1、第 4 章,功和能,第4章 功和能 1 力的功 動能定理 2 保守(內(nèi))力的功與相應(yīng)的勢能 3 機械能守恒定律,二、掌握質(zhì)點的動能定理、系統(tǒng)的功能原理和機械能守恒 定律，能分析簡單系統(tǒng)在平面內(nèi)運動問題。,一、掌握功的概念，能計算變力的功，理解保守力做功 的特點及勢能的概念，會計算重力、彈性力和萬有 引力的勢能。,基 本 要 求,1 力的功 動能定理 一、 力的功 二、 質(zhì)點運動的動能定理 三、 質(zhì)點系的動能定理,一、力的功 1. 恒力作用 直線運動,作用物體的位移,(點乘積，標(biāo)量積),或,2. 一般運動 （變力作用 曲線運動）,元功,或,(1) 功的圖示,說明：,(2) 在直角坐標(biāo)系中,1）

2、A是標(biāo)量,有正負(fù),反映了能量的變化. 正負(fù)：取決于力與位移的夾角 摩擦力作功一定是負(fù)的嗎？,3）功的計算中應(yīng)注意的問題 (1)質(zhì)點問題,對質(zhì)點:各力作功之和等于合力作的功,思考： 寫這個等號的條件？,2）功是過程量,與路徑有關(guān),(2)質(zhì)點系問題,?,對問號的解釋： 一般的討論： 如圖，兩個質(zhì)點走的路徑不同。,則，各質(zhì)點的元位移,故不能用一個共同的元位移,來代替。,所以在計算功的過程中特別要分清研究對象 對質(zhì)點有：,即，各力作功之和等于合力作的功。 但對質(zhì)點系：寫不出像質(zhì)點那樣的簡單式子， 即，各力作功之和不一定等于合力的功。,二、 質(zhì)點運動的動能定理,思路：與推導(dǎo)動量定理和角動量定理相同，仍然

3、由牛頓第二定律出發(fā)。 牛頓力學(xué)中定義質(zhì)點動能為,一種推導(dǎo)：,元功,將牛頓第二定律代入,推導(dǎo),質(zhì)點運動的動能定理,我們應(yīng)該學(xué)會或說習(xí)慣于這種一般性的推導(dǎo)。,合外力對質(zhì)點所做的功 等于質(zhì)點動能的增量。,功是能量變化的量度,三、 質(zhì)點系的動能定理,思考：為什么內(nèi)力之和一定為零，而 內(nèi)力作功之和不一定為零呢？,對于質(zhì)點系的第i質(zhì)點：,對所有質(zhì)點求和,所有外力及內(nèi)力對質(zhì)點系做功之和等于質(zhì)點系總動 能的增量.,證明,1） 內(nèi)力也會改變系統(tǒng)的總動能 2） 質(zhì)點系的三個運動定理各司其職 動量定理 角動量定理 動能定理,靈活的頭腦應(yīng)靈活地使用運動定理,1、變力做功：,2、質(zhì)點運動的動能定理,合外力對質(zhì)點所做的功

4、等于質(zhì)點動能的增量。,功是能量變化的量度,3、 質(zhì)點系的動能定理,所有外力及內(nèi)力對質(zhì)點系做功之和等于 質(zhì)點系總動能的增量.,例1(補): 作用在質(zhì)量為3kg的物體上的力F = 6t N. 如 物體由靜止出發(fā)沿直線運動，在前 2 秒的時間內(nèi)這個力作了多少功?,解:,法 由動能定理,質(zhì)量為10kg 的質(zhì)點，在外力作用下做平面曲線運動，該質(zhì)點的速度為,解,在質(zhì)點從y =16m到y(tǒng) =32m的過程中，外力做的功。,求,例2,開始時質(zhì)點位于坐標(biāo)原點。,例 3.,解：取地心為原點，引力與矢徑方向相反, 由動能定理：,得：,綜合練習(xí)一 填空題 5,例4.,解：(1) 建坐標(biāo)系如圖，選下落段為研究對象, 注意

5、：摩擦力作負(fù)功！,物理練習(xí)一 計算題 7,一鏈條總長為l，質(zhì)量為m. 放在桌面上并使其一部分下垂，下垂的長度為a，令鏈條從靜止開始運動。設(shè)鏈條與桌面的滑動摩擦系數(shù)為，求到鏈條離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條做了多少功？鏈條離開桌面時的速率又是多少？,(2) 對鏈條應(yīng)用動能定理：,前面已得出：,得：,例5: 一質(zhì)量為m的質(zhì)點，在xoy平面上運動。,其位置矢量為：,其中a,b,為正值常數(shù)，a b。,(1)求質(zhì)點在A (a,0)點和B(0,b)點時的動能。,解：,(2)求質(zhì)點所受的作用力以及當(dāng)質(zhì)點從A運動到B的過程中分力 、 所做的功。,A(a,0)點：cos t=1 sin t =0,B(0,b)點

