1、2.2.1 向量加法運(yùn)算及其幾何意義課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1.向量加法運(yùn)算的意義【例1】如右圖所示，已知三個(gè)向量a、b、c，試用三角形法則和平行四邊形法則作a+b+c.思路分析：本題主要利用三角形法則和平行四邊形法則求幾個(gè)向量的和向量，只要按三角形法則和平行四邊形法則作出即可.解：用三角形法則作a+b+c:作=a,以A為始點(diǎn)作=b,再以B為始點(diǎn)，作=c，則=+=a+b+c（如下圖（1）所示）用平行四邊形法則作a+b+c:作=a，=b，=c，以，為鄰邊作平行四邊形OADB，則=a+b.再以，為鄰邊作平行四邊形ODEC，則=+=a+b+c（如下圖（2）所示）溫馨提示 要求作三個(gè)向量的和，首先作兩個(gè)向量的

2、和，因?yàn)檫@兩個(gè)向量的和仍為一個(gè)向量，然后再求這個(gè)向量與另一個(gè)向量的和，方法是多次使用三角形法則和平行四邊形法則.【例2】 長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.如下圖所示，一艘船從長江南岸A點(diǎn)出發(fā)，以5 km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時(shí)江水的速度為向東2 km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際航行的速度（保留兩個(gè)有效數(shù)字）；（2）求船實(shí)際航行的速度的大小與方向（用與江水速度間的夾角表示，精確到度）.思路分析：本題用向量知識解決物理問題.由于速度是矢量，可以用向量表示速度，然后用向量加法運(yùn)算合成速度即可.但要注意解決實(shí)際問題中的向量問題不僅要求出大小，而且要求

3、出方向.解：（1）如右圖所示.表示船速，表示水速，以AD、AB為鄰邊作ABCD，則表示船實(shí)際航行的速度.（2）在RtABC中，|=2，|=5，|=5.4.tanCAB=2.5,由計(jì)算器得CAB70.答:船實(shí)際航行速度的大小約為5.4 km/h,方向與水的流速間的夾角約為70.2.對向量加法的理解【例3】已知向量a、b，比較|a+b|與|a|+|b|的大小.思路分析：因?yàn)橄蛄堪L度和方向，所以在比較長度的大小時(shí)，要注意其方向.解：（1）當(dāng)a、b至少有一個(gè)為零向量時(shí)，有|a+b|=|a|+|b|.（2）當(dāng)a、b為非零向量，且a、b不共線時(shí)有|a+b|a|+|b|.當(dāng)a、b為非零向量，且a、b同向

4、共線時(shí)有|a+b|=|a|+|b|.當(dāng)a、b為非零向量，且a、b異向共線時(shí)有|a+b|a|+|b|.溫馨提示（1）解決此類問題可利用三角形法則作出圖形輔助解答.（2）在向量的加法定義中要注意兩個(gè)向量共線的情況.3.對向量加法定義及運(yùn)算法則再理解【例4】 下列命題中：若非零向量a與b的方向相同或相反，那么a+b的方向必和a、b之一的方向相同.ABC中，必有+=0.若+=0，則A、B、C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn).若a、b均為非零向量，則|a+b|與|a|+|b|相等.其中真命題個(gè)數(shù)為_.思路分析：假命題，a+b=0時(shí)命題不成立.假命題，向量之和仍為向量.假命題，A、B、C共線時(shí)也可以有+=0.假命題

5、，只有a、b同向時(shí)才成立.答案：0個(gè)溫馨提示 向量之和仍為向量，注意0與0區(qū)別；注意兩個(gè)共線向量求和情況.各個(gè)擊破類題演練1如下圖（1）（2）（3）所示，試作出向量a與b的和.解：如下圖（1）（2）（3）所示，首先作=a，然后作=b，則=a+b.變式提升1如右圖在正六邊形ABCDEF中，=a,=b，求、.解：連結(jié)FC交AD于點(diǎn)O，連結(jié)OB，由平面幾何知識得四邊形ABOF、四邊形ABCO都是平行四邊形.根據(jù)向量的平行四邊形法則知：=+，=+，=+=a+b+a.由正六邊形知識得=2=2（a+b）.又根據(jù)三角形法則知：=+，且=-=-a,=2(a+b)-a.類題演練2某人在靜水中游泳,速度為千米/時(shí)

6、,他在水流速度為4千米/時(shí)的河中游泳.如果他垂直游向河對岸,那么他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)?實(shí)際前進(jìn)的速度為多少?解：如右圖所示,水速速度v1=4 km/h.游泳速度v2=km/h.設(shè)合速度v與v1所成角為,tan=,=60.|v|=8 (km/h)所以如果他垂直游向?qū)Π?，那么他的?shí)際方向是與水流方向成60角，實(shí)際前進(jìn)的速度為8 km/h.變式提升2某人在靜水中游泳,速度為千米/時(shí),他在水流速度為4千米/時(shí)的河中游泳.他必須朝哪個(gè)方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)？實(shí)際前進(jìn)的速度為多少？解：如右圖所示cosv2Ov=;v2Ov35.26.v2Ov=90+35.26=125.26.沿與水流方向成125

7、.6的方向前進(jìn).實(shí)際前進(jìn)的速度為|v|=(km/h).類題演練3在四邊形ABCD中，=+,則( )A.ABCD一定為矩形 B.ABCD一定為菱形C.ABCD一定為正方形 D.ABCD一定為平行四邊形答案：D變式提升3已知=a，=b，=c，則a+b+c=0成立時(shí)A、B、C能否構(gòu)成三角形？反之成立嗎？解：a+b+c=0時(shí)，A、B、C三點(diǎn)不一定能構(gòu)成三角形.因?yàn)榭赡蹵、B、C三點(diǎn)共線.而A、B、C是三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，由向量加法的三角形法則必有a+b+c=0.類題演練4向量a、b皆為非零向量，下列說法不正確的是( )A.向量a與b反向，且|a|b|，則向量a+b與a的方向相同B.向量a與b反向，且|a|b|，則向量a+b與a的方向相同C.向量a與b同向，則向量a+b與a的方向相同D.向量a與b同向，則向量