1、5 向心加速度,一、感受圓周運動的向心加速度 1.圓周運動必有加速度:圓周運動是_運動,_運動必 有加速度。 2.勻速圓周運動的加速度方向:,變速,變速,太陽中心,圓心,圓心,圓心,【自我思悟】 1.勻速圓周運動和勻速直線運動的相同點和不同點是什么? 提示:相同點:速度的大小不變。不同點:前者速度的方向時刻變化,后者不變;前者具有加速度,后者沒有加速度。 2.圓周運動的向心加速度為什么指向圓心? 提示:多個實例證明勻速圓周運動的合外力指向圓心,由牛頓第二定律知其加速度(即向心加速度)也指向圓心。,二、向心加速度 1.定義:做勻速圓周運動的物體具有的指向_的加速度。 2.大小:(1)an= ;(

2、2)an=_。 3.方向:沿半徑方向指向_,與線速度方向_。,2r,圓心,垂直,圓心,【自我思悟】 1.地球在不停地公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn),關(guān)于地球的自轉(zhuǎn),思考以下問題: (1)地球上各地的角速度大小、線速度大小是否相同? (2)地球上各地的向心加速度大小是否相同?,提示:(1)地球上各地自轉(zhuǎn)的周期都是24h,所以地球上各地的角速度大小相同,但由于各地自轉(zhuǎn)的半徑不同,根據(jù)v=r可知各地的線速度大小不同。 (2)地球上各地自轉(zhuǎn)的角速度相同,半徑不同,根據(jù)an=2r可知,各地的向心加速度大小因自轉(zhuǎn)半徑的不同而不同。,2.如圖所示,小球在拉力作用下做勻速圓周運動,請思考: (1)小球的向心加速度是恒定的嗎?其方

3、向一定指向圓心嗎?,提示:不恒定。小球的加速度總是沿著繩子方向指向圓心,所以其方向不斷變化,加速度時刻發(fā)生變化。,(2)若手握繩子的位置不變,增加小球的轉(zhuǎn)速,則它的向心加速度大小如何變化? 提示:根據(jù)a=2r知,當半徑不變,角速度變大時,加速度a也變大。,一、對向心加速度方向及意義的理解 深化理解 1.物理意義:描述線速度改變的快慢,只表示線速度的方向變化的快慢,不表示其大小變化的快慢。 2.方向:做勻速圓周運動的物體,其速度的大小(速率)不變,方向不斷改變,所以加速度a沒有與v同方向的分量,它必然沿半徑方向指向圓心,故稱之為向心加速度。,3.圓周運動的性質(zhì):不論向心加速度an的大小是否變化,

4、an的方向是時刻改變的,所以圓周運動的向心加速度時刻發(fā)生改變,圓周運動一定是非勻變速曲線運動?！皠蛩賵A周運動中”的“勻速”應(yīng)理解為“勻速率”。 4.變速圓周運動的向心加速度: 做變速圓周運動的物體的加速度有兩個分量:一是向心加速度,二是切向加速度。向心加速度表示速度方向變化的快慢,切向加速度表示速度大小變化的快慢。,【微思考】 (1)在勻速圓周運動中,物體的加速度就是向心加速度嗎?加速度一定指向圓心嗎? 提示:在勻速圓周運動中,物體的加速度就是向心加速度,加速度一定指向圓心。 (2)在變速圓周運動中,物體的加速度就是向心加速度嗎?加速度一定指向圓心嗎? 提示:在變速圓周運動中,物體的加速度不是

5、向心加速度,加速度不指向圓心,向心加速度指向圓心。,【題組通關(guān)】 【示范題】下列關(guān)于向心加速度的說法中正確的是() A.向心加速度的方向始終指向圓心 B.向心加速度的方向保持不變 C.在勻速圓周運動中,向心加速度是恒定的 D.在勻速圓周運動中,向心加速度的大小不斷變化,【解題探究】(1)向心加速度的物理意義是什么? 提示:加速度是表示速度變化快慢的物理量,向心加速度僅表示物體速度方向變化的快慢,不表示物體速度大小變化的快慢。 (2)向心加速度方向為_。,始終指向圓心,【規(guī)范解答】選A。向心加速度的方向時刻指向圓心,線速度的方向時刻沿圓周的切線方向,故向心加速度的方向始終與線速度的方向垂直,A正

6、確;向心加速度的大小不變,方向時刻指向圓心,不斷變化,故B、C、D錯誤。,【通關(guān)1+1】 1.(多選)(2014廊坊高一檢測)下列說法中正確的是() A.勻速圓周運動的速度大小保持不變,所以做勻速圓周運動的物體沒有加速度 B.做勻速圓周運動的物體,雖然速度大小不變,但方向時刻都在改變,所以必有加速度 C.做勻速圓周運動的物體,加速度的大小保持不變,所以是勻變速曲線運動 D.勻速圓周運動的加速度大小雖然不變,但方向始終指向圓心,加速度的方向發(fā)生了變化,所以勻速圓周運動既不是勻速運動,也不是勻變速運動,【解析】選B、D。做勻速圓周運動的物體,速度的大小不變,但方向時刻改變,所以必有加速度,且加速度

