1、不等式【知識網(wǎng)絡(luò)】同加性 傳遞性同乘性對稱性不等式的性質(zhì)實(shí)數(shù)比較大小不等式的證明綜合法分析法比較法常規(guī)方法特殊方法換元法放縮法判別式法法反證法數(shù)學(xué)歸納法法解不等式基本類型不等式的解法n元均值不等式絕對值不等式的性質(zhì)一元一次不等式一元一次不等式一元一次不等式一元一次不等式一元一次不等式一元一次不等式一元一次不等式11 不等式的性質(zhì)【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1理解不等式的性質(zhì)及其證明.二、命題落點(diǎn)1不等式的性質(zhì)主要以客觀題形式出現(xiàn)往往融于其他問題之中，.如例1，例22利用不等式的性質(zhì)結(jié)合已知條件比較大小、判斷不等式有關(guān)結(jié)論是否成立或利用不等式研究變量的范圍，求字母的取值或取值范圍等.如練習(xí)9.【典例

2、精析】例1 : 若則下列不等式不能成立的是（ ）A B C D 解析: 由 知 ab 0, 因此成立;由 得由于是減函數(shù), 所以亦成立,故一定不成立的是B答案：B例2：（2003北京）設(shè)a，b，c，dR，且ab，cd，則下列結(jié)論中正確的是（ ）Aa+cb+d Bacbd Cacbd D解析：ab，cd，a+cb+D 答案：A例3：（2005福建）不等式的解集是（ ）ABCD解析:不等式的解是x或x成立; （3）求證: (1+), 121 5！=120, 6！=720, n5取N=5, nN時, 原不等式成立. （3） (1+)展開式通項(xiàng): T=C()= (r=0, 1, 2, 3, , n)(

3、1+)0，y0，且恒成立，則a的最小值是（ ）A2BC2D13已知則一定有（ ）ABC D4已知,則（ ）A B C D 5給出下列3個命題：若，則；若，則；若 且，則，其中真命題的序號為_6已知兩個正數(shù)滿足，則使不等式恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍 是 7（1）求證； （2） 求證 8已知函數(shù)的最大值不大于，又當(dāng) （1）求a的值； （2）設(shè)9數(shù)列由下列條件確定： （1）證明：對于, （2）證明：對于1.4不等式的解法.【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1掌握簡單不等式的解法.二、命題落點(diǎn)1主要考查一元二次不等式、對數(shù)不等式、指數(shù)不等式的解法主要考查非整式不等式的轉(zhuǎn)化方法；如例1，例2；2考查含參分式不等式的

4、解法以及分類討論的思想方法.如例3.【典例精析】例1：（2005重慶）不等式組的解集為（ ）ABCD解析：的解集為，的解集為不等式的解集為答案：C例2：（2005遼寧）若，則a的取值范圍是（）ABCD解析：法一：代特殊值驗(yàn)證 法二：當(dāng)，即時，無解；當(dāng)，即時，答案:C例3：（2005江西）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）且方程f(x)x+12=0有兩個實(shí)根為x1=3, x2=4.（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）設(shè)，解關(guān)于x的不等式；解析：（1）將，得（2）不等式即為，即當(dāng)當(dāng)【常見誤區(qū)】1解分式不等式時忘掉分式成立的條件或?qū)瘮?shù)的單調(diào)形運(yùn)用錯誤；2解含參數(shù)不等式時對字母討論不全面.【基礎(chǔ)演練】1(20

5、04天津) 不等式的解集為（ ）A B C D 2不等式的解集為則實(shí)數(shù)a的取值集合為（ ）A B 1 C a| a1D 3（2005遼寧）在上定義運(yùn)算：若不等式對 任意實(shí)數(shù)x成立，則（ ）ABCD4設(shè)函數(shù) ，則使得的自變量的取值范圍為（ ）A B C D5已知則不等式5的解集是 . 6( 2004全國)設(shè)函數(shù)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 7實(shí)系數(shù)方程的一根大于0且小于1, 另一個根大于1且小于2, 求的 取值范圍.8解關(guān)于x的不等式0（aR）9記函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)锳, g(x)=lg(xa1)(2ax)(a1) 的定義域?yàn)锽 （1）求A； （2）若BA, 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.15 含有絕對值的不

