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1、,106 高斯公式 通量與散度,一、高斯公式,二、通量與散度,高斯公式的物理意義、,散度,散度的計算、通量、高斯公式的另一形式,一、高斯公式,定理1 設(shè)空間閉區(qū)域W是由分片光滑的閉曲面S所圍成，函數(shù) P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有,這里S是W的整個邊界的外側(cè)，cosa 、cosb 、cosg是S上點(x, y, z) 處的法向量的方向余弦 這兩個公式稱為高斯公式,證明,如圖所示，把S看成由S1，S2和S3三部分組成，其中S1和S2的 方程分別為zz1(x, y)和 zz2(x, y) ，S1 取下側(cè)，S2 取上側(cè)，S3 取外 側(cè)設(shè)

2、閉區(qū)域W在xOy面上的投影區(qū)域為D xy,簡要證明：,Dxy,根據(jù)三重積分的計算法，有,另一方面，有,以上三式相加，得,類似地有,把以上三式兩端分別相加，即得高斯公式,解 這里P(yz)x，Q0，Rxy，,由高斯公式，有,解 設(shè)S1為zh(x2y2 h 2)的上側(cè)，則S與S1一起構(gòu)成一個閉曲 面，記它們圍成的空間閉區(qū)域為W,而,因此,由高斯公式得,二、通量與散度,高斯公式,的右端可解釋為單位時間內(nèi)離開閉區(qū)域W的流體的總質(zhì)量，左 端可解釋為分布在W內(nèi)的源頭在單位時間內(nèi)所產(chǎn)生的流體的總 質(zhì)量,高斯公式的物理意義：,在流速場 F P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 內(nèi)一定點M(x, y, z)附近任取一包圍M點的閉曲面S，設(shè)S所圍成的 區(qū)域為W，W的體積為V，則,散度：,表示單位時間從W的單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流量，而,表示在點M處單位時間內(nèi)所產(chǎn)生的流量，我們稱其為向量場F在 點M的散度，記為divF，即,設(shè)P、Q、R具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則,散度的計算：,設(shè)S是向量場F內(nèi)的一片有向曲面，n是S上點(x, y, z)處的單位 法向量，則

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