1、第十章 分離變量法,第一節(jié) 有界弦的自由振動 第二節(jié) 有限長桿上的熱傳導 第三節(jié) 特殊區(qū)域上的位勢方程 第四節(jié) 高維定解問題的分離變量法 第五節(jié) 對非齊次邊界條件和非齊次方程的處理,第一節(jié) 有界弦的自由振動,求解的基本步驟,第一步：求滿足齊次方程和齊次邊界條件的變量分離形式的解,本征值問題,X(x)：,T(t)：,第二步：求本征值 和本征函數(shù) X(x)，以及 T(t)的表達式,T(t)的表達式,第三步：利用初始條件求得定解問題的解,利用初始條件得,駐波,其中,其它邊界條件的混合問題,兩端自由的邊界條件,左端點自由、右端點固定的邊界條件,左端點固定、右端點自有的邊界條件,第三類邊界條件的混合問題

2、的求解中遇到的困難,舉例-弦的敲擊,對不同的 c ，有界弦的自由振動,當 c=0.2l 時，有界弦的自由振動,當 c=0.5l 時，有界弦的自由振動,再例-弦的撥動,對不同的 d ，有界弦的自由振動,當 d=0.5l 時，有界弦的自由振動,當 d=0.3l 時，有界弦的自由振動,第二節(jié) 有限長桿上的熱傳導,求解的基本步驟,第一步：求滿足齊次方程和齊次邊界條件的變量分離形式的解,T(t)：,第二步：求本征值 和本征函數(shù) X(x)，以及 T(t)的表達式,T(t)的表達式,第三步：利用初始條件求得定解問題的解,利用初始條件得,舉例,當 u0=1 時，桿內溫度隨時間的變化,第三節(jié) 特殊區(qū)域上的位勢方

3、程,矩形域上的邊值問題,散熱片的橫截面為一矩形0,a0,b，它的一邊 y=b 處于較高的溫度，其它三邊保持零度。求橫截面上的穩(wěn)恒的溫度分布,參數(shù)選取,圓域內的邊值問題,一個半徑為a的薄圓盤，上下兩面絕熱，圓周邊緣的溫度分布為已知函數(shù) f (x,y)，求穩(wěn)恒狀態(tài)時圓盤內的溫度分布,第一步：求滿足齊次方程、周期邊值條件和原點約束條件的變量分離形式的解,()：,R(r)：,周期本征值問題,歐拉方程,第二步：求解周期本征值問題和歐拉方程,第三步：利用邊界條件,利用邊界條件,解的約化-Poisson積分公式,舉例-觀察法,第四節(jié) 高維定解問題的分離變量法,球域內Laplace方程的邊值問題 球域內波動方

4、程的初邊混合問題 球域內熱傳導方程的初邊混合問題,球域內Laplace方程的邊值問題,球面坐標變換,第一步：求滿足方程、周期邊界條件和球內約束條件的變量分離的解,R(r)：,()：,()：,R(r)：,()：,歐拉方程,第二步：求R(r)，()和()的具體表達式,()：,()= (cos-1x)=y(x) ：,締合勒讓德方程,第三步：利用邊界條件求解,舉例,半徑為a的球形內部沒有電荷，球面上的電勢為sin2cossin ，求球形區(qū)域內部的電勢分布,附記：球函數(shù),R(r)：,Y(,)：,球函數(shù),球方程,球域內波動方程的初邊混合問題,第一步：首先將時間變量與空間變量分離開來，即求形如,T(t)：,

5、v(x,y,z)：,其中 k 是待定常數(shù),第二步：求解T(t),第三步：求解v(x,y,z),求如下形式的解,R(r) ：,Y(,)：,球函數(shù),球Bessel方程,球Bessel函數(shù),第四步：利用初始條件求解,球域內熱傳導方程的初邊混合問題,附注,對于其它特殊區(qū)域上的定解問題我們同樣可以利用分離變量法進行求解,例如：,半球內或外、圓柱上的Laplace方程的邊值問題,半球內或外、圓柱上的波動方程和熱傳導的初邊混合問題等,第五節(jié) 對非齊次邊界條件和非齊次方程的處理,對非齊次邊界條件的處理 疊加原理 對非齊次方程的處理,對非齊次邊界條件的處理,將非齊次邊界條件化為齊次邊界條件,疊加原理,對非齊次方程的處理,沖量定理法,Fourier級數(shù)法,Fourier級數(shù)法,預設,則有,其中,舉例-共振,當趨向于某個特征頻率k，則