1、二面角,1,從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。,這條直線叫做二面角的棱。,這兩個半平面叫做二面角的面。,平面角由 射線-點-射線構(gòu)成。,二面角由 半平面-線-半平面構(gòu)成。,定義,2,二面角的表示,3,二面角 l ,二面角CAB D,二面角的畫法,4,一個平面垂直于二面角的棱,且與兩個半平面的交線分別為OA,OB,O為垂足,則AOB叫做二面角的平面角。,平面角是直角的二面角叫做直二面角.,二面角的度量,二面角的平面角的三個特征:,1.點在棱上,2.線在面內(nèi),3.與棱垂直,二面角的大小的范圍:,l,5,P,二面角的平面角的作法：,、點P在棱上,定義法,、點P在一個半平面上,三垂線定

2、理法,、點P在二面角內(nèi),垂面法,P,公式法,6,例1 如圖，已知P是二面角-AB-棱上一點，過P分別在、內(nèi)引射線PM、PN，且MPN=60 BPM=BPN=45 ，求此二面角的度數(shù)。,C,D,解：,在PB上取不同于P 的一點O，,在內(nèi)過O作OCAB交PM于C，,在內(nèi)作ODAB交PN于D，,連CD，可得,COD是二面角-AB-的平面角,設(shè)PO = a ，BPM =BPN = 45,CO=a，DO=a, PC= a ,PD = a,又MPN=60,CD=PC= a,COD=90,因此，二面角的度數(shù)為90,a,7,過 A作 AO于O，過 O作 OD l 于D，連AD,A,O,D,例2、已知銳二面角

3、l ，A為面內(nèi)一點，A到的距離為2 ，到l 的距離為4，求二面角 l 的大小。,解：,則由三垂線定理得 AD l ADO就是二面角l的平面角,二面角 l 的大小為60 ,作,證,計算,17,結(jié)論,在RtADO中,AO=2 , AD=4 ADO=60,8,二面角的計算步驟,1、找到或作出二面角的平面角,2、證明所作的角就是所求二面角的平面角,3、計算出此角的大小,一“作”二“證”三“計算”,9,1.如圖 ABCD是正方形，PD平面ABCD,則 (1)面PAB與面ABCD所成二面角的平面角是_, (2)面PBC與面ABCD所成二面角的平面角是_, (3)面PAD與面PCD所成的二面角的平面角是_,

4、 (4)面PAC與面ACD所成的二面角的平面角是_.,O,練 習(xí),10,2、如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上任一點，則二面角P-BC-A的平面角為: A.ABP B.ACP C.都不是,60,11,取AB 的中點為E，連PE，OE,O為 AC 中點， ABC=90,OEBC且 OE BC,在RtPOE中， OE ，PO,所求的二面角P-AB-C 的正切值為,4如圖，三棱錐P-ABC的頂點P在底面ABC上的射影是底面RtABC斜邊AC的中點O，若PB=AB=1，BC= ，求二面角P-AB-C的正切值。,PEO為二面角P-AB-C 的平面角,在RtPBE中，BE ，PB=1，PE,OEAB ，因此 PEAB,解：,12,M,2,1,13,6 如圖，已知A、B是120的二面角l棱l上的兩點，線段AC，BD分別在面，內(nèi)，且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求線段CD的長。,A,D,B,C,l,14,OAC 120,AO=BD=1, AC=2,四邊形ABDO為矩形, DO=AB=3,解,（方法一）,6 如圖，已知A、B是120的二面角l棱l上的兩點，線段AC，BD分別在面，內(nèi)，且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求線段CD的長。,15,二、二面角的平面角,一、二面角的定義,從空間一直線出發(fā)的兩個半,平面所組成的圖形叫做二面角,1、定