1、課時(shí) 24 特殊的平行四邊形,第五單元 四邊形,中考對(duì)接,1. 2018株洲 如圖24-1,矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交點(diǎn)O,AC=10,P,Q分別為AO,AD的中點(diǎn),則PQ的長(zhǎng)度為. 圖24-1,2. 2018湘西州 如圖24-2,在矩形ABCD中,E是AB的中點(diǎn),連接DE,CE. (1)求證:ADEBCE. (2)若AB=6,AD=4,求CDE的周長(zhǎng).,3. 2017長(zhǎng)沙 如圖24-3,菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD的長(zhǎng)分別為6 cm,8 cm,則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)為() 圖24-3 A. 5 cmB. 10 cmC. 14 cmD. 20 cm,D,4. 2018郴州 如圖24-4,在

2、ABCD中,作對(duì)角線BD的垂直平分線EF,垂足為O,分別交AD,BC于點(diǎn)E,F,連接BE,DF. 求證:四邊形BFDE是菱形. 圖24-4,證明:EF垂直平分BD,BO=DO,EOD=FOB=90. 四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC, EDO=FBO,EODFOB,OE=OF. BO=DO,EFBD,四邊形BFDE是菱形.,5. 2018湘潭 如圖24-5,在正方形ABCD中,AF=BE,AE與DF相交于點(diǎn)O. (1)求證:DAFABE. (2)求AOD的度數(shù). 圖24-5,6. 2018湘潭 如圖24-6,已知點(diǎn)E,F,G,H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn),則四邊形EFGH是() 圖24-

3、6 A. 正方形B. 矩形 C. 菱形D. 平行四邊形,【答案】B 【解析】如圖,連接AC和BD.E,F,G,H分別是菱形ABCD各邊的中點(diǎn),EHBDFG,EFACHG,四邊形EFGH為平行四邊形.四邊形ABCD是菱形,ACBD,EFFG,EFGH是矩形.故選B.,7. 2017邵陽(yáng) 如圖24-7,已知ABCD,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,OBC=OCB. (1)求證:ABCD是矩形. (2)請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使矩形ABCD為正方形. 圖24-7,解:(1)證明:四邊形ABCD是平行四邊形, OA=OC,OB=OD. OBC=OCB,OB=OC, AC=BD,ABCD是矩形. (2)AB=AD(答

4、案不唯一).,考點(diǎn)自查,直角,直,相等,斜邊,相等,鄰邊,相等,垂直,一組對(duì)角,相等,垂直,一半,平行且相等,相等,直角,垂直平分,菱形,矩形,正方形,菱形,矩形,易錯(cuò)警示,【失分點(diǎn)】 1. 易混淆平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間相互轉(zhuǎn)化滿足的不同條件. 2. 存在多種特殊情況時(shí)要全面分析題意,做到逐一解答.,1. 2018武漢 以正方形ABCD的邊AD為一邊作等邊三角形ADE,則BEC的度數(shù)是.,2. 如圖24-8,已知AD是ABC的中線,M是AD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AEBC,CM的延長(zhǎng)線與AE相交于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)F,連接BE. (1)求證:四邊形AEBD是平行四邊形. (2)如果AC=

5、3AF,求證:四邊形AEBD是矩形.,證明:(1)M是AD的中點(diǎn),AM=DM. AEBC,AEM=DCM. 又AME=DMC,AEMDCM,AE=CD. 又AD是ABC的中線,AE=CD=BD. 又AEBD,四邊形AEBD是平行四邊形.,2. 如圖24-8,已知AD是ABC的中線,M是AD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AEBC,CM的延長(zhǎng)線與AE相交于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)F,連接BE. (2)如果AC=3AF,求證:四邊形AEBD是矩形.,例1 2017日照 如圖24-9,已知BA=AE=DC,AD=EC,CEAE,垂足為E. (1)求證:DCAEAC. (2)只需添加一個(gè)條件,即,可使四邊形ABCD為矩形

6、,請(qǐng)加以證明. 圖24-9,方法模型 矩形的判定方法:(1)證平行四邊形增加一個(gè)角為直角矩形;(2)四邊形證三個(gè)角為直角矩形;(3)四邊形對(duì)角線互相平分同時(shí)對(duì)角線相等矩形. 矩形的性質(zhì):利用對(duì)角線構(gòu)造直角三角形勾股定理求邊長(zhǎng)或角度.,拓展 2018德陽(yáng) 如圖24-10,點(diǎn)E,F分別是矩形ABCD的邊AD,AB上一點(diǎn),若AE=DC=2ED,且EFEC. (1)求證:點(diǎn)F為AB的中點(diǎn). (2)延長(zhǎng)EF與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H,連接AH,已知ED=2,求AH的值.,例2 2017岳陽(yáng) 求證:對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形. 小紅同學(xué)根據(jù)題意畫出了圖形,并寫出了已知和求證的一部分,請(qǐng)你補(bǔ)全已知和求證