6、：cos t =0 sin t =1,例6(綜合練習(xí)1) 傳送機通過滑道將長為L，質(zhì)量為m的柔軟勻質(zhì)物體以初速v0向右送上水平臺面，物體前端在臺面上滑動 s 距離后停下來（如圖）. 已知滑道上的磨擦可不計，物與臺面間的摩擦系數(shù)為 ，而且s L，試計算物體的初速度v0。,解：由于物體是柔軟勻質(zhì)的，在物體完全滑上臺面之前，它對臺面的正壓力可認(rèn)為與滑上臺面的質(zhì)量成正比，所以，它所受臺面的摩擦力fr是變化的.本題如果用牛頓定律的瞬時關(guān)系求加速度是不太方便的. 我們把變化的摩擦力表示為,再由動能定理得,即得,當(dāng)物體前端在 s 處停止時，摩擦力做的功為, 重力的功,m 在重力作用下由 a b，取地面為坐標(biāo)

7、原點：,一、保守力做功的特點,重力做功只與始末位置有關(guān)而與路徑無關(guān)。,2 保守(內(nèi))力的功與相應(yīng)的勢能,(2) 萬有引力的功,質(zhì)點之間在引力作用下相對運動時，以 M 所在處為 原點，M 指向 m 的方向為矢徑的正方向。m 受的引力方 向與矢徑方向相反。,萬有引力做功只與始末位置有關(guān)而與路徑無關(guān)。,(3) 彈力的功,重力、萬有引力、彈性力做功與路徑無關(guān)。, 結(jié)論：,我們把做功與路徑無關(guān)的力稱為“保守力”。,彈力做功只與始末位置有關(guān)而與路徑無關(guān)。,共同特征： 作功與所經(jīng)路徑無關(guān)， 只與始末(相對)位置有關(guān),具有這種特征的力（嚴(yán)格說 是一對力）稱為保守力, 保守力 做功只與始末位置有關(guān)而與 所經(jīng)路徑

8、無關(guān)的力。, 結(jié)論：保守力沿任意閉合路徑一周做功 = 0 。,保守力（conservative force）定義有兩種表述 表述一（文字?jǐn)⑹觯?作功與路徑無關(guān),只與始末位置有關(guān)的力稱為保守力。 表述二（數(shù)學(xué)表示） ：,保守力的環(huán)流為零。是描述矢量場基本性質(zhì)的方程形式,二、保守力的定義,通常：,普遍意義： 環(huán)流為零的力場是 保守場，如靜電場力的環(huán)流也是零， 所以靜電場也是保守場。,環(huán)流不為零的矢量場 是非保守場，如磁場,三、 勢能,上述等式右端各項反映的是僅由物體的相對位置所決定的能量，稱為 勢能，用 E p 表示。,由保守力的功,1、定義,即,或,若選末態(tài)為勢能零點，即 Epb=0, 重力勢

9、能 :, 萬有引力勢能 :, 彈力勢能 :,以地面為零勢能點,以無窮遠(yuǎn)處為零勢能點,以彈簧原長為零勢能點,（ h = 0，E P = 0，可正可負(fù) ）,( r = ，EP = 0， 恒負(fù) ),( x = 0，E p= 0，恒正 ), 下面是零勢能點的一般取法：, 注意：必須選定零勢能點。勢能零點是任意選取的。,2. 保守力與勢能的關(guān)系,保守力的功 = 勢能增量的負(fù)值。,A 保 = ( E p E p0 ),3. 非保守力 (亦稱耗散力）, 即做功與路徑有關(guān)的力。,例如：摩擦力等。,1. 勢能存在的條件：只要有保守力，就可引入相應(yīng)的勢能。,2. 勢能是系統(tǒng)的狀態(tài)參量。由物體的位置決定。當(dāng)勢能零點

10、 選定后，勢能的值就一定了。質(zhì)點在某點勢能的大小等于 在保力作用下由該點移至零勢能點時保守力所做的功。,3. 勢能具有相對意義，勢能的值與所選的勢能零點有關(guān)。 所以必須指出勢能零點。 質(zhì)點在兩點間的勢能差是 絕對的， 即勢能是質(zhì)點間相對位置的單值函數(shù)。,4. 勢能是屬于有保守力相互作用的質(zhì)點系統(tǒng)的。, 小結(jié)：,一、質(zhì)點系功能關(guān)系,1. 系統(tǒng)的動能定理, 外力和內(nèi)力對系統(tǒng)所做的功 = 系統(tǒng)動能的增量。, 質(zhì)點系統(tǒng),外力,內(nèi)力,保守內(nèi)力,非保守內(nèi)力,A外A內(nèi) E k E k0,代入上式整理得:,上式可寫為：,A外+A非保內(nèi)= (E k+ E P) - (Ek0+EP0) = E - E0,保內(nèi),3

