1、第十章 曲線積分與曲面積分,第一節(jié) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 第二節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用 第四節(jié) 對(duì)面積的曲面積分 第五節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 第六節(jié) 高斯公式 通量與散度 第七節(jié) 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度,主 要 內(nèi) 容,一、問題的提出,實(shí)例:曲線形構(gòu)件的質(zhì)量,勻質(zhì)之質(zhì)量,分割,求和,取極限,近似值,精確值,第一節(jié) 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念,1.定義,被積函數(shù),積分弧段,積分和式,曲線形構(gòu)件的質(zhì)量,2.存在條件：,3.推廣,注意：,4.性質(zhì),三、對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的計(jì)算,定理,注意:,特殊情形,推廣:,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,由對(duì)稱性, 知,四

2、、幾何與物理意義,課堂思考題,對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的定義中 的符號(hào)可能為負(fù)嗎？,課堂思考題解答,的符號(hào)永遠(yuǎn)為正，它表示弧段的長(zhǎng)度.,一、問題的提出,實(shí)例: 變力沿曲線所作的功,常力所作的功,分割,第二節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分,求和,取極限,近似值,精確值,二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念,1.定義,類似地定義,2.存在條件：,3.組合形式,4.推廣,5.性質(zhì),即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).,三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算,定理,特殊情形,(4) 兩類曲線積分之間的聯(lián)系：,其中,（可以推廣到空間曲線上 ）,可用向量表示,有向曲線元；,例1,解,例2,解,問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)

3、果不同.,例3,解,問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.,思考題,思考題解答,曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.,一、區(qū)域連通性的分類,設(shè)D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復(fù)連通區(qū)域.,復(fù)連通區(qū)域,單連通區(qū)域,第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用,設(shè)空間區(qū)域G, 如果G內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G, 則稱G是空間二維單連通域;,如果G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面, 則稱G為空間一維單連通區(qū)域.,一維單連通 二維單連通,一維單連通 二維不連通,一維不連通 二維單連通,二、格林公式,定理1,邊界曲線L的正向: 當(dāng)

4、觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.,證明(1),同理可證,證明(2),兩式相加得,G,F,證明(3),由(2)知,L,1. 簡(jiǎn)化曲線積分,三、簡(jiǎn)單應(yīng)用,2. 簡(jiǎn)化二重積分,解,(注意格林公式的條件),3. 計(jì)算平面面積,解,若區(qū)域 如圖為復(fù)連通域，試描述格林公式中曲線積分中L的方向。,思考題,思考題解答,由兩部分組成,外邊界：,內(nèi)邊界：,一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義,B,A,如果在區(qū)域G內(nèi)有,二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件,定理2,兩條件缺一不可,有關(guān)定理的說明：,三、二元函數(shù)的全微分求積,定理3,解,解,第四節(jié) 對(duì)面積的曲面積分,一、概念的引入,二、對(duì)面積的曲面積分的定義,三、計(jì)算法,一

5、、概念的引入,實(shí)例,所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都有切平面,且當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí),切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng).,二、對(duì)面積的曲面積分的定義,1.定義,2.對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì),三、計(jì)算法,則,按照曲面的不同情況分為以下三種：,則,則,例1,解,解,依對(duì)稱性知：,例3,解,（左右兩片投影相同）,例4,解,思考題,在對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的公式中, 有因子 , 試說明這個(gè)因子的幾何意義.,思考題解答,是曲面元的面積,故 是曲面法線與 軸夾角的余弦的倒數(shù).,一、基本概念,觀察以下曲面的側(cè) (假設(shè)曲面是光滑的),曲面分上側(cè)和下側(cè),曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè),第五節(jié) 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,曲面的分類:,1.雙側(cè)曲面;

