1、2.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一 預(yù)習(xí)目標(biāo)理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程二 預(yù)習(xí)內(nèi)容1.什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？ 2.圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？3橢圓的定義：-軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的-，兩焦點(diǎn)的距離叫做-。4. 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：建系；以-為 軸，-為 軸，建立直角坐標(biāo)系，則 的坐標(biāo)分別為：-寫出點(diǎn)集；設(shè)P（ ）為橢圓上任意一點(diǎn)，根據(jù)橢圓定義知：-坐標(biāo)化；化簡(jiǎn)（注意根式的處理和令a2-c2=b2）類似的，焦點(diǎn)在- 軸上的橢圓方程為：-其中焦點(diǎn)坐標(biāo)為：-三、提出疑惑同學(xué)們，通過(guò)你的自

2、主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請(qǐng)把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)對(duì)橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力。 2通過(guò)對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對(duì)各種知識(shí)的綜合運(yùn)用能力重點(diǎn)：橢圓的定義的理解及其標(biāo)準(zhǔn)方程記憶難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)二、學(xué)習(xí)過(guò)程1.思考：(1)動(dòng)點(diǎn)是在怎樣的條件下運(yùn)動(dòng)的？(2)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)出的軌跡是什么？得出結(jié)論：在平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之和等于定值2a的點(diǎn)的軌跡為2推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1)建系：以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x，

3、y)，設(shè)兩定點(diǎn)坐標(biāo)為：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，2)則M滿足：|MF1|+|MF2|=2a，思考：我們要化簡(jiǎn)方程就是要化去方程中的根式，你學(xué)過(guò)什么辦法？a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)b2=a2-c2得：3.例題例1 已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為-，因點(diǎn)在橢圓上，代入化簡(jiǎn)可得標(biāo)準(zhǔn)方程。例2 如圖，在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的軌跡是什么？分析：點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)移動(dòng)引起點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的伴隨點(diǎn)，因點(diǎn)為線段

4、的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)可由點(diǎn)來(lái)表示，從而能求點(diǎn)的軌跡方程例3如圖，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，直線，相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，求點(diǎn)的軌跡方程分析：若設(shè)點(diǎn)，則直線，的斜率就可以用含的式子表示，由于直線，的斜率之積是，因此，可以求出之間的關(guān)系式，即得到點(diǎn)的軌跡方程三、反思總結(jié)1.橢圓方程得標(biāo)準(zhǔn)形式為：2.求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的步驟是什么？四、當(dāng)堂檢測(cè)1.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： （1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-4，0），（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離的和等于10； （2）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（0，-2），（0，2），并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn) 2. 平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離為8，動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和為10，求動(dòng)

5、點(diǎn)M的軌跡方程。課后練習(xí)與提高 A、5 B、5或8 C、3或5 D、202、如果方程x2+ky2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）A、(0,+) B、(0,2) C、(1,+) D、(0,1) A、2 B、3 C、5 D、7 A、2a B、4a C、8a D、2a+2b5、若關(guān)于x、y的方程x2sin-y2cos=1所表示的曲線是橢圓，則方程(x+cos)2+(y+sin)2=1所表 示的圓的圓心在（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限6、已知橢圓的焦點(diǎn)是F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等

6、 差中項(xiàng)，則橢圓的方程是（ ）7、已知橢圓 上一點(diǎn)P到其一個(gè)焦點(diǎn)的距離為3，則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（ ） A、2 B、3 C、5 D、78、如果橢圓E：4x2+y2=k上兩點(diǎn)間的距離最大是8，則k值為（ ） A、32 B、16 C、8 D、4 9、已知F1、F2是橢圓 的兩焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2的直線交橢圓于點(diǎn)A、B，若|AB|=5，則|AF1|+|BF1|的值為（ ） A、11 B、10 C、9 D、1610、已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ，M1、M2為橢圓上的點(diǎn)。 （1）點(diǎn)M1（4，2.4）與焦點(diǎn)的距離分別是_,_; （2）點(diǎn)M2到一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于3，則它到另一焦點(diǎn)的距離等于_.學(xué)校： 臨清一中 學(xué)

7、科：數(shù)學(xué) 編寫人：陳淑君 審稿人：張林2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)目標(biāo)：1掌握橢圓的定義，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過(guò)程；2能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3通過(guò)對(duì)橢圓概念的引入教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和探索能力；4通過(guò)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法，提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的能力； 5通過(guò)讓學(xué)生大膽探索橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識(shí)重點(diǎn)：橢圓的定義的理解及其標(biāo)準(zhǔn)方程記憶難點(diǎn)：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)并引入新課思考問(wèn)題：1.在解析

