1、備課資料備用習題1.已知a、b是正實數(shù)，試比較an+bn與a n-1b+abn-1的大小.解：an+bn-a n-1b-ab n-1=an-1(a-b)+bn-1(b-a)=(a-b)(an-1-bn-1).當ab0時，a-b0,a n-1-b n-10,得(a-b)(an-1-bn-1)0;當ba0時，a-b0,a n-1-bn-10,得（a-b）(a n-1-b n-1)0;當b=a0時，（a-b）(an-1-bn-1)=0;所以當ab時，an+bna n-1b+ab n-1;當a=b時,an+bn=a n-1b+ab n-1.2.已知ABC內接于單位圓，且(1+tanA)(1+tanB)

2、=2，（1）求證:內角C為定值；（2）求ABC面積的最大值. （）證明：由(1+tanA)(1+tanB)=21+tanAtanB+tanA+tanB=2(1-)(tanA+tanB)=0.(tanA+tanB)0,，即tan(A+B)=1.C=135.（2）解析：由題意,可得SABC= ACBCsinC= ACBC ()2.當AC=BC時，SABC有最大值，最大值為SABC= (AC)2.再作輔助線如圖，連結OC、OA，OC交AB于D得ABOC，所以AD=BD=,CD=1-,AC 2=AD2+CD2= 2-2,所以SABC的最大值= (AC)2=.3.一批救災物資隨26輛汽車從某市以x km

3、/h的速度勻速開往400 km處的災區(qū)，為安全起見，每兩輛汽車的前后間距不得小于km，問這批物資全部到達災區(qū)，最少要多少小時？解析：設全部物資到達災區(qū)所需時間為t小時，由題意可知t相當于：最后一輛車行駛了25個 +400 km所用的時間，因此，. 當且僅當,即x=80時取“=”.答：這些汽車以80km/h的速度勻速行駛時，所需時間最少，最少時間是10小時.4.如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一個底寬2米的無蓋長方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質的質量分數(shù)與a、b的乘積ab成反比.現(xiàn)有制箱材料60平方米，問a、b各為多少米

4、時，經沉淀后流出的水中該雜質的質量分數(shù)最??？(A、B孔面積忽略不計)分析：應用題的最值問題，主要是選取適當?shù)淖兞?，再依據題設，建立數(shù)學模型(即函數(shù)關系式)，由變量和常量之間的關系，選取基本不等式求最值.解法一：設y為流出的水中雜質的質量分數(shù)，根據題意可知,其中k0且k是比例系數(shù).依題意要使y最小，只需求ab的最大值.由題設得4b2ab2a0（a0，b0），即a2bab30（a0，b0），a2b2,2ab30.當且僅當a2b時取“”，ab有最大值.當a2b時有2abab30，即b22b10.解之，得b 13，b2（舍去）.a2b.故當a米，b3米時，經沉淀后流出的水中雜質最少.解法二：設y為流出

5、的水中雜質的質量分數(shù)，由題意可知4b2ab2a0（a0，b0），a2bab30（a0，b0）.（0a30).由題設，其中k0且k是比例系數(shù)，依題只需ab取最大值.當且僅當a2時取“”，即a，b3時ab有最大值18.故當a米，b3米時經沉淀后流出的水中雜質最少.點評：均值不等式在實際問題中的應用相當廣泛，解題過程為(1)先構造定值；(2)出現(xiàn)關系式；(3)驗證“”成立.5.如圖，在ABC中，0，AC3，B4，一條直線分AB的面積為相等的兩部分，且夾在AB與BC之間的線段最短，求此線段長.分析：本題的關鍵在于恰當?shù)剡x取變量表示夾在AB與BC之間的線段EF，同時考慮到題設中的等量關系，即SBSAB，因此，所選變量還應便于求兩個三角形的面積，于是考慮設BEx，By.解：設Bx，By(0x4，0y），則SBBBsinBxysinB.又SABBA34,依題意可知SBSAB.xysinB3.，xy10,又,在B中，由余弦定理得2B2B22BBcosBx 2y 22xyx2y212xy14，當且僅當xy時，等號成立.故此時線段EF的長為2.點評：本題從求線段的長度問題轉化為求函數(shù)的最值問題.而求函數(shù)最值是不等