jù)上節(jié)對(duì)第一

22、種特殊情況的討論可知，滑移線為直線，且與AE邊界成45夾角。同理，在邊界AO上，因?yàn)?，n =y= p，n=xy= 0，滑移線也為直線，且與AO邊界成45夾角。 在ACD區(qū)內(nèi)，AC和AD為直線且互相垂直。現(xiàn)考察它們是同族滑移線，還是異族滑移線。若為同族滑移線，則由于A為應(yīng)力奇點(diǎn)，AC與AD為直線，將構(gòu)成夾角為90的中心場（中心扇形區(qū)）ACD；若為異族，則根據(jù)Hencky第一定理，該區(qū)滑移線均勻直線，形成均勻應(yīng)力場。這就要求圖1119（a）中的A點(diǎn)與O點(diǎn)的應(yīng)力相同，這是不可能的。因?yàn)镺點(diǎn)位于AOC區(qū)，A點(diǎn)位于ADE區(qū)，兩個(gè)區(qū)域受力不同，區(qū)內(nèi)的平均應(yīng)力顯然不同。所以，AC與AD 只可能為同族滑移線，

23、而ACD 為中心扇形區(qū)。,確定兩族滑移線：在ADE區(qū)內(nèi)，取單元a進(jìn)行分析，如圖1119（c），當(dāng)介質(zhì)發(fā)生流動(dòng)時(shí)，單元a沿著滑移線往AE邊界擠出，將受到圖示方向的剪應(yīng)力k作用，據(jù)此可確定及線。,2. 塑性區(qū)應(yīng)力分布與極限載荷,AED區(qū)域：該區(qū)為均勻應(yīng)力區(qū)，取邊界上的E點(diǎn)進(jìn)行分析。已知 ，E點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖1120所示。 ,于是由屈服條件： 得t=x=2k。因位于、線第一、三象限的主應(yīng)力n=0是最大主應(yīng)力，故t應(yīng)為負(fù)值，即t=-2k。由此可得E點(diǎn)的平均應(yīng)力為 這也就是AED區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的平均應(yīng)力值。,ACD區(qū)域：該區(qū)為中心扇形區(qū)，平均應(yīng)力只沿線變化，沿線不變。取任一點(diǎn)Q進(jìn)行分析。由方程（1115）

24、第一式有,即,由此可見，只要知道Q點(diǎn)的位置，確定了就可求得Q，再利用（1112）式求出該點(diǎn)的應(yīng)力分量x、y和xy。,AOC區(qū)域：該區(qū)為均勻應(yīng)力區(qū)。以O(shè)點(diǎn)為研究對(duì)象，已知，則沿線有,即,確定極限載荷P：沖頭下任一點(diǎn)（如O點(diǎn)）沿y方向的應(yīng)力為,得出,已知沖頭寬度為2b，則單位長度的極限載荷為,3. 速度場 已知沿AB邊界 ；沿剛、塑性分界線OCDE要求法向速度連續(xù)，所以 。AOC區(qū)：已知 ，由式（1118）沿線有 所以,即,AOC區(qū)域?yàn)榫鶆蛩俣葓?。式中常?shù)可由邊界條件確定。在AB邊界上 ，要求法向速度連續(xù)， 故有 即為ACD區(qū)：該區(qū)內(nèi) 。沿線有 即 所以 由AOC和ACD交界線上的速度值可知，在A

25、CD區(qū)也有,AED區(qū)：同樣可得 ， .至此，塑性區(qū)內(nèi)各點(diǎn)的速度已全部求得。沿線 ；沿線已知沖頭長度為l，沖頭下壓時(shí)單位時(shí)間內(nèi)壓下的體積為 V=2bl在AE、BF邊界上，由于沿DE、GF的速度為 ，因而向上的垂直分量為。AE、BF的長度均為b，因而被擠出的材料體積為 V=2bl所以有 V= V符合體積不可壓縮的假設(shè)。,本例除以上討論的Hill解外，尚有Prandtl解。這個(gè)解相當(dāng)于把原來的塑性區(qū)域加以擴(kuò)充，如圖1121。顯然，AOC1D1E1中的應(yīng)力分布仍和Hill解一樣，所對(duì)應(yīng)的極限壓力p和極限載荷P也不變，它和Hill解的最大差別在于速度分布不同。如圖1121，沿AB上各點(diǎn)的不再需要等于零，

26、而等于 。這樣可以定出 。在AD1E1區(qū)，由于法向速度 = 0，因此，可得到沿AE1向上的速度分量為 ，比Hill解小一半，但體積不可壓縮條件仍然滿足，因?yàn)榕cHill解相比，AE1 = 2AE，即向上移動(dòng)的面積增大了一倍。,4Prandtl解,由上面兩種解答可見，極限載荷是唯一的，而速度分布有差異。 對(duì)于實(shí)際的彈塑性介質(zhì)變形情況，如圖1122所示。圖中EDCOHGF為塑性流動(dòng)區(qū)，陰影區(qū)為約束塑性變形區(qū)，EIF下面的是彈性區(qū)。,116 滑移線場的數(shù)值解法,從理論上講，有了方程式和邊界條件，就可求出塑性區(qū)內(nèi)的滑移線網(wǎng)和應(yīng)力、速度分布。實(shí)際上只有少數(shù)邊值問題才有這樣的分析解。對(duì)于比較復(fù)雜的問題，一般是利用滑移線的幾何性質(zhì)，采用數(shù)值計(jì)算方法加以解決。下面介紹一種差分方法，它是根據(jù)給定的邊界數(shù)值，用有限差分法推算滑移線網(wǎng)絡(luò)上各點(diǎn)的坐標(biāo)，算出各點(diǎn)的參數(shù)，進(jìn)而求出各點(diǎn)的應(yīng)力。,在力給定邊界附近的塑性區(qū)，滑移線場大致可以分為以下三種情況。,1第一類邊值問題Rieman問題,圖11-23 第一類邊值問題 給定的邊界為兩條