1、第二講參數(shù)方程 一曲線的參數(shù)方程 第1課時參數(shù)方程的概念、圓的參數(shù)方程,【自主預(yù)習(xí)】 1.曲線的參數(shù)方程的定義 一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點的 坐標(biāo)x,y都是某個變數(shù)t的函數(shù)_,并且對于t 的每一個允許值,由方程組所確定的點M(x,y)都在這 條曲線上,那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程.變 數(shù)t叫做參變數(shù),簡稱_.,參數(shù),2.圓的參數(shù)方程,【即時小測】 1.曲線 (為參數(shù))圍成圖形的面積等 于() A.B.2C.3D.4,【解析】選D.曲線 即 (為參數(shù))表示圓心為(-1,3),半徑 為2的圓,所以面積等于4.,2.已知 (t為參數(shù)),若y=1,則x=_. 【解析】若y=1

2、,則t2=1,則t=1,x=0或2. 答案:0或2,【知識探究】 探究點參數(shù)方程的概念、圓的參數(shù)方程 1.曲線的參數(shù)方程中參數(shù)的實際意義是什么? 提示:在曲線的參數(shù)方程中,參數(shù)可以有明確的幾何意義,也可以有明確的物理意義,如時間、旋轉(zhuǎn)角等.當(dāng)然也可以是沒有實際意義的變數(shù).,2.圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是什么? 提示:(1)圓的參數(shù)方程 中參數(shù)的幾何意 義: 射線Ox繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到OM(M(x,y) 是圓上的任意一點)位置時轉(zhuǎn)過的角度. 如圖所示.,(2)圓的參數(shù)方程 中參數(shù)的幾何意義: 如圖所示,設(shè)其圓心為C,CM0 x軸,則參數(shù)的幾何意義是CM0繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)到CM(M(x,y)是

3、圓上的任意一點)位置時轉(zhuǎn)過的角度.,【歸納總結(jié)】 1.曲線的參數(shù)方程的理解與認(rèn)識 (1)參數(shù)方程的形式:曲線上點的橫、縱坐標(biāo)x,y都是變量t的函數(shù),給出一個t能唯一地求出對應(yīng)的x,y的值,因而得出唯一的對應(yīng)點;但是橫、縱坐標(biāo)x,y之間的關(guān)系并不一定是函數(shù)關(guān)系.,(2)參數(shù)的取值范圍:在表示曲線的參數(shù)方程時,必須指明參數(shù)的取值范圍.因為取值范圍不同,所表示的曲線也會有所不同.,2.參數(shù)方程與普通方程的統(tǒng)一性 (1)參數(shù)的作用:參數(shù)是間接地建立橫、縱坐標(biāo)x,y之間的關(guān)系的中間變量,起到了橋梁的作用. (2)參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化:曲線的普通方程是相對參數(shù)方程而言的,普通方程反映了坐標(biāo)變量x與y之

4、間的直接聯(lián)系,而參數(shù)方程是通過變數(shù)反映坐標(biāo)變量x與y之間的間接聯(lián)系.,特別提醒:普通方程和參數(shù)方程是同一曲線的兩種不同表達(dá)形式,參數(shù)方程可以與普通方程進(jìn)行互化.,類型一參數(shù)方程的表示與應(yīng)用 【典例】已知曲線C的參數(shù)方程是 (t為參 數(shù),aR)點M(-3,4)在曲線C上. (1)求常數(shù)a的值. (2)判斷點P(1,0),Q(3,-1)是否在曲線C上.,【解題探究】典例中如何求常數(shù)的值?如何判斷點與曲線的位置關(guān)系? 提示:為了求常數(shù)的值,只需將點M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別代入?yún)?shù)方程中的x,y,消去參數(shù)t,求a即可.要判斷點與曲線的位置關(guān)系,只要將點的坐標(biāo)代入曲線的參數(shù)方程檢驗即可,若點的坐標(biāo)是方程的

5、解,則點在曲線上,否則,點不在曲線上.,【解析】(1)將點M(-3,4)的坐標(biāo)代入曲線C的參數(shù)方程 得 消去參數(shù)t,解得a=1.,(2)由上述可得,曲線C的參數(shù)方程是 將點(1,0)的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程得 得t=0, 因此點(1,0)在曲線C上. 將點(3,-1)的坐標(biāo)代入?yún)?shù)方程得 方程組無解,因此點(3,-1)不在曲線C上.,【方法技巧】點與曲線的位置關(guān)系 (1)動點的軌跡:滿足某種約束條件的動點的軌跡形成曲線,點與曲線的位置關(guān)系有兩種:點在曲線上,點不在曲線上.,(2)對于曲線C的普通方程f(x,y)=0,若點M(x1,y1)在曲線上,則點M(x1,y1)的坐標(biāo)是方程f(x,y)=0的解,