6、等式【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1掌握絕對值不等式的概念及其性質(zhì).2理解不等式a-ba+ba+b.二、命題落點(diǎn)1含絕對值不等式的解法主要出現(xiàn)在選擇題、填空題中；如例1，例2；2證明主要出現(xiàn)在解答題中對能力要求較高.如例3.【典例精析】例1： (2004遼寧) 設(shè)全集U=R 解關(guān)于x的不等式解析： 由當(dāng)時，解集是R；當(dāng)時，解集是例2:（2005山東），下列不等式一定成立的是（）ABCD解析： 0a1，01a1, , 答案: A例3：（2005浙江）已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f(x)x22x （1）求函數(shù)g(x)的解析式； （2）解不等式g(x)f(x)|x1|解析：（1）設(shè)函數(shù)

7、y=f(x)的圖象上任一點(diǎn)Q(xq,yq關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)(x,y),則即點(diǎn) 在函數(shù)的圖象上, 故（2）由g(x)f(x)|x1|，可得2x2-|x-1|0當(dāng)x1時,2x2-x+10,此時不等式無解；當(dāng)x1時,2x2+x-10,-1x因此，原不等式的解集為-1,【常見誤區(qū)】1運(yùn)用不等式a-ba+ba+b時出現(xiàn)錯誤；2對絕對值的意義理解有誤，分類不全面導(dǎo)致錯誤.【基礎(chǔ)演練】1不等式的解集是（ ）A B C D2不等式的解集是（ ）A BCD 3若不等式的解集為（1，2），則實(shí)數(shù)a等于（ ）A8B2C4D84若，R，則不等式的解集為R的充要條件是（ ）A B C且D且5不等式|x+2|x|的解集是

8、.6不等式的解集 .7解不等式.8設(shè)且求證： 9某段城鐵線路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列車運(yùn)行時刻表上，規(guī)定列車8時整從A站發(fā)車，8時07分到達(dá)B站并停車1分鐘，8時12分到達(dá)C站.在實(shí)際運(yùn)行中，假設(shè)列車從A站正點(diǎn)發(fā)車，在B站停留1分鐘，并在行駛時以同一速度勻速行駛，列車從A站到達(dá)某站的時間與時刻表上相應(yīng)時間之差的絕對值稱為列車在該站的運(yùn)行誤差. （1）分別寫出列車在B、C兩站的運(yùn)行誤差; （2）若要求列車在B，C兩站的運(yùn)行誤差之和不超過2分鐘，求的取值范圍. 16 不等式的應(yīng)用【考點(diǎn)透視】一、考綱指要1考查運(yùn)用不等式在幾何、函數(shù)，以及實(shí)際生活中的運(yùn)用二、命題落點(diǎn)1

9、常結(jié)合函數(shù)、數(shù)列考查不等式的運(yùn)用，特別是均值不等式的運(yùn)用如例1，例2，例3.【典例精析】例1：（2004廣西卷）某村計(jì)劃建造一個室內(nèi)面積為800的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3寬的空地。當(dāng)矩形溫室的邊長各為多少時？蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少？解析：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為a m，后側(cè)邊長為b m，則 ab=800.圖5-6-1蔬菜的種植面積 所以 當(dāng)答：當(dāng)矩形溫室的左側(cè)邊長為40m，后側(cè)邊長為20m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m2.例2：（2004上海）某單位用木料制作如圖5-6-1所示的框架, 框架的下部是邊長分別為x

10、、y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8m2. 問x、y分別為多少(精確到0.001m) 時用料最省?解析：由題意得xy+x2=8, y=(0x4). 于是, 框架用料長度為 l=2x+2y+2()=(+)x+=4.當(dāng)(+)x=,即x=84時等號成立.此時, x2.343,y=22.828. 故當(dāng)x為2.343m,y為2.828m時, 用料最省.例3：某廠家擬在2004年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元（）（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件。已知2004年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，

11、每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金） （1）將2004年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)； （2）該廠家2004年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？解析：（1）由題意可知當(dāng)每件產(chǎn)品的銷售價格為，2004年的利潤 （2），（萬元）【常見誤區(qū)】1不能正確建立函數(shù)模型從而導(dǎo)致錯誤；2對實(shí)際情況考慮不夠會產(chǎn)生多解或漏解【基礎(chǔ)演練】1王先生購買了一部手機(jī)，欲使用中國移動“神州行”卡或加入聯(lián)通的130網(wǎng)，經(jīng)調(diào)查其收費(fèi) 標(biāo)準(zhǔn)見下表：（注：本地話費(fèi)以分為計(jì)費(fèi)單位，長途話費(fèi)以秒為計(jì)費(fèi)單位.）

