1、24.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義平面向量的數(shù)量積提出問題一個物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，如圖問題1：如何計(jì)算這個力所做的功？提示：W|s|F|cos .問題2：力F在位移方向上的分力是多少？提示：|F|cos .問題3：力做功的大小與哪些量有關(guān)？提示：與力F的大小、位移的大小及它們之間的夾角有關(guān)導(dǎo)入新知1向量的數(shù)量積的定義(1)兩個非零向量的數(shù)量積：已知條件向量a，b是非零向量，它們的夾角為定義a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)是數(shù)量|a|b|cos 記法ab|a|b|cos (2)零向量與任一向量的數(shù)量積：規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.2向量的數(shù)量積的幾何意義(1)投影的概念：向量b

2、在a的方向上的投影為|b|cos .向量a在b的方向上的投影為|a|cos .(2)數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積化解疑難透析平面向量的數(shù)量積(1)向量的數(shù)量積ab，不能表示為ab或ab.(2)兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量，其大小與兩個向量的長度及其夾角都有關(guān)，符號由夾角的余弦值的符號決定設(shè)兩個非零向量a與b的夾角為，則當(dāng)0時，cos 1，ab|a|b|；當(dāng)為銳角時，cos 0，ab0；當(dāng)為鈍角時，cos 0，ab0；當(dāng)為直角時，cos 0，ab0；當(dāng)180時，cos 1，ab|a|b|.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律提出問題已

3、知兩個非零向量a，b，為a與b的夾角問題1：若ab0，則a與b有什么關(guān)系？提示：ab0，a0，b0，cos 0，90，ab.問題2：aa等于什么？提示：aa|a|2cos 0|a|2.問題3：在什么條件下可求cos ？提示：已知ab及|a|b|時，可得cos .導(dǎo)入新知1向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a與b都是非零向量， 為a與b的夾角(1)abab0.(2)當(dāng)a與b同向時，ab|a|b|，當(dāng)a與b反向時，ab|a|b|.(3)aa|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.2向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)abba(交換律)(2)(a)b(ab)a(b)(結(jié)合律)(3)(ab)cacbc(分配律)

4、化解疑難辨析向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算(1)在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，若ab0，則a與b中至少有一個為0.而在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，不能從ab0推出a0或b0.實(shí)際上由ab0可推出以下四種結(jié)論：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.(2)在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，若a，bR，則|ab|a|b|，但對于向量a，b，卻有|ab|a|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立這是因?yàn)閨ab|a|b|cos |，而|cos |1.(3)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足消去律：若bcca，c0，則有ba.在向量數(shù)量積的運(yùn)算中，若abac(a0)，則向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由abac(a0)不能得到bc.(4)實(shí)數(shù)運(yùn)算滿足乘法結(jié)合律，但

5、向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量，而a(bc)表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線向量數(shù)量積的運(yùn)算例1(1)已知向量a與b的夾角為120，且|a|4，|b|2，求：ab; (ab)(a2b)(2)如圖，設(shè)正三角形ABC的邊長為，c，a，b，求abbcca.解(1)由已知得ab|a|b|cos 42cos 1204.(ab)(a2b)a2ab2b216(4)2412.(2)|a|b|c|，且a與b，b與c，c與a的夾角均為120，abbccacos 12033.類題通法向量數(shù)量積的求法(1)求兩個向量的數(shù)量積，首先

6、確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩個向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵(2)根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算活學(xué)活用1(山東高考)已知菱形ABCD的邊長為a，ABC60，則()Aa2Ba2C.a2 D.a2答案：D2已知正方形ABCD的邊長為2，分別求：(1)；(2)；(3).答案：(1)4(2)0(3)4與向量的模有關(guān)的問題例2(1)已知向量a，b夾角為45，且|a|1，|2ab|，則|b|_.(2)已知|a|2，|b|4，a，b的夾角為，以a，b為鄰邊作平行四邊形，求平行四邊形的兩條對角線中較短一條的長度解(1)3(2)平行四邊形的兩條對角線中較短

7、一條的長度為|ab|，|ab| 2.類題通法向量模的常見求法在求向量的模時，直接運(yùn)用公式|a|，但計(jì)算兩向量的和與差的長度用|ab| .活學(xué)活用已知向量a，b滿足|a|2，|b|3，|ab|4，求|ab|.答案：兩個向量的夾角和垂直問題例3(1)(重慶高考)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B.C. D(2)已知非零向量a，b滿足a3b與7a5b互相垂直，a4b與7a2b互相垂直，求a與b的夾角解(1)A(2)由已知條件得即得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos .0，. 類題通法求向量a，b的夾角的思路(1)求向量