6、即有f(x1,y1)=0.若點N(x2,y2)不在曲線上,則點N(x2,y2)的坐標(biāo)不是方程f(x,y)=0的解,即有f(x2,y2)0.,(3)對于曲線C的參數(shù)方程 (t為參數(shù))若點M(x1, y1)在曲線上,則 對應(yīng)的參數(shù)t有解,否則無解, 即參數(shù)t不存在.,【變式訓(xùn)練】已知曲線C的參數(shù)方程為 (t為 參數(shù)). (1)判斷點A(1,0),B(3,2)與曲線C的位置關(guān)系. (2)若點M(10,a)在曲線C上,求實數(shù)a的值.,【解析】(1)把點A(1,0)的坐標(biāo)代入方程組,解得t=0,所以點A(1,0)在曲線上. 把點B(3,2)的坐標(biāo)代入方程組,得 即 故方程組無解,所以點B不在曲線上.,(

7、2)因為點M(10,a)在曲線C上,所以 解得 所以a=6.,類型二求曲線的參數(shù)方程 【典例】長為3的線段兩端點A,B分別在x軸正半軸和y 軸正半軸上滑動, 點P的軌跡為曲線C. (1)以直線AB的傾斜角為參數(shù),求曲線C的參數(shù)方程. (2)求點P到點D(0,-2)距離的最大值.,【解題探究】典例中點P是線段AB的幾等分點?如何建立點的坐標(biāo)的參數(shù)方程?如何求距離的最大值? 提示:點P是線段AB的一個三等分點,利用三角函數(shù)建立點的坐標(biāo)的參數(shù)方程.建立距離的目標(biāo)函數(shù),轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最大值.,【解析】(1)設(shè)P(x,y),由題意,得 所以曲線C的參數(shù)方程為,(2)由(1)得|PD|2=(-2cos)

8、2+(sin+2)2= 4cos2+sin2+4sin+4=-3sin2+4sin+8= 當(dāng) 時,|PD|取得最大值,【方法技巧】求曲線的參數(shù)方程的注意事項 (1)求曲線的參數(shù)方程關(guān)鍵是確定參數(shù),本題以線段所在直線的傾斜角為參數(shù),通過解直角三角形得到曲線上動點坐標(biāo)的三角函數(shù)方程.,(2)求兩點間距離的最大值的關(guān)鍵是利用參數(shù)方程建立目標(biāo)函數(shù),通過配方法求函數(shù)的最值,要注意函數(shù)的定義域.,【變式訓(xùn)練】1.若x=t-1(t為參數(shù)),求直線x+y-1=0的參數(shù)方程. 【解析】把x=t-1代入x+y-1=0,得y=-t+2, 所以直線x+y-1=0的參數(shù)方程為,2.已知邊長為a的等邊三角形ABC的頂點A

9、在y軸的非負(fù)半軸上移動,頂點B在x軸的非負(fù)半軸上移動,求頂點C在第一象限內(nèi)的軌跡的參數(shù)方程.,【解析】如圖,設(shè)C(x,y),ABO=, 過點C作x軸的垂線段CM,垂足為M. 則 所以 （為參數(shù)，0 ）為所求.,類型三圓的參數(shù)方程與應(yīng)用 【典例】(2016漳州高二檢測)已知曲線C1: (t為參數(shù)),C2: (為參數(shù)). (1)化C1,C2的方程為普通方程,并說明它們分別表示什 么曲線.,(2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t= ,Q為C2上的動點, 求PQ中點M到直線C3: (t為參數(shù))距離的最小值.,【解題探究】(1)如何根據(jù)參數(shù)方程判斷曲線的形狀? 提示:將參數(shù)方程化為普通方程再判斷曲線形狀.

10、(2)如何求點到直線距離的最小值? 提示:利用參數(shù)方程化為三角函數(shù)的最小值求解.,【解析】(1)由曲線C1: (t為參數(shù)) 得 利用三角函數(shù)的平方和公式消去參數(shù)t, 得C1:(x+4)2+(y-3)2=1, 曲線C1為圓心是(-4,3),半徑是1的圓. 同理,得C2: 曲線C2為中心是坐標(biāo)原點,焦點 在x軸上,長半軸長是8,短半軸長是3的橢圓.,(2)當(dāng)t= 時,P(-4,4),Q(8cos,3sin), 故 C3為直線x-2y-7=0, M到C3的距離d= |4cos-3sin-13|= |5cos(+)-13|, 當(dāng)cos(+)=1時,d取得最小值,【方法技巧】 (1)圓的參數(shù)方程中的參數(shù)

11、是角,所以圓上的點的坐標(biāo)是三角函數(shù). (2)與距離有關(guān)的最大值或最小值問題,常常利用圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解決.,【變式訓(xùn)練】 1.(2016合肥高二檢測)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),直線l的方程為x-3y+2=0,則 曲線C上到直線l距離為 的點的個數(shù)為() A.1B.2C.3D.4,【解析】選B.曲線C: (為參數(shù))的普通方程為(x-2)2+(y+1)2=9, 表示圓心C(2,-1),r=3的圓, 由于圓心(2,-1)到直線x-3y+2=0的距離為,又r-2d= 所以r-dd, 所以圓C上到l距離為 的點有2個.,2.已知點 Q是圓 上的動點, 則|PQ|的最大值是_.,【解析】由題意,設(shè)點Q(cos,sin), 則 故|PQ|max= 答案:2,自我糾錯參數(shù)方程表示曲線的判斷 【典例】(2016漳州高二檢測)參數(shù)方程為 (t為參數(shù))表示的曲線是() A.一條直線