8、幾何中，我們通常把動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)形成的軌跡叫做曲線曲線和方程的關(guān)系是什么？（如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)=0的解，同時(shí)以方程f(x，y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)又都在曲線上，那么方程就是曲線的方程，曲線就是方程的曲線）2.圓的定義是：在平面上，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡；那么當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足哪些條件時(shí)軌跡仍然是圓？（平面上到兩個(gè)定點(diǎn)(距離為2d)距離的平方和等于定值a(a2d2)的點(diǎn)的軌跡是圓；平面上，與兩個(gè)定點(diǎn)連線的斜率乘積為-1的點(diǎn)的軌跡是圓）由此可見，平面上到兩個(gè)定點(diǎn)距離或與兩個(gè)定點(diǎn)連線滿足某種條件的點(diǎn)的軌跡比較特殊，下面就從這點(diǎn)出發(fā)研究二、講授新課1請(qǐng)學(xué)生觀察計(jì)算機(jī)演示如

9、圖2-23，并思考兩個(gè)問(wèn)題(1)動(dòng)點(diǎn)是在怎樣的條件下運(yùn)動(dòng)的？(2)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)出的軌跡是什么？（3）是否到兩個(gè)定點(diǎn)距離之和等于定值的點(diǎn)的軌跡就一定是橢圓呢？觀察后請(qǐng)學(xué)生回答 (學(xué)生可能一時(shí)答不出，教師可請(qǐng)學(xué)生觀察計(jì)算機(jī)演示如圖2-24并思考)（4）當(dāng)兩個(gè)定點(diǎn)位置變化時(shí)，軌跡發(fā)生了怎樣的變化？從而得出結(jié)論：在平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之和等于定值2a的點(diǎn)的軌跡為最后由學(xué)生口述教師板書：把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之和等于定值2a的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，其中2a|F1F2|順便可以指出兩個(gè)定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距，用2c(c0)表示2推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程思考問(wèn)題：（1）求曲線方程的步

10、驟是什么？（2）求到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離之和等于定值2a(2a|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡（求曲線方程的步驟是：建立坐標(biāo)系設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)：尋找動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件；把幾何條件坐標(biāo)化；化簡(jiǎn)得方程；檢驗(yàn)其完備性）注：建立直角坐標(biāo)系一般應(yīng)符合簡(jiǎn)單和諧化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線的斜率等)的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意要充分利用圖形的特殊性(讓學(xué)生思考后回答)教師歸納大體上有如下三個(gè)方案：取一個(gè)定點(diǎn)為原點(diǎn)，以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖2-25；以F1，F(xiàn)2所在直線為y軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖2-26；以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立

11、直角坐標(biāo)系，最后選定方案，如圖2-27，推導(dǎo)出方程解 1)建系：以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x，y)，設(shè)兩定點(diǎn)坐標(biāo)為：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，2)則M滿足：|MF1|+|MF2|=2a，a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)啟發(fā)學(xué)生觀察圖形如圖2-28，看看a與c的關(guān)系如何？(根據(jù)橢圓定義知道a2c2，且如圖所示，a與c可以看成RtMOF2的斜邊和直角邊)不妨令b2=a2-c2，則方程就變形為b2x2+a2y2=a2b2，再化簡(jiǎn)

12、， (*) (*)式就是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后說(shuō)明：1)方程中條件ab0不可缺少(結(jié)合圖形)，當(dāng)a=b0時(shí)，就化成圓心在原點(diǎn)的圓的方程，從而進(jìn)一步說(shuō)明圓是橢圓的特例；(這實(shí)際上是一種極限情況)2)b的選取雖然是為了方程形式簡(jiǎn)潔與和諧，但也有實(shí)際的幾何意義，即：b2=a2-c2；3)請(qǐng)學(xué)生猜想：若用方案(即焦點(diǎn)在y軸上)，得到的方程形式又如何呢？(啟發(fā)學(xué)生根據(jù)對(duì)稱性進(jìn)行猜想)三、例題例1 已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義及給出的條件，容易求出引導(dǎo)學(xué)生用其他方法來(lái)解另解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因點(diǎn)在橢圓上，則例2 如圖，在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的軌跡是什么？分析：點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)移動(dòng)引起點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，則稱點(diǎn)是點(diǎn)的伴隨點(diǎn)，因點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)可由點(diǎn)來(lái)表示，從而能求點(diǎn)的軌跡方程引申：設(shè)定點(diǎn)，是橢圓上動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程解法剖析：（代入法求伴隨軌跡）設(shè)，；（點(diǎn)與伴隨點(diǎn)的關(guān)系）為線段的中點(diǎn)，；（代入已知軌跡求出伴隨軌跡），點(diǎn)的軌跡方程為；伴隨軌跡表示的范圍例3如圖，設(shè)，的坐標(biāo)分別為，直線，相交于點(diǎn)，且