1、2.1.1 合情推理互動課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1.歸納推理是從個別事實中概括出一般原理的一種推理模式.歸納推理包括不完全歸納法和完全歸納法.磁率 歸納推理有以下幾個特點：(1)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象,因而,由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包容的范圍;(2)歸納是依據(jù)若干已知的、沒有窮盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象,因而結(jié)論具有猜測的性質(zhì);(3)歸納的前提是特殊的情況,所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗或?qū)嶒灥幕A(chǔ)上的. 由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具體到抽象的認(rèn)識功能,對于科學(xué)的發(fā)現(xiàn)卻是十分有用的.觀察、實驗,對有限的資料作歸納整理,提出帶有規(guī)律性的說法,仍是科學(xué)研究的最基本的方法

2、之一.2.運用歸納推理的一般步驟： 首先,通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律);然后,把這種相似性推廣為一個明確表述的一般命題(猜想);最后,對所得出的一般性命題進(jìn)行檢驗.在數(shù)學(xué)上,檢驗的標(biāo)準(zhǔn)是否能進(jìn)行嚴(yán)格的證明.3.類比推理(以下簡稱類比)是在兩類不同的事物之間進(jìn)行對比,找出若干相同或相似點之后,推測在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式.4.類比推理有以下幾個特點：(1)類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測正在研究中的事物的屬性,它以原有認(rèn)識作基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果;(2)類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性;(3)類比的結(jié)果是猜測性的,不一定可靠,

3、但它卻具有發(fā)現(xiàn)的功能.5.在運用類比推理時,其一般步驟為：首先,找出兩類對象之間可以確切表述的相似性(或一致性);然后,用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的性質(zhì),從而得出一個猜想;最后,檢驗這個猜想.疑難疏引 兩個系統(tǒng)可作類比的前提是,它們各自的部分之間在其可以清楚定義的一些關(guān)系上一致,因此,類比的關(guān)鍵是能把兩個系統(tǒng)之間的某種一致性(相似性)確切地表述出來,也就是要把相關(guān)對象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識說清楚,這不同于比喻.6.兩種推理的區(qū)別與聯(lián)系 數(shù)學(xué)真理知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)掘和推陳出新,離不開對特殊實例的觀察、分析、歸納、抽象概括和運用探索性推理等過程.歸納推理和類比推理常常被認(rèn)為是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的重

4、要方法,前者是從特殊過渡到一般的思想方法,后者是由此及彼及由彼及此的聯(lián)想方法.兩種推理的思維過程可概括為：從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想 提出猜想 歸納、類比 瀏覽中外數(shù)學(xué)史，可發(fā)現(xiàn)許多有深遠(yuǎn)意義的極為重要的數(shù)學(xué)知識都是通過歸納與類比發(fā)掘出來的.杰出的數(shù)學(xué)家歐拉、高斯等人都是運用歸納與類比的大師.歸納和類比離不開觀察、分析、對比、聯(lián)想，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)這方面有趣而生動的訓(xùn)練，有助于培養(yǎng)我們的觀察能力、分析能力、聯(lián)想能力和創(chuàng)新能力.案例 做下面的實驗 假設(shè)若干杯甜度相同的糖水，經(jīng)過下面的操作后，糖水的甜度(濃度)是否改變？(1)將所有杯中的糖水倒在一起；將任意多杯糖水倒在一起.(2)

5、將某一杯水中再加入一小匙糖，糖全都溶化. 類比這一實驗，你能得到數(shù)學(xué)上怎樣的關(guān)系式？【探究】(1)上述實驗結(jié)果表明，將任意多杯甜度相同的糖水倒在一起后，糖水甜度不變，據(jù)此類比，若將, ,看作倒前糖水濃度，則倒后甜水的甜度為.即由=，可得=(b+d+n0)(2)設(shè)某一杯濃度為,加入糖的質(zhì)量為m(m0).因糖全部溶解后的濃度為，因糖水變甜，故可得到(ab,m0)答案：(1)得到數(shù)學(xué)上的等比定理， 若=，則=,(b+d+n0)(2)得到不等式，若a、b均為正數(shù)，且ab,m為正數(shù)(m0)則.規(guī)律總結(jié)1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理.在數(shù)學(xué)研究中，在得到一個新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，

6、證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向.2.合情推理的過程概括為：從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比提出猜想活學(xué)巧用例1 在平面內(nèi)觀察： 凸四邊形有2條對角線， 凸五邊形有5條對角線， 凸六邊形有9條對角線， 由此猜想凸n邊形有幾條對角線？解：凸四邊形有2條對角線, 凸五邊形有5條對角線,比凸四邊形多3條; 凸六邊形有9條對角線,比凸五邊形多4條; 于是猜想凸n邊形的對角線條數(shù)比凸n-1邊形多n-2條對角線.由此凸n邊形對角線條數(shù)為2+3+4+5+(n-2)=(n-3)(n4,nN*).例2 意大利數(shù)學(xué)家斐波那契(L.Fibonacci)在他的1228年版的算經(jīng)一

