1、2.3.1 平均數(shù)及其估計庖丁巧解牛知識巧學 一、平均數(shù)公式樣本數(shù)據(jù)a1，a2，an的平均數(shù)或均值：.在總體中抽取樣本求出樣本的平均數(shù)，這樣就可以用它來估計總體的平均水平，應注意到樣本平均數(shù)只是總體平均數(shù)的近似.在樣本頻率分布直方圖中，平均數(shù)是直方圖的“重心”，即平衡點. 學法一得 求和符號的使用：“”希臘字母，表示求和的意思，讀作“西格馬”，ai中i是變量,i從1到n,即a1，a2，an，只是一個符號,表示a1,a2,，an相加，因此，=a1+a2+an，用它書寫比較方便.再如，等等.在統(tǒng)計學及高等數(shù)學中普遍使用這個符號.二、平均數(shù)的性質(zhì)（1）若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為，則ax

2、1，ax2，axn的平均數(shù)為a；（2）若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為，則ax1+b，ax2+b，axn+b的平均數(shù)為a+b；（3）若給定的一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn較大，直接求平均數(shù)較為煩瑣時，可以將每個數(shù)據(jù)都減去常數(shù)a，得到一組新數(shù)據(jù)x1，x2，xn，計算出新數(shù)據(jù)組的平均數(shù)為，則原數(shù)據(jù)組的平均數(shù)為+a；（4）若M個數(shù)的平均數(shù)是X，N個數(shù)的平均數(shù)是Y，則這M+N個數(shù)的平均數(shù)是.如果兩組數(shù)x1，x2，xn和y1，y2，yn的樣本平均數(shù)分別是和，那么一組數(shù)x1+y1,x2+y2, ,xn+yn的平均數(shù)是.三、眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)各自的作用（1）眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，容易計算，但它

3、只能表達樣本數(shù)據(jù)中很少一部分信息，顯然對其他數(shù)據(jù)信息的忽略使得無法客觀地反映總體特征.（2）中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，容易計算，它僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間數(shù)據(jù)的信息.但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點.（3）由于平均數(shù)與每一個樣本的數(shù)據(jù)有關，“越離群”的數(shù)據(jù)，對平均數(shù)的影響也越大，所以任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的改變，這是眾數(shù)、中位數(shù)都不具有的性質(zhì).也正因為這個原因，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來，平均數(shù)可以反映出更多的關于樣本數(shù)據(jù)全體的信息.但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低. 聯(lián)想發(fā)散 如在體育、文藝等各種比賽的評分中，

4、使用的是平均數(shù)，計分過程中采用“去掉一個最高分，去掉一個最低分”的方法，就是為了防止個別裁判的人為因素而給出過高或過低的分數(shù)，對選手的得分造成較大的影響，從而降低誤差，盡量保證公平性.四、加權平均數(shù) 一般地，若取值x1,x2, ，xn，其頻率分別為p1,p2, ，pn，則平均數(shù)為=x1p1+x2p2+xnpn.證明：設總體為n，樣本x1,x2, ，xn出現(xiàn)的次數(shù)為m1,m2, ，mn，則p1=,p2=，pn=，=x1p1+x2p2+xnpn.使用此公式可簡化計算.典題熱題知識點一 樣本平均數(shù)的基本概念例1 若s2=，寫出其展開式.思路分析：原式是求x1-15,x2-15,，x10-15共10項

5、的平方和的.解：s2=（x1-15）2+（x2-15）2+（x10-15）2.例2 若a、b、c的平均數(shù)是x，則2a+1，2b-1，2c+3的平均數(shù)是（ ）A.2a B.+1 C. D.2+1思路解析：(2a+1)+(2b-1)+（2c+3）/3=2+1.答案：D知識點二 利用眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)對總體進行分析例3 被譽為“雜交水稻之父”的中國科學院院士袁隆平，為得到良種水稻，進行了大量的試驗，下表是在10個試驗點對甲、乙兩個品種的對比試驗結果：品種各試驗點畝產(chǎn)量(kg)12345678910甲390409427397420482397389438432乙4043863633753754303

6、73370353412試估計哪個品種的平均產(chǎn)量更高一些?思路分析：需要計算甲、乙兩個品種的平均畝產(chǎn)量.解：甲、乙兩個品種的樣本平均數(shù)分別是=（390+409+432）10=418.1，=（404+386+412）10=384.1.由可以估計,甲種水稻的平均產(chǎn)量比乙種水稻的平均產(chǎn)量要高一些. 巧解提示 本題解法中計算平均數(shù)較繁,一般地,可以以400為常數(shù)a,所有各數(shù)分別減去400得出一組新數(shù)據(jù),再求10個新數(shù)據(jù)的平均數(shù)x,從而求出平均數(shù)x=x+400,這樣計算過程較為簡便.例4 某工廠人員及工資構成如下表：人員經(jīng)理管理人員高級技工工人學徒合計周工資2 200250220200100人數(shù)16510

7、123合計2 2001 5001 1002 0001006 900（1）指出這個問題中的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；（2）在這個問題中，平均數(shù)能客觀地反映該工廠的工資水平嗎？為什么？思路分析：本題應著眼于眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)各自的特點及適應對象.眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).中位數(shù)是指如果將一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序依次排列，當數(shù)據(jù)有奇數(shù)個時，處在最中間的一個數(shù)；當數(shù)據(jù)有偶數(shù)個時，處在最中間兩個數(shù)的平均數(shù)，是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).一組數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)所得的商就是平均數(shù).解：（1）由表格數(shù)據(jù)可知眾數(shù)為200.2 200+1 500=3 7001 100+2 000+100=3 200，中位數(shù)為250

8、.平均數(shù)為（2 200+1 500+1 100+2 000+100）23=300.（2）雖然平均數(shù)為300元/周，但由表格中所列出的數(shù)據(jù)可以看出，只有經(jīng)理在平均數(shù)以上，其余的人都在平均數(shù)以下，故用平均數(shù)不能客觀真實地反映該工廠的工資水平. 誤區(qū)警示 該題進一步說明平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，妨礙了對總體估計的可靠性，這時平均數(shù)反而不如眾數(shù)、中位數(shù)更客觀.問題探究思想方法探究 問題 我們常用算術平均數(shù)其中ai(i=1,2, ,n)為n個實驗數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)a1,a2, ,an的“最理想”的近似值，它的依據(jù)是什么呢？ 探究過程：處理實驗數(shù)據(jù)的原則是使這個近似值與實驗數(shù)據(jù)之間的離差最小.設這個近似值為x，那么它與n個實驗值ai(i=1,2, ,n)的離差分別為x-a1，x-a2，x-a3，x-an.由于上述離差有正有負，故不宜直接相加.可以考慮離差的平方和，