11、 機械能守恒定律 一、質(zhì)點系的功能原理 二、機械能守恒定律,2. 功能原理,外力和非保守內(nèi)力對系統(tǒng)所做的功 = 系統(tǒng)機械能的增量。,A外A非保內(nèi) E E0,功能原理 ,1、功能原理描述的是系統(tǒng)的規(guī)律。 2、應(yīng)用功能原理時，由于上式右端計算了勢能， 所以左端千萬不可再計算保守力的功。 3、利用過程規(guī)律解題時，只要知道系統(tǒng)中各物體 的初末狀態(tài)，就可以不考慮中間過程的細(xì)節(jié)。 比直接利用牛頓定律方便的多。這就是過程規(guī) 律的特點和優(yōu)點。, 注意：,二、機械能守恒定律,守恒條件：,或 A外0 ，,A非保內(nèi)0,或 僅有保守內(nèi)力做功,守 恒 式 ：,E = E k+ E p = 常量,或 E k+ E p=

12、E k 0+ E p 0,能量守恒定律：,自然界的基本定律之一。,一個封閉系統(tǒng)內(nèi)經(jīng)歷任何變化時，該系統(tǒng)的所有能量 的總和保持不變。這是普遍的能量守恒定律。,A外 + A非保內(nèi)0,說明：1、機械能守恒時，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點間的動能和勢能可以 相互轉(zhuǎn)換，但兩者之和是一常量，系統(tǒng)的機械能保 持不變。 2、機械能守恒定律是對系統(tǒng)而言的，如果系統(tǒng)不劃定 就無守恒而言。, 質(zhì)心,一、質(zhì)心的定義,對連續(xù)體, 說明: 1）不太大物體, 質(zhì)心與重心重合 2）均勻分布的物體, 質(zhì)心在幾何中心 3）質(zhì)心是位置的加權(quán)平均值, 質(zhì)心處不一定有質(zhì)量 4）具有可加性, 計算時可分解,質(zhì)點系重力勢能的計算,例：均質(zhì)細(xì)棒的重力勢能,

13、總長,總質(zhì)量,時勢能？,（地面附近）,4 碰 撞,一、碰撞現(xiàn)象,從碰撞前后有無動能損失可分為兩類: 一類是總動能不變的碰撞, 稱為完全彈性碰撞； 一類是總動能改變的碰撞, 稱為非完全彈性碰撞。 若兩個物體碰撞之后結(jié)合為一體了, 這種碰撞稱為完全非彈性碰撞。,如果兩個或兩個以上物體相遇，而在相遇時，相互 作用時間很短，這種相遇就叫碰撞。,從碰前后速度是否沿質(zhì)心連線可分為正碰（對心碰） 和斜碰。,根據(jù)能量守恒定律得,若碰撞為正碰,則有,二、完全彈性碰撞,兩小球質(zhì)量分別為m1和m2, 碰前速度為 和 , 碰后速度為 和 。,根據(jù)動量守恒定律得,三、完全非彈性碰撞,根據(jù)動量守恒定律得,所以,式除以得,

14、由、解得,若,解：根據(jù)動量守恒定律得,根據(jù)機械能守恒定律得,由圖知,解以上三方程的聯(lián)立方程組得,例 ：如圖所示的裝置稱為沖擊擺, 可用它來測定子彈的速度。質(zhì)量為M的木塊被懸掛在長度為l的細(xì)繩下端, 一質(zhì)量為m的子彈沿水平方向以速度v射中木塊, 并停留在其中。木塊受到?jīng)_擊而向斜上方擺動, 當(dāng)?shù)竭_(dá)最高位置時, 木塊的水平位移為s。試確定子彈的速度。,碰撞,指相互作用時間極短，,1. 完全彈性碰撞,質(zhì)點系： 動量守恒，機械能守恒,剛體： 角動量守恒，機械能守恒,系統(tǒng)： 角動量守恒，機械能守恒,2. 非完全彈性碰撞,質(zhì)點系： 動量守恒,剛體： 角動量守恒,系統(tǒng)： 角動量守恒,3. 完全非彈性碰撞 碰后系統(tǒng)獲同一速度或角速度,機械能不守恒！,遵守的定律與 2 相同。,小結(jié),第4章結(jié)束,例4(補):一鏈條總長為l，質(zhì)量為m. 放在桌面上并使其一部分下垂，下垂的長度為a，令鏈條從靜止開始運動，則：（1）若鏈條與桌面間無摩擦，鏈條離開桌面時的速率是多少？（2）設(shè)鏈條與桌面的滑動摩擦系數(shù)為，到鏈條離開桌面的過程中，摩擦力對鏈條做了多少功？鏈條離開桌面時的速率又是多少？,解：(1)建坐標(biāo)系如圖,注意：摩擦力作負(fù)功！,法 取鏈條為研