1、,高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件,第八章 微分方程,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,內(nèi)容導(dǎo)航 什么是微分方程 分離變量法 微分方程的應(yīng)用（1） 二階常系數(shù)線性微分方程 數(shù)學(xué)建模：微分方程應(yīng)用（2）,8-1 什么是微分方程,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,引例1：曲線過點（1，2），且在該曲線上任意一點M (x , y) 處的切線的斜率為2x，求這曲線的方程

2、? 解 設(shè)所求曲線y=f ( x ) ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得 （1） 此外還應(yīng)滿足條件 把方程（1）兩邊積分，得 即 把條件 代入（2），得C=1 把 C=1代入（2）式，即得所求曲線方程,8-1 什么是微分方程,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,引例2：質(zhì)量為M的物體，受重力作用自由下降，試求物體下落的運動規(guī)律? 解 設(shè)所求運動規(guī)律為s=s ( t ) ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義，未知函數(shù)s=s ( t ) 應(yīng)滿足方程 (4) 由于自由落體的初始位置和初始速度均為零，未知函

3、數(shù) s=s ( t )滿足條件 把方程（4）兩邊積分，得 (5) 再積分一次，得 (6)其中 都是任意常數(shù). 將條件分別代入（5）、（6）內(nèi)，得 于是所求的運動規(guī)律為,8-1 什么是微分方程,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,5、特解通?？梢园凑諉栴}的條件從通解中確定任意常數(shù)的特定值而得到，用來確定特解的條件，稱為初始條件,1、含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程叫做微分方程,相關(guān)概念,2、微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，叫做微分方程的階,3、如果把某個函數(shù)代

4、入微分方程，能使方程恒等，這個方程稱為微分方程的解；求微分方程的解的過程，叫做解微分方程,4、微分方程的解有不同的形式，常用的兩種形式是：一種是解中含有任意常數(shù)并且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解；另一種是解不含任意常數(shù)，稱為特解,8-2 可分離變量法,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,解簡單微分方程常用的方法： 將方程進行變形，然后等式兩邊進行積分。 例：求解一階微分方程 解 變形為 然后兩邊積分，得 于是 即 ，其中C為任意常數(shù)，

5、 可以驗證，函數(shù) 是方程的通解。,8-2 可分離變量法,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,一般地，形如 的微分方程稱為 可分離變量的微分方程。,求解基本方法是：先變形、后積分。,8-2 可分離變量法,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,例 3 求微分方程 的通解,解 原方程可改寫為 分離變量，得 兩邊積分，得 于是 即 ，這就是所求的微分方程的通解

6、。,8-2 可分離變量法,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,例4 求方程 滿足初始條件 的特解,解 原方程可改寫為 分離變量，得 兩邊積分，得 化簡，得 令 于是 這就是所求的微分方程的通解。 把初始條件 代入上式，求得C=11，于是所求微分方程的特解為 。,8-3 微分方程應(yīng)用（1）,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,增長與衰減 用分離變量法解

7、實際中經(jīng)常出現(xiàn)的方程 分離變量，得 兩邊積分，得 即 其中，于是系數(shù)A為正值，所以 所以，微分方程 總是聯(lián)系于指數(shù)增長 或指數(shù)衰減 。,8-3 微分方程應(yīng)用（1）,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,例5 當(dāng)一次謀殺發(fā)生后，尸體溫度從原來的370C，按照牛頓冷卻定律（一塊熱的物體其溫度下降的速度是與其自身溫度同外界溫度的差值成正比的關(guān)系），開始變涼，假設(shè)兩小時后尸體溫度變?yōu)?50C，并且假定周圍空氣的溫度保持200C不變 （1）求出自打謀殺發(fā)生后尸體溫度是如何作為時間的函

8、數(shù)而變化的； （2）畫出溫度時間曲線； （3）最終尸體的溫度將如何？用圖像和代數(shù)兩種方式表示出最終結(jié)果； （4）如果尸體被發(fā)現(xiàn)時的溫度為300C ，時間為下午4點整，那么謀殺時何時發(fā)生的？,8-3 微分方程應(yīng)用（1）,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,解 （1）按冷卻定律建立方程 溫度變化率=a溫度差=a(H-20), 其中a為比例常數(shù)，H 為尸體溫度 于是 考慮a的正負號，如果溫度差是正的（即H20）、則是H下降的，所以溫度的變化率就應(yīng)是負的，因此a 應(yīng)為負的，于是

9、分離變量求解，得 代入初始值（t=0時，H=37）求B， 于是 為了求K的值，我們根據(jù)兩小時后尸體溫度為350C這一事實，有 化簡，取對數(shù)得 ， 于是溫度函數(shù)為,8-3 微分方程應(yīng)用（1）,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,（2）作草圖如下： （3）“最終趨勢”指 ,取極限 （4）求多長時間尸體溫度達到300C，即 令H=30，代入得 ， 兩邊取自然對數(shù)得 即t8.4 （小時） 于是，謀殺一定發(fā)生在下午4點這一尸體被發(fā)現(xiàn)時的前8.4小時 （即8小時24分），所以謀殺是在

