1、,上次課主要內(nèi)容： 群的定義 1、定義114 設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)， 為二元運(yùn)算 如果 運(yùn)算是可結(jié)合的，存在單位元 e G， 并且對G中的任何元素x都有x-1 G，則稱G為群。 在含幺半群的基礎(chǔ)上添加了條件：每個(gè)元素均有逆元,2、特殊的群 1、定義115 (1)若群G是有窮集，則稱G是有限群 否則稱為無限群 群G的基數(shù)稱為群G的階 (2)只含單位元的群稱為平凡群 (3)若群G中的二元運(yùn)算是可交換的， 則稱G為交換群或阿貝爾(Abel)群,3、群中元素的冪 定義： G是群， aG ， n Z 則元素a的n次冪: e n = 0 an = an-1a n0 (a-1)m n0 n=-m,4、元素的階 定義

2、117 設(shè)G是群，a G，使得等式: ak=e 成立的最小正整數(shù)是稱為d的階(a的周期）， 記作 a =k 這時(shí)也稱a為k階元 若不存在這樣的正整數(shù)k，則稱a為無限階元,5、元素冪的性質(zhì) 定理111 設(shè)G為群 則G中的冪運(yùn)算滿足： (1)aG ，(a-1)-1 = a (2)a,bG,(ab)-1=b-1a-1 (3)aG anam=an+m n,mZ (4)aG (an)m=anm n,mZ (5)若G為交換群，則(ab)n=anbn a-r=(ar)-1 （ar)-1 = (a-1)r,7、群滿足消去律 定理113 設(shè)G為群， a,b，cG 1)若 ab = ac 則 b = c 2)若

3、ba = ca 則 b = c,6、定理112 設(shè)G為群， a,bG 方程 ax=b和ya=b在G中有解且有惟一解 幺元是群中唯一的等冪元,8、定理 設(shè)G為群， aG 且|a|=r 1) ak = e 當(dāng)且僅當(dāng) r|k 2) |a-1|= |a| 例：分析 是否構(gòu)成群 將集合去掉0 構(gòu)成群 是否構(gòu)成群 將集合去掉0 呢？ 看 當(dāng)k是素?cái)?shù)時(shí) 構(gòu)成群,例 設(shè)G=a1，a2，an是n階群 令aiG=aiaj | j=1，2， , n 證明 aiG = G 證: 由群中運(yùn)算的封閉性有aiG G 假設(shè) aiG G，即|aiG |n 必有aj，ak G使得 aiaj = aiak (j k) 由消去律得

4、aj=ak，與 | G |= n矛盾,例：設(shè) G是群 a,bG是有限階元 證明(1)|b-1ab| =|a| (2)|ab | = |ba| 設(shè)a的階為r, b-1ab 階為t， 則展開b-1ab的r次冪，結(jié)果為e 則有 t|r 再將 a 變形為 a=bb-1abb-1 又可得到 a的階r是b-1ab 階t的因子 即 r|t 所以有r=t,2) 設(shè) |ab|=r ,|ba|=t 則展開 (ab)tab = a(bababa)b =a(ba)tb = ab 即 (ab)t = e 有 r|t 展開（ba)rba = b(ababab)a = b(ab)ra = ba 即 (ba)t = e 有

5、t|r 所以有 r=t,例： 設(shè)G是有限群，則G中階大于2的元素有偶數(shù)個(gè) 對于任何元素a的階為2，那么a的階只能為1或2 若a的階為2 則aa=e 那么 a-1= a 反之 當(dāng)a-1= a 則a的階為2 由于元素a的階與其逆元的階相同 那么大于階為2的元素不可能出現(xiàn) a-1= a 即階數(shù)大于的元素是成對出現(xiàn)的 即若 a的階為3，必有b=a-1a的階也為3,例：設(shè)G是群 a,bG 若 |a|=2,|b|=3 且有ab=ba 則有 |ab|=6 . 解：設(shè)ab的階為n, (ab)6=a6b6 (因?yàn)閍b=ba) =e 則n|6 那么n只能為1，2，3，6 逐個(gè)進(jìn)行否定 1不成立 ab=e 由于aa

6、=e 得a=b 2不成立 （ab）2=a2b2=b2=e 與b的階為3矛盾 3不成立 （ab）3=a3b3=a3=a=e 與a的階為2矛盾 所以 |ab|=6, 102 子群與群的陪集分解 一、子群就是群的子代數(shù) 1）定義 設(shè)G是群，H是G的非空子集，如果H關(guān)于G中的運(yùn)算構(gòu)成群，則稱H是G的子群， 記作HG 若H是G的子群，且H G，則稱H是G的真子群， 記作HG,例：對于群G= 對于H= (n是自然數(shù))是G的子群 如 ：H= 特別當(dāng)n1時(shí)，H是G的真子群 對任何群G都存在子群G和 被稱為G的平凡子群,例：求G=的所有子群 集合Z4的所有子集為： 0,1,2,3,0,1,0,2, 0,3,1,