7、書中記述了有趣的兔子問題：假定每對大兔子每月能生一對小兔子,而每對小兔子過了一個月就可長成大兔子,如果不發(fā)生死亡,那么由一對大兔子開始,一年后能有多少對大兔子呢? 我們依次給出各個月的大兔子對數(shù),并一直推算下去到無盡的月數(shù),可得數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233, 這就是斐波那契數(shù)列,此數(shù)列中a1=a2=1,你能歸納出當(dāng)n3時an的遞推關(guān)系式嗎?解：從第3項開始,逐項觀察、分析每項與其前面幾項的關(guān)系易得：從第3項起,它的每一項等于它的前面兩項之和,即an=an-1+an-2(n3,nN*).例3 根據(jù)所給數(shù)列前幾項的值：,猜想數(shù)列的通項公式.解：; 于是

8、猜想該數(shù)列的通項公式：an=.點評：根據(jù)數(shù)列中前幾項給出數(shù)列的一個通項公式,主要是對數(shù)列特征進(jìn)行認(rèn)真觀察,結(jié)合常見數(shù)列的通項公式,對已知數(shù)列進(jìn)行分解、組合,從而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.例4 類比實數(shù)的加法和向量的加法,列出它們相似的運算性質(zhì).解：(1)兩實數(shù)相加后,結(jié)果是一個實數(shù),兩向量相加后,結(jié)果仍是一個向量.(2)從運算律的角度考慮,它們都滿足交換律和結(jié)合律,即a+b=b+a, a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c), (a+b)+c=a+(b+c).(3)從逆運算的角度考慮,二者都有逆運算,即減法運算.a+x=0與a+x=0都有唯一解,x=-a與x=-a.(4)在實數(shù)加法中,任意實數(shù)與0

9、相加都不改變大小,即a+0=a.在向量加法中,任意向量與零向量相加,既不改變該向量的大小,亦不改變該向量的方向,即a+0=a.例5 類比圓的下列特征,找出球的相關(guān)特征.(1)平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合是圓;(2)平面內(nèi)不共線的3個點確定一個圓;(3)圓的周長與面積可求;(4)在平面直角坐標(biāo)系中,以點(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2.解：(1)在空間內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合是球;(2)空間中不共面的4個點確定一個球;(3)球有表面積與體積;(4)在空間直角坐標(biāo)系中,以點(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y

10、-y0)2+(z-z0)2=r2.例6 求一個質(zhì)數(shù)，當(dāng)它分別加上10和14時仍為質(zhì)數(shù).分析：我們可以采用歸納推理，先由具體的數(shù)計算開始，再歸納猜想一般性的結(jié)論.解：用歸納法進(jìn)行試驗：2+10=12，2+14=16，質(zhì)數(shù)2不合要求；3+10=13，3+14=17，質(zhì)數(shù)3符合要求；5+10=15，5+14=19，質(zhì)數(shù)5不合要求；7+10=17，7+14=21，質(zhì)數(shù)7不合要求； 歸納上述結(jié)論，可以猜想，3是符合要求的質(zhì)數(shù).點評：歸納推理是通過對一些個別、特殊情況的觀察與分析，導(dǎo)出一般結(jié)論的推理方法，利用歸納猜想，可以探索數(shù)學(xué)規(guī)律，探究解題途徑.但是結(jié)論的正確性還有待于邏輯上的證明.本題中由于質(zhì)數(shù)的變

11、化無規(guī)律，不能用解析式把它表示出來，因此若能證明除了3之外的所有自然數(shù)分別加上10和14不能都是質(zhì)數(shù)，也就證明了除3以外的所有質(zhì)數(shù)加上10和14不能都是質(zhì)數(shù).事實上，自然數(shù)可分為三類：3n,3n+1,3n+2(n是正整數(shù))；(3n+1)+14=3(n+5)是合數(shù)；(3n+2)+10=3(n+4)是合數(shù)；3n+1和3n+2這兩類自然數(shù)中的質(zhì)數(shù)都不符合要求，而3n這類自然數(shù)中，只有當(dāng)n=1時，3n才能是質(zhì)數(shù)，其余都是合數(shù)，因此符合條件的質(zhì)數(shù)只有3.例7如圖所示，直線l1與l2是同一平面內(nèi)的兩條相交直線，它們有一個交點.如果在這個平面內(nèi)再畫第三條直線l3，那么這三條直線最多可能有_個交點；如果在這個平面內(nèi)再畫第4條直線，那么這4條直線最多可有_個交點.由此我們可以猜想：在同一個平面內(nèi)，6條直線最多可有_個交點，n(n為大