10、上午7點36分發(fā)生的。,t,0,H,20,H=20+17e-0.063t,37,8-4 二階微分方程,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,形如的二階微分方程稱為二階常系數(shù)線性齊次微分方程 。如 例：求的通解 分析： 解微分方程是求未知函數(shù)y，觀察分析此題，常見函數(shù)中什么函數(shù)的是同 一類函數(shù)呢？聯(lián)想到是ex類型， 用待定法設(shè) y=erx ，代入變形為 則只須，稱此代數(shù)方程為微分方程的特征方程，其根設(shè)為特征根。,8-4 二階微分方程,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章

11、導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,解 解特征方程 得 于是微分方程的通解 （可以證明，二階常系數(shù)線性齊次微分方程的兩個特解，只要他們不成比例，則為該方程的通解） 例7 求方程的通解 解特征方程 則通解為 重根時，得一個特解，再用待定法令 或等等，求得另一個特解,8-4 二階微分方程,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,例求微分方程 的通解,解 特征方程為 共軛虛根為 原方程的通解 （共軛虛

12、根時，由歐拉公式有 再根據(jù)該方程的線性組合仍是解而消去i ）,8-4 二階微分方程,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,于是二階線性齊次微分方程的特解形式 ：,特征方程 的兩個根微分方程的通解 (1)兩個不相等實根r1,r2 (2)兩個相等實根r1=r2=r (3)共軛虛根,8-4 二階微分方程,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,二階常系數(shù)線性非齊

13、次微分方程 例9：求 的通解 分析：這類微分方程叫二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 可以證明： 其通解為“齊次通解+非齊特解”。 即可先求 的通解，再求 的特解。 解 特征方程 齊次通解為,8-4 二階微分方程,精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,用待定系數(shù)法求解（由方程右邊的特點） 令 y=ax+b 代入原方程，得 即 解之 所以原方程的通解 說明：求非齊次方程的特解時，由f(x)的特點如指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)等用待定法求解，即類似可解 等等,8-5 數(shù)學(xué)建模：微分方程應(yīng)用(2

14、),精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,微分方程組與相平面分析，微分方程是常用的 數(shù)學(xué)模型，微分方程建模解決問題有其特點： 直接研究一個變量y=f(x)常常不容易，而考慮其系數(shù) 及其關(guān)系更容易一些，這就產(chǎn)生微分方程； 一個主要原因是，事物都在變化，也就有變化率 ，事物的變化又常以時間t為自變量，這就考 慮 等等; 事物的關(guān)系又通常是對立統(tǒng)一關(guān)系，x與y相互 聯(lián)系，這就得到微分方程組?？聪旅娴膶嵗?。,8-5 數(shù)學(xué)建模：微分方程應(yīng)用(2),精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第

15、2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,戰(zhàn)爭模型 用x(t)和y(t)表示甲乙交戰(zhàn)雙方在時刻t的兵力，可視為雙方的士兵人數(shù)，一個簡化模型是,假設(shè)一支軍隊參站人數(shù)減少（死亡或受傷）的比率(如 ) 是與另一支軍隊集中向其開火的次數(shù)成正比，而這開火的次數(shù)又與該方軍隊中參戰(zhàn)人數(shù)成正比。 于是x、y服從微分方程： （） 下面分析求解此微分方程組,8-5 數(shù)學(xué)建模：微分方程應(yīng)用(2),精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用

16、 第8章 微分方程,由復(fù)合求導(dǎo)法則 分離變量求得(2) 此方程在圖像上是雙曲線簇（右圖） （其中k為參數(shù)，反映了曲線簇中不同 的類型，這是相平面）。圖中箭頭表 示隨時間t的增加，x(t)、y(t)的變化趨 勢，可以看出，如果k0，軌線將與y軸 相交，這就說明存在使t1，使 即當(dāng)甲方兵力為零時乙方兵力為正值，表明乙方獲勝。 同理可知，k0時甲方獲勝，而k=0時雙方戰(zhàn)平。 進一步分析某一方比如乙方取勝的條件，考慮初始條件代入（2）式得：,X(t),0,y(t),ay2-bx2=k,K0的情形,8-5 數(shù)學(xué)建模：微分方程應(yīng)用(2),精品課程 序 言 第1章 函 數(shù) 第2章 導(dǎo) 數(shù) 第3章 定積分 第4章 求導(dǎo)方法 第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 第6章 求積分方法 第7章 定積分應(yīng)用 第8章 微分方程,() 由k0即得 () 考慮a、b的含義，（1）式中a為乙方的“戰(zhàn)斗有效系數(shù)”（可以認為是乙方士兵的