6、,2.單側(cè)曲面.,典型雙側(cè)曲面,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,播放,曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).,決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.,曲面的投影問題:,二、概念的引入,實(shí)例: 流向曲面一側(cè)的流量.,1. 分割,則該點(diǎn)流速為 .,法向量為 .,2. 求和,3.取極限,三、概念及性質(zhì),被積函數(shù),積分曲面,類似可定義,存在條件:,組合形式:,物理意義:,性質(zhì):,四、計(jì)算法,注意:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).,解,五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系,兩類曲面積分之間的聯(lián)系,向量形式,解,思考題,思考題解答,此時(shí) 的左側(cè)為負(fù)側(cè)，,而 的左側(cè)為正側(cè).,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,

7、典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,典型單側(cè)曲面:,莫比烏斯帶,一、高 斯 公 式,第六節(jié) 高斯公式 通量與散度,證明,根據(jù)三重積分的計(jì)算法,根據(jù)曲面積分的計(jì)算法,同理,-高斯公式,和并以上三式得：,Gauss公式的實(shí)質(zhì),表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積

8、分之間的關(guān)系.,由兩類曲面積分之間的關(guān)系知,二、簡(jiǎn)單的應(yīng)用,解,(利用柱面坐標(biāo)得),使用Guass公式時(shí)應(yīng)注意:,解,空間曲面在 面上的投影域?yàn)?曲面不是封閉曲面, 為利用高斯公式,故所求積分為,三、物理意義-通量與散度,1. 通量的定義:,2. 散度的定義:,散度在直角坐標(biāo)系下的形式,積分中值定理,兩邊取極限,高斯公式可寫成,思考題,曲面應(yīng)滿足什么條件才能使高斯公式成立？,思考題解答,曲面應(yīng)是分片光滑的閉曲面.,一、斯托克斯(stokes)公式,斯托克斯公式,第七節(jié) 斯托克斯公式 環(huán)流量與旋度,是有向曲面 的 正向邊界曲線,右手法則,證明,如圖,思路,曲面積分,二重積分,曲線積分,1,2,1

9、,根椐格林公式,平面有向曲線,2,空間有向曲線,同理可證,故有結(jié)論成立.,另一種形式,便于記憶形式,Stokes公式的實(shí)質(zhì):,表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.,二、簡(jiǎn)單的應(yīng)用,解,按斯托克斯公式, 有,解,則,即,三、物理意義-環(huán)流量與旋度,1. 環(huán)流量的定義:,利用stokes公式, 有,2. 旋度的定義:,斯托克斯公式的又一種形式,其中,斯托克斯公式的向量形式,其中,Stokes公式的物理解釋:,解,由力學(xué)知道點(diǎn) 的線速度為,觀察旋度,由此可看出旋度與旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系.,第十章 曲線積分與曲面積分總結(jié),基 本 要 求,理解兩類曲線積分的概念及性質(zhì)。掌握兩類曲線

10、積分的計(jì)算方法以及它們的聯(lián)系。掌握格林公式，并能靈活運(yùn)用。會(huì)用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件。理解第一類、第二類曲面積分的概念和性質(zhì)，了解兩類曲面積分間的聯(lián)系，掌握它們的計(jì)算方法。掌握高斯公式計(jì)算曲面積分，了解通量與散度的概念并會(huì)計(jì)算，會(huì)用斯托克斯公式計(jì)算積分。了解環(huán)流量與旋度的概念。,（一）曲線積分與曲面積分,（二）各種積分之間的聯(lián)系,（三）場(chǎng)論初步,一、主要內(nèi)容,曲線積分,曲面積分,對(duì)面積的 曲面積分,對(duì)坐標(biāo)的 曲面積分,對(duì)弧長(zhǎng)的 曲線積分,對(duì)坐標(biāo)的 曲線積分,定義,計(jì)算,定義,計(jì)算,（一）曲線積分與曲面積分,定積分,曲線積分,重積分,曲面積分,計(jì)算,計(jì)算,計(jì)算,Green公式,Stokes公式,Guass公式,（二）各種積分之間的聯(lián)系,積分概念的聯(lián)系,定積分,二重積分,曲面積分,曲線積分,三重積分,曲線積分,計(jì)算上的聯(lián)系,其中,理論上的聯(lián)系,1.定積分與不定積分的聯(lián)系,牛頓-萊布尼茨公式,2.二重積分與曲線積分