7、大小不變,方向時刻指向圓心,加速度不恒定,因此勻速圓周運動既不是勻速運動,也不是勻變速運動,故A、C錯誤,B、D正確。,2.關(guān)于向心加速度的物理意義,下列說法正確的是() A.它描述的是線速度大小變化的快慢 B.它描述的是線速度方向變化的快慢 C.它描述的是物體運動的路程變化的快慢 D.它描述的是角速度變化的快慢,【解析】選B。加速度始終與線速度方向垂直,故向心加速度只表示線速度的方向改變的快慢,不表示線速度的大小改變的快慢,A、D錯誤,B正確。圓周運動中,線速度是描述物體運動路程變化快慢的物理量,C錯誤。,3.做勻速圓周運動的兩物體甲和乙,它們的向心加速度分別為a1和a2,且a1a2,下列判

8、斷正確的是() A.甲的線速度大于乙的線速度 B.甲的角速度比乙的角速度小 C.甲的軌道半徑比乙的軌道半徑小 D.甲的速度方向比乙的速度方向變化快,【解析】選D。由于不知甲和乙做勻速圓周運動的半徑大小關(guān)系,故不能確定它們的線速度、角速度的大小關(guān)系,A、B、C錯。向心加速度是表示線速度方向變化快慢的物理量,a1a2,表明甲的速度方向比乙的速度方向變化快,D對。,【變式訓(xùn)練】關(guān)于向心加速度,下列說法正確的是() A.向心加速度是描述線速度變化的物理量 B.向心加速度只改變線速度的方向,不改變線速度的大小 C.向心加速度大小恒定,方向時刻改變 D.向心加速度的大小可用 來計算,【解析】選B。加速度是

9、描述速度變化快慢的物理量,向心加速 度是描述線速度方向變化快慢的物理量,因此A錯,B對。只有勻 速圓周運動的向心加速度大小恒定,C錯。公式 適用 于勻變速運動,圓周運動是變加速運動,D錯。,二、對向心加速度公式的理解 拓展延伸 1.向心加速度公式: (1)基本式:an= ;an=2r。 (2)拓展式:an= ;an=v。,2.推導(dǎo):設(shè)質(zhì)點沿半徑為r的圓周做勻速圓周運動,在某時刻t位于A點的速度為vA,經(jīng)過很短的時間t后運動到B點,速度為vB,把速度矢量vA和vB的始端移至一點,求出速度矢量的改變量v=vB-vA,如圖甲、乙所示。,圖乙中的矢量三角形與圖甲中的三角形OAB是相似三角形, 用v表示

10、vA和vB的大小，用l表示弦AB的長度，則有: 所以加速度 而當t趨近于零時, 表示線速度的大小v,于是得到 再由v=r得an=2r。,3.向心加速度的大小與半徑的關(guān)系: (1)當半徑一定時,向心加速度的大小與角速度的平方成正比,也與線速度的平方成正比。隨頻率的增大或周期的減小而增大。 (2)當角速度一定時,向心加速度與運動半徑成正比。 (3)當線速度一定時,向心加速度與運動半徑成反比。,(4)an與r的關(guān)系圖像:如圖所示。由an-r圖像可以看出:an與r成正比還是反比,要看恒定還是v恒定。,【微思考】 (1)向心加速度公式an= 和an=2r對變速圓周運動成立嗎? 提示:成立。公式an= 和

11、an=2r不僅適用于勻速圓周運動, 也適用于變速圓周運動。 (2)如何用向心加速度公式求解圓周半徑? 提示:當向心加速度an、線速度v或角速度已知時,可利用向 心加速度公式an= 和an=2r計算圓周半徑。,【題組通關(guān)】 【示范題】(2014深圳高一檢測)如圖所示為質(zhì)點P、Q做勻速圓周運動時向心加速度隨半徑變化的圖線。表示質(zhì)點P的圖線是雙曲線的一支,表示質(zhì)點Q的圖線是過原點的一條直線。由圖線可知(),A.質(zhì)點P的線速度大小不變 B.質(zhì)點P的角速度大小不變 C.質(zhì)點Q的角速度隨半徑變化 D.質(zhì)點Q的線速度大小不變,【解題探究】(1)寫出向心加速度的公式。 提示:向心加速度公式為an= 或an=2

12、r。 (2)根據(jù)圖像判斷向心加速度隨半徑r變化的函數(shù)關(guān)系。 提示:質(zhì)點P的向心加速度與半徑r成反比;質(zhì)點Q的向心加速度與半徑r成正比。,【規(guī)范解答】選A。由an= 知:v一定時,an ,即an與r成反 比;由an=r2知:一定時,anr。從圖像可知,質(zhì)點P的圖線是 雙曲線的一支,即an與r成反比,可得質(zhì)點P的線速度大小是不變 的。同理可知:質(zhì)點Q的角速度是不變的。,【通關(guān)1+1】 1.一物體以4m/s的線速度做勻速圓周運動,轉(zhuǎn)動周期為2s。則該 物體在運動過程中的任一時刻,速度變化率的大小為() A.2m/s2B.4m/s2C.0D.4m/s2 【解析】選D。速度變化率就是物體的加速度的大小,