8、的夾角的關(guān)鍵是計(jì)算ab及|a|b|，在此基礎(chǔ)上結(jié)合數(shù)量積的定義或性質(zhì)計(jì)算cos ，最后借助0，求出值(2)在個別含有|a|，|b|與ab的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計(jì)算cos 的值活學(xué)活用1如果向量a和b滿足|a|1，|b|，且a(ab)，那么a和b的夾角的大小為()A30 B45C75 D135答案：B2已知|a|3，|b|2，向量a，b 的夾角為60，c3a5b，dma3b，求當(dāng)m為何值時，c與d垂直答案：m時，c與d垂直典例設(shè)兩個向量e1，e2，滿足|e1|2，|e2|1，e1與e2的夾角為，若向量2te17e2與e1te2的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_解析由向量2te17e2與

9、e1te2的夾角為鈍角，得0，即(2te17e2)(e1te2)0，化簡即得2t215t70，畫出2t215t70的圖象，如圖若2t215t70，則t.當(dāng)夾角為時，也有(2te17e2)(e1te2)0，但此時夾角不是鈍角，設(shè)2te17e2(e1te2)，0，可得所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是.答案易錯防范1本題易混淆兩非零向量的夾角為鈍角與兩向量的數(shù)量積小于零的關(guān)系，忽視向量2te17e2與e1te2的夾角為時，也有數(shù)量積小于0的情況，從而得出t的錯誤答案2由于ab0包含了其夾角為0的情況，在求解時應(yīng)注意排除成功破障已知同一平面上的向量a，b，c兩兩所成的角相等，并且|a|1，|b|2，|c|3，則

10、向量abc的長度為()A6B.C3 D6或答案：D隨堂即時演練1下列命題：(1)若a0，abac，則bc；(2)(ab)ca(bc)對任意向量a，b，c都成立；(3)對任一向量a，有a2|a|2.其中正確的命題有()A0個B1個C2個 D3個答案：B2若|a|4，|b|6，a與b的夾角為135，則a(b)等于()A12 B12C12 D12答案：C3若|a|1，|b|2，cab，且ca，則向量a與b的夾角為_答案：1204已知向量a，b的夾角為120，|a|1，|b|3，則|5ab|_.答案：75設(shè)非零向量a和b，它們的夾角為.(1)若|a|5，|b|4，150，求a在b方向上的投影和a與b的

11、數(shù)量積；(2)若ab9，|a|6，|b|3，求b在a方向上的投影和a與b的夾角.答案：(1)|a|cos ，ab10(2)|b|cos ，60課時達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1若非零向量a，b滿足|a|b|，(2ab)b0，則a與b的夾角為()A30B60C120 D150答案：C2在四邊形ABCD中，且0，則四邊形ABCD是()A矩形 B菱形C直角梯形 D等腰梯形答案：B3已知向量a，b的夾角為120，|a|b|1，c與ab同向，則|ac|的最小值為()A1 B.C. D.答案：D4在ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM1，點(diǎn)P在AM上且滿足2，則()等于()A. B.C D答案：A5.如圖，在ABC中，A

12、DAB， ，|1，則等于()A2 B.C. D.答案：D二、填空題6在RtABC中，C90，AC4，則_.答案：167已知向量a，b滿足|a|1，|b|3，且|2ab|，則a與b的夾角為_答案：8(浙江高考)已知平面向量a，b，|a|1，|b|2，ab1，若e為平面單位向量，則|ae|be|的最大值是_答案：三、解答題9已知|a|2，|b|3，a與b的夾角為120，求：(1)ab；(2)a2b2；(3)(2ab)(a3b)；(4)|ab|.解：(1)ab|a|b|cos 120233；(2)a2b2|a|2|b|2495；(3)(2ab)(a3b)2a25ab3b22|a|25|a|b|cos 1203|b|28152734；(4)|ab|.10已知a，b均是非零向量，設(shè)a與b的夾角為，是否存在這樣的，使|ab|ab|成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由解：假設(shè)存在滿足條件的，|ab|ab|，(ab)23(ab)2.|a|22ab|b|23(|a|22ab|b|2)|a|24ab|b|20.|a|24|a