12、網(wǎng) 絡(luò)月租費(fèi)本地話費(fèi)長途話費(fèi)甲：聯(lián)通13012元0.36元/分0.06元/秒乙：移動“神州行”0.60元/分0.07元/秒 若王先生每月?lián)艽虮镜仉姷臅r間是撥打長途電話時間的5倍,若要用聯(lián)通130應(yīng)最少打多 長時間的電話才合算（）A300秒B400秒C500秒D600秒2一批物品要用11輛汽車從甲地運(yùn)到360外的乙地.若車速為/時，且車的距離不能少于，則運(yùn)完這批物品至少需要（ ）A11小時B10小時C13小時D12小時3現(xiàn)有一塊長軸為10分米，短軸長為8分米的橢圓形玻璃鏡子，欲從此鏡子中劃出一塊面積盡可能大的矩形鏡子，則可劃出的矩形鏡子的最大面積為 （ ）A10平方分米B 20平方分米C 40平

13、方分米D 平方分米4一種容積規(guī)定為500 的圓柱形罐頭盒，要使制造罐頭盒所用的金屬薄板材料最少，這種圓柱的高和半徑的比應(yīng)為 （ ）A11B 21 C31 D325用一張邊長為30的正方形紙?jiān)谒乃膫€角上剪去一個同樣大小的正方形不用，做一個無蓋的長方體紙盒，（剪貼處的厚度和損耗不計(jì)）則這個紙盒體積的最大值是 .6用一塊鋼錠澆鑄一個厚度均勻，且全面積為2的倒置的正四棱錐形有蓋容器，設(shè)容器高為，蓋子邊長為.記容器的容積為，當(dāng)= m時， 有最大 7某機(jī)床廠今年年初用98萬元購進(jìn)一臺數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)使用，計(jì)劃第一年維修、保養(yǎng)費(fèi)用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養(yǎng)費(fèi)用比上一年增加4萬元，該

14、機(jī)床使用后，每年的總收入為50萬元，設(shè)使用x年后數(shù)控機(jī)床的盈利額為y萬元. （1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）從第幾年開始，該機(jī)床開始盈利（盈利額為正值）； （3）使用若干年后，對機(jī)床的處理方案有兩種： （i）當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，以30萬元價格處理該機(jī)床； （ii）當(dāng)盈利額達(dá)到最大值時，以12萬元價格處理該機(jī)床，問用哪種方案處理較為合算？請說明你的理由.8隨著機(jī)構(gòu)改革工作的深入進(jìn)行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員（140420，且為偶數(shù)），每人每年可創(chuàng)利萬元.據(jù)評估，在經(jīng)營條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)利萬元，但公司需付下崗職員每人每年萬元的生活費(fèi)，

15、并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的，為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，該公司應(yīng)裁員多少人？adl9一根水平放置的長方體形枕木的安全負(fù)荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比.（1）枕木翻轉(zhuǎn)90（即寬度變?yōu)榱撕穸龋?，枕木的安全?fù)荷變大嗎？為什么？ （2）現(xiàn)有一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為R）的木材， 用它來截取成長方形的枕木，其長度即為枕木規(guī)定的長度，問如何截取，可使安全負(fù)荷最大？本章測試題一、選擇題：（本題每小題5分，共60分）1已知實(shí)數(shù)、滿足，則、的大小關(guān)系是（ ）A BC D2若0a2），則（ ）Apq Bpq Cpq Dpq10設(shè)適合不等式，若，,，且，則（

16、 ）A BC D11若不等式對任意實(shí)數(shù)均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 （ ）ABCD12已知定義在上的函數(shù)滿足下列三個條件：對任意的都有;對于任意的02，都有;的圖象關(guān)于y軸對稱，則下列結(jié)論中，正確的是（ ）A BC D二、填空題：（本題每小題分，共分）13若不等式的解集為或，則 .14已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為 .15已知正數(shù)滿足，則最大值是 .16已知a、b、c為某一直角三角形的三條邊長，C為斜邊，若點(diǎn)在直線 上，則的最小值是 .三、解答題：（本題共分）17（本小題滿分12分）已知a、b為不等式的正數(shù)，且，試將四個數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論18（本小題滿分12分）已知 （1）若，求