7、,并寫出證明過(guò)程. 已知:如圖24-11,在ABCD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,. 求證:.,解:ACBD平行四邊形ABCD是菱形 證明:四邊形ABCD是平行四邊形, OA=OC, ACBD,AD=CD, 平行四邊形ABCD是菱形.,方法模型 菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度不一定相等,但是菱形的對(duì)角線平分每一組內(nèi)角.,圖24-12,例3 2018濰坊 如圖24-14,點(diǎn)M是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn),連接AM,作DEAM于點(diǎn)E,BFAM于點(diǎn)F,連接BE. (1)求證:AE=BF. (2)已知AF=2,四邊形ABED的面積為24,求EBF的正弦值.,例3 2018濰坊 如圖24-14,點(diǎn)M是正方形AB

8、CD的邊CD上一點(diǎn),連接AM,作DEAM于點(diǎn)E,BFAM于點(diǎn)F,連接BE. (2)已知AF=2,四邊形ABED的面積為24,求EBF的正弦值.,方法模型 正方形的性質(zhì)與判定集平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)與判定于一體,因此利用它的每一個(gè)內(nèi)角是90時(shí),一般運(yùn)用到勾股定理、角平分線的性質(zhì),特殊角的直角三角形的性質(zhì)等;利用它的四邊相等時(shí),一般結(jié)合三角形全等、直角三角形的邊角性質(zhì)等.,拓展1 2018濰坊 如圖24-15,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)A與原點(diǎn)重合,點(diǎn)B在y軸的正半軸上,點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上,將正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30至正方形ABCD的位置,BC與CD相交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

9、,拓展2 2018聊城 如圖24-16,在正方形ABCD中,E是BC上的一點(diǎn),連接AE,過(guò)點(diǎn)B作BHAE,垂足為H,延長(zhǎng)BH交CD于點(diǎn)F,連接AF. (1)求證:AE=BF. (2)若正方形的邊長(zhǎng)是5,BE=2,求AF的長(zhǎng).,拓展2 2018聊城 如圖24-16,在正方形ABCD中,E是BC上的一點(diǎn),連接AE,過(guò)點(diǎn)B作BHAE,垂足為H,延長(zhǎng)BH交CD于點(diǎn)F,連接AF. (2)若正方形的邊長(zhǎng)是5,BE=2,求AF的長(zhǎng).,拓展3 2017株洲 如圖24-17,正方形ABCD的頂點(diǎn)A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上,EF與BC交于點(diǎn)G,連接CF. 求證: (1)DAEDCF; (2)ABGCFG

10、.,拓展3 2017株洲 如圖24-17,正方形ABCD的頂點(diǎn)A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上,EF與BC交于點(diǎn)G,連接CF. 求證: (2)ABGCFG.,例4 2018鹽城 在正方形ABCD中,對(duì)角線BD所在的直線上有兩點(diǎn)E,F,滿足BE=DF,連接AE,AF,CE,CF,如圖24-18所示. (1)求證:ABEADF. (2)試判斷四邊形AECF的形狀,并說(shuō)明理由.,解:(1)證明:四邊形ABCD是正方形, ABD=ADB=45,AB=AD. ABE=ADF=135. 又BE=DF,ABEADF(SAS).,(2)四邊形AECF是菱形. 理由:連接AC交BD于點(diǎn)O. 則ACBD,OA

11、=OC,OB=OD. 又BE=DF,OE=OF, 四邊形AECF是菱形.,方法模型 特殊四邊形的綜合運(yùn)用要注意幾個(gè)四邊形之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系:由平行四邊形轉(zhuǎn)化為菱形增加的條件為“相鄰兩邊相等”或“對(duì)角線互相垂直”;由平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形,增加“有一內(nèi)角是直角”或“兩對(duì)角線相等”;由平行四邊形轉(zhuǎn)化為正方形,則先將四邊形轉(zhuǎn)化為矩形或菱形,再轉(zhuǎn)化為正方形.,拓展1 2018臨沂 如圖24-19,點(diǎn)E,F,G,H分別是四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn). 則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是() 若AC=BD,則四邊形EFGH為矩形; 若ACBD,則四邊形EFGH為菱形; 若四邊形EFGH是平行四邊形,則AC