13、因為物體 做勻速圓周運動,所以速度的變化率就是物體的向心加速度的大 小。由 可得an=4m/s2,D項正確。,2.(多選)由于地球自轉(zhuǎn),比較位于赤道上的物體1與位于北緯60的物體2,則() A.它們的角速度之比12=21 B.它們的線速度之比v1v2=21 C.它們的向心加速度之比a1a2=21 D.它們的向心加速度之比a1a2=41,【解析】選B、C。同在地球上,物體1與物體2的角速度相等,A錯。 設(shè)物體1的軌道半徑為R,則物體2的軌道半徑為Rcos60,所以v1v2=RRcos60=21,B對。a1a2=2R2Rcos60 =21,C對,D錯。,3.(多選)一個小球以大小為a=4 m/s2

14、的向心加速度做勻速圓周運動，半徑R=1 m，則下列說法正確的是( ) A.小球運動的角速度為2 rad/s B.小球做圓周運動的周期為 s C.小球在t= 內(nèi)通過的位移大小為 D.小球在 s內(nèi)通過的路程為零,【解析】選A、B。由a=2R得角速度= =2 rad/s，A 對；周期T= = s，B對；小球在t= 內(nèi)通過 圓 周，位移大小為 ，C錯；小球在 s內(nèi)通過的路 程為一個圓周的長度2R=2 m，D錯。,【素養(yǎng)升華】 向心加速度公式的應(yīng)用技巧 向心加速度的每一個公式都涉及三個物理量的變化關(guān)系,必須在某一物理量不變時分析另外兩個物理量之間的關(guān)系。在比較轉(zhuǎn)動物體上做圓周運動的各點的向心加速度的大小

15、時,應(yīng)按以下步驟進行: (1)先確定各點是線速度大小相等,還是角速度相同。 (2)在線速度大小相等時,向心加速度與半徑成反比,在角速度相同時,向心加速度與半徑成正比。,【資源平臺】備選角度:傳動裝置中的向心加速度 【示范題】(多選)如圖所示,皮帶傳動裝 置中,右邊兩輪連在一起共軸轉(zhuǎn)動,圖中 三輪半徑分別為r1=3r,r2=2r,r3=4r;A、 B、C三點為三個輪邊緣上的點,皮帶不打滑。向心加速度分別為a1、a2、a3,則下列比例關(guān)系正確的是(),【標準解答】選B、D。由于皮帶不打滑，v1=v2，a= 故 A錯，B對。由于右邊兩輪共軸轉(zhuǎn)動，2=3， a=r2， C錯、D對。,圓周運動的向心加速

16、度與合加速度 在一般圓周運動中,合加速度通常有兩個分量:切向加速度和向心加速度。切向加速度表示速度大小變化的快慢;向心加速度表示速度方向變化的快慢。,(1)物體做勻速圓周運動時,向心加速度就是物體的合加速度。 (2)如圖所示的變速圓周運動,到達C點時,小球受繩水平拉力T和重力mg,合力斜向右下方,即小球的合加速度斜向右下方。它沿T方向(徑向)的加速度即為向心加速度。,【案例展示】(多選)關(guān)于向心加速度,以下說法中正確的 是() A.物體做勻速圓周運動時,向心加速度就是物體的合加速度 B.物體做圓周運動時,向心加速度就是物體的合加速度 C.物體做圓周運動時的加速度的方向始終指向圓心 D.物體做勻

17、速圓周運動時的加速度的方向始終指向圓心,【精講精析】選A、D。物體做勻速圓周運動時,向心加速度就是物體的合加速度;物體做變速圓周運動時,向心加速度只是合加速度的一個分量,A正確,B錯誤。物體做勻速圓周運動時,只具有向心加速度,加速度方向始終指向圓心;物體做變速圓周運動時,圓周運動的向心加速度與切向加速度的合加速度不再指向圓心,C錯誤,D正確。,【易錯分析】本題易錯選項及錯誤原因分析如下:,【自我小測】 1.(2014湛江高一檢測)如圖所示，圓軌道AB是在豎直平面內(nèi)的 圓周，在B點軌道的切線是水平的，一質(zhì)點自A點從靜止開始下滑，滑到B點時的速度大小是 ，求： (1)在質(zhì)點剛要到達B點時的加速度大??； (2)滑過B點時的加速度大小。,【解析】質(zhì)點由A點到B點所做的運動是圓周運動的一部分，因 而質(zhì)點剛要到達B點時的運動為圓周運動的一部分，其加速度 為向心加速度，大小為a= ，將v= 代入可得a=2g，質(zhì) 點滑過B