17、的最小值；（2）若不等式對于一切 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍19（本小題滿分12分）已知a0，求證：20（本小題滿分12分）（理）已知函數(shù) （1）判定f(x)的單調(diào)性，并證明； （2）設(shè)g(x)=1+loga(x -1)，若方程f(x)=g(x)有實(shí)根，求a的取值范圍； （3）求函數(shù)h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-在4，6上的最大值和最小值21（本小題滿分12分）某工廠去年的某產(chǎn)品的年產(chǎn)量為100萬只，每只產(chǎn)品的銷售價為10元，固定成本為8元今年，工廠第一次投入100萬元（科技成本），并計(jì)劃以后每年比上一年多投入100萬元（科技成本），預(yù)計(jì)產(chǎn)量年遞增10萬只，第n次投入后，每只產(chǎn)品的固

18、定成本為（,為常數(shù),且0），若產(chǎn)品銷售價保持不變，第次投入后的年利潤為萬元（1）求的值,并求出的表達(dá)式；（2）問從今年算起第幾年利潤最高?最高利潤為多少萬元?22（本小題滿分14分）的三個內(nèi)角、的對邊的長分別為、，有下列兩個條件：（1）、成等差數(shù)列;（2）、成等比數(shù)列.現(xiàn)給出三個結(jié)論：（1）;（2）;（3）.請你選取給定的兩個條件中的一個條件為條件，三個結(jié)論中的兩個為結(jié)論，組建一個你認(rèn)為正確的命題，并證明之.參考答案11 不等式的性質(zhì)1.C 2. B 3. D4. C5. 6. 7.因?yàn)榍?若，則，所以；若，則，也有因此.8由得由知至少有又, 9.因?yàn)?，所以，作差得?即有, 故知函數(shù)為凹函數(shù)

19、12 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)1. B 2. B 3. B 4.A5. 3 6. 7. 當(dāng)時，由已知不等式得下面分兩部分給出證明：先證，此不等式，此式顯然成立；再證，此不等式，此式顯然成立 綜上可知，存在常數(shù)，是對任意的整數(shù)題中的不等式成立8. （1）；（2）9. (1) 由av2, 得 025時, Q=, 當(dāng)=50時Q最大為.13 不等式的證明1. B 2. C 3. D 4. B5. 6. 7. （1）令， 由 知， 于是，原不等式等價于一方面，令 ， 則有，當(dāng) ，有 從而可以知道，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有，即得 另一面，令 ，則有 ，當(dāng)時，有，從而可以知道，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有 ，

20、即得 綜上可知 （2）聯(lián)系不等式（）和（），就會發(fā)現(xiàn)，令 時，不等式 也成立，于是代入，將所得各不等式相加，得即 8（1）由于的最大值不大于所以 又所以. 由得（2）（i）當(dāng)n=1時，不等式成立；因時不等式也成立.（ii）假設(shè)時，不等式成立，因?yàn)榈膶ΨQ軸為知為增函數(shù)，所以由得 于是有所以當(dāng)時，不等式也成立. 根據(jù)（i）（ii）可知，對任何，不等式成立. 9 (1)2）當(dāng)時，=14 不等式的解法1. A 2. A 3. C 4. A5. 6. .7. 設(shè)方程的兩個根為由根與系數(shù)關(guān)系的得 依題意得 8. 原式（xa）（xa2）0，x1a，x2a2當(dāng)a=a2時，a=0或a=1，x，當(dāng)aa2時，a1或

21、a0，axa2，當(dāng)aa2時0a1，a2xa，當(dāng)a0時axa2，當(dāng)0a1時，a2xa，當(dāng)a1時，axa2，當(dāng)a=0或a=1時，x9. (1)20, 得0, x0, 得(xa1)(x2a)0.a2a, B=(2a,a+1).BA, 2 a1或a +11, 即a或a2, 而a 1,a 1或a2, 故當(dāng)BA時, 實(shí)數(shù) a的取值范圍是 (,2),115 含有絕對值的不等式1. D2. D3. C4. D5. x|x1 6. 7. 原不等式因?yàn)橛?.所以，原不等式組的解集為8. 9. （1）列車在B，C兩站的運(yùn)行誤差（單位：分鐘）分別是和.（2）由于列車在B，C兩站的運(yùn)行誤差之和不超過2分鐘，所以 . （*）當(dāng)時，（*）式變形為,解得 ; 當(dāng)時，（*）式變形為,解得 ; 當(dāng)時，（*）式變形為,解得.綜上所述，的取值范圍是39，16 不等式的應(yīng)用1. B 2. D 3. C 4. B5. 2000 6. ；7. （1）=. （2）解不等式 0,得 .， 3 17.故從第3年工廠開始盈利.（3）(i) 40當(dāng)且僅當(dāng)時，即x=7時，等號成立.到2008年，年平均盈利額達(dá)到最大值，工廠共獲利127+30=114萬元.(ii