7、2,1,3,2,3, 0,1,2,0,1,3,0,2,3, 1,2,3,0,1,2,3 在這些子集中對運(yùn)算封閉的僅有： 0, 0,2, 0,1,2,3 且對運(yùn)算滿足結(jié)合律 均有幺元 0 每個(gè)元素的逆元均存在 , 是G的子群（平凡子群） 是G的真子群,二、子群的判定定理 1、定理104(判定定理一) 設(shè)G為群，H是G的非空子集H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng)下面的條件成立： 1） a,bH 有 ab H （運(yùn)算封閉) 2) aH 有 a-1 H (存在逆元) 充分性：只要證明e H 即可,3、 定理116(判定定理三) 設(shè)G為群，H是G的非空子集 如果H是有窮集，則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng) a,bH 有 ab

8、H 證明： 按判定定理一只需證a-1 H a e 作S=a,a2,a3, H H為有限集，必有ai=aj (ij) 由消去律 可得 aj-i=e 那么 aj-i-1a = e 則 a-1 = aj-i-1 H,2、定理105(判定定理二) 設(shè)G為群，H是G的非空子集 則H是G的子群當(dāng)且僅當(dāng) a,bH 有 ab-1 H 充分性：利用判定定理一 由H非空 aa-1 H 即 e H e,a H 則 ea-1 H 即a-1H a,bH 可得到 b-1H ab = a(b-1)-1 H,例、設(shè)G是群 對于任意的a G 令S= an |n Z 證明S是G 的子群 證：按判定定理二來判斷 對任意的an,am

9、 S an(am)-1 = an(a-1)m =an-m n- m Z 所以 an-m S 如果a的階是有限的（為r) 則 S=a,a2,a3,ar,在klein四元群中 =e = a,e = b,e = c,e ,由a的各次冪構(gòu)成的子群稱為由a生成的子群，記為 例：中由 所生成的子群 為 在中由 所生成的子群 因?yàn)?20=0,21=2,22=4,23=0 =, e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e,例、設(shè)G為群，H與K是G的子群 證明：H K是G的子群 證： 1）非空 由于H與K是子群 eH 且 eK e HK 2)運(yùn)算封閉a,b H

10、K ab HK 3)逆元存在 a H K aH a-1 H aK a-1 K a-1 HK 對于 H K能否構(gòu)成G的子群？ 要有條件： 當(dāng)且僅當(dāng) H K 或 K H,例、設(shè)G為群， 令C= a | aG且xG有ax=xa 證明C是G的子群 證：1）非空 xG 由eG ex=xe eG 2)運(yùn)算封閉a,bC 有 (ab)x =a(bx)=a(xb)=(ax)b =x(ab) ab C 3)逆元存在 aC 由于 ax=xa xG 由a-1 G a-1(ax)a-1=a-1(xa)a-1 即 xa-1 = a-1x a-1 C 稱C為G的中心 如果G是可交換群,則C=G 對于非交換群則C= e,三、

11、群的陪集分解 1、右陪集定義 設(shè)H是群G的子群，aG 令Ha=ha|hG 稱Ha是子群H在G中的右陪集，稱a為Ha的代表元素 例：設(shè)G=e,a,b,c是Klein四元群，H=e,a是G的子群 H的所有右陪集為：He=Ha=H=e,a Hb=b,c=Hc 不同的右陪集只有兩個(gè)H、b,c 2、右陪集的性質(zhì) 1）定理10.7 設(shè)H是群G的子群，則 （1）He=H (2) aG 有 aHa,2)定理10.8 設(shè)H是G群的子群 則a,bG 有aHb ab-1H Ha=Hb 兩個(gè)右陪集相等的充分必要條件 若aHb h H 且a=hb,兩邊通運(yùn)算b-1 ab-1=h 故有ab-1H 證：aHb Ha=Hb 由 Ha=Hb aHa 一定有 aHb 由 aHb h H 使得 a=hb 同乘h-1 有 h-1a=b 從Ha中取任意元素 h1a h1a= h1hb= h1hb =(h1h)b Hb Ha Hb 反之 任取h1b Hb h1b= h1h-1a= (h1h-1)a Ha Hb Ha 相互包含則相等,作業(yè)：P203 17、18、20、22,定理11.19 設(shè)G為循環(huán)群 1）若G是無限階群，則G只有兩個(gè)生成元 a和a-1 2）若G是n階循環(huán)群， 則G含有（n）個(gè)生成元。 對于任何小于等于n且與n互素的正整數(shù)r，ar是G的生成元, 10.7 循環(huán)群與置換群 一、循環(huán)群 1、定義 設(shè)G