1、-二次函數的相關知識,1.定義：一般地，如果 （ 、 、 是常數， ），那么 叫做 的二次函數.,2.二次函數 用配方法可化成： 的形式.,其中:,3.拋物線的三要素：,開口方向、對稱軸、頂點.,的符號決定拋物線的開口方向： 當 時，開口向上； 當 時，開口向下； 相等，拋物線的開口大小、形狀相同. 平行于 軸（或重合）的直線記作 特別地， 軸記作直線 .,4.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.,5.求拋物線的頂點、對稱軸的方法,（1）公式法：,頂點是:,對稱軸是直線:,（2）配方法：運用配方的方法，將拋物

2、線的解析式化為 的形式，得到頂點為 ， 對稱軸是直線,（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱點的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.,6.拋物線 中， 、 、 的作用,（1） 決定開口方向及開口大小，這與 中的 完全一樣.,開口向上,開口向下,越大開口越小，反之越大,（2） 的符號：,和 共同決定拋物線對稱軸的位置,由于拋物線 的對稱軸是 直線,故：, 時，對稱軸為 軸, （即 、 同號）時，對稱軸在 軸左側；, （即 、 異號）時，對稱軸在 軸右側.,（左同右異）,（

3、3） 的符號：,由拋物線與 軸的交點位置確定:,當 時， ，拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：,7.用待定系數法求二次函數的解析式：,（1）一般式： .已知圖象上三點或三對 、 的值，通常選擇一般式.,（2）頂點式： .已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式,（3）交點式: 已知圖象與 軸的交點坐標 、 ，通常選用交點式：,8.直線與拋物線的交點,（1） 軸與拋物線 的交點為,（2）與 軸平行的直線 與拋物線 有且只有一個交點,（4）平行于 軸的直線 與拋物線的交點同上面（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，縱坐標為 ，則橫坐標是 的兩個實數根,（

4、6）拋物線與 軸兩交點之間的距離：,若拋物線 與 軸兩交點為 、 由于 、 是方程 的兩個 根，故 ，,，向上平移 個單位,向左（右）平移 個單位,拋物線 與 , 的形狀和大小都相同，變動的 只是位置。（以 為基準說明）,，向下平移 個單位,，向右平移 個單位,，向左平移 個單位,向上（下）平移 個單位,拋物線的平移、翻折與旋轉的變換,拋物線在變換中，開口大小未變，只是位置或開口方向發(fā)生改變,確定變換前后頂點坐標及開口方向,關 鍵,關于 軸對稱,關于 軸對稱,如圖，將拋物線 沿 軸翻轉到虛線的位置，那么所得到的拋物線的解析式為,在平面直角坐標系中，先將拋物線 關于 軸作軸對稱變換， 再將所得的拋物線關于 軸作軸對稱變換， 那么經兩次變換后所得的新拋物線的解析式為（ ） A B C D,2009年天津中考試題第10題,二次函數,性 質,0,=0,0,0,=0,0,頂點式,交點式,拋物線,二次