1、二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例,【自主預(yù)習(xí)】 貝努利(Bernoulli)不等式 如果x是實數(shù),且x-1,x0,n為大于1的自然數(shù),則有 _.,(1+x)n1+nx,【即時小測】 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 成立,起始值至少應(yīng)取為() A.7B.8C.9D.10,【解析】選B.左邊的和為 =2-21-n,當(dāng)n=8時, 和為2-2-7,2.用數(shù)學(xué)歸納法證明: (n2,nN*)時第一步需要證明(),【解析】選C.用數(shù)學(xué)歸納法證明 (n2,nN*), 第一步應(yīng)驗證不等式為:,【知識探究】 探究點貝努利不等式 1.在應(yīng)用貝努利不等式時應(yīng)注意什么? 提示:在應(yīng)用貝努利不等式時要注意應(yīng)用條件x-1,且x0,

2、n是大于1的自然數(shù).,2.在利用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式時n的初始值應(yīng)選什么? 提示:因為n為大于1的自然數(shù),故n的初始值為2.,【歸納總結(jié)】 1.貝努利不等式成立的兩個條件 一是x的范圍是x-1且x0,xR. 二是n為大于1的自然數(shù).,2.貝努利不等式的推廣 當(dāng)指數(shù)n推廣到任意實數(shù)時,x-1時, 若01,則(1+x)1+x. 當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立.,類型一用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)函數(shù)中的不等關(guān)系 【典例】已知f(x)= .對于nN+,試比較 f( )與 的大小并說明理由.,【解題探究】解答本例的解題方向是什么? 提示:先通過n取比較小的值進(jìn)行歸納猜想,確定證明方向,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.,【

3、解析】根據(jù)題意f(x)= 所以要比較f( )與 的大小,只需比較2n與n2 的大小即可,當(dāng)n=1時,21=212=1, 當(dāng)n=2時,22=4=22, 當(dāng)n=3時,23=852=25, 當(dāng)n=6時,26=6462=36.,故猜測當(dāng)n5(nN+)時,2nn2, 下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明. (1)當(dāng)n=5時,2nn2顯然成立. (2)假設(shè)n=k(k5,且kN+)時,不等式2nn2成立, 即2kk2(k5),則當(dāng)n=k+1時,2k+1=22k2k2=k2+k2+2k+1-2k-1=(k+1)2+(k-1)2- 2(k+1)2(因為(k-1)22). 由(1)(2)可知,對一切n5,nN+,2nn2成立

4、. 綜上所述,當(dāng)n=1或n5時,f( ) ; 當(dāng)n=2或n=4時,f( )= ; 當(dāng)n=3時,f( ) .,【方法技巧】利用數(shù)學(xué)歸納法解決比較大小問題的方法 利用數(shù)學(xué)歸納法比較大小,關(guān)鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個量的大小關(guān)系,猜測出證明的方向,再用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立.,【變式訓(xùn)練】1.設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù), 且f(x)滿足:當(dāng)f(k)k2成立時,總可推出f(k+1) (k+1)2成立.那么下列命題總成立的是(),A.若f(3)9成立,則當(dāng)k1時,均有f(k)k2成立 B.若f(5)25成立,則當(dāng)k5時,均有f(k)k2成立 C.若f(7)49成立,則當(dāng)k8時,均有f(k)k

5、2成立 D.若f(4)=25成立,則當(dāng)k4時,均有f(k)k2成立,【解析】選D.根據(jù)題中條件可知:由f(k)k2,必能推得f(k+1)(k+1)2,但反之不成立,因為D中f(4)=2542,故可推得k4時,f(k)k2,故只有D正確.,2.(2016淮南高二檢測)已知函數(shù)f(x)= (其中e 為自然對數(shù)的底數(shù)).證明:當(dāng)x0時,對任意正整數(shù)n都 有f n!x2-n.,【證明】當(dāng)x0時,f(x)= , 所以f =x2e-x 考慮到:x0時,不等式f n!x2-n等價于 x2e-xn!x2-n,即xnn!ex.(*) 所以只要用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(*)對一切nN+ 都成立即可.,(1)當(dāng)n=1

6、時,設(shè)g(x)=ex-x(x0). 因為x0時,g(x)=ex-10, 所以g(x)在(0,+)上是增函數(shù), 故g(x)g(0)=10, 即exx(x0), 所以,當(dāng)n=1時,不等式(*)成立.,(2)假設(shè)n=k(kN+)時,不等式(*)成立, 即xk0), 有h(x)=(k+1)!ex-(k+1)xk =(k+1)(k!ex-xk)0,故h(x)=(k+1)!ex-xk+1(x0)為增函數(shù), 所以h(x)h(0)=(k+1)!0, 即xk+1(k+1)!ex, 這說明當(dāng)n=k+1時不等式(*)也成立, 根據(jù)(1)(2)可知不等式(*)對一切nN*都成立, 故原不等式對一切nN+都成立.,類型

7、二數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【典例】已知Sn= (n1,nN+),求證: (n2,nN+).,【解題探究】本例能否先求Sn,再證明不等式? 提示:不能.若先求Sn再證明會比較困難.,【證明】(1)當(dāng)n=2時,S4= 即當(dāng)n=2時命題成立. (2)假設(shè)n=k(k2,nN+)時命題成立, 即 當(dāng)n=k+1時,故當(dāng)n=k+1時,命題也成立. 由(1)(2)知,對nN+,n2, 都成立.,【延伸探究】 1.將本例中所要證明的不等式改為: (n2,nN+),如何證明?,【證明】(1)當(dāng)n=2時,左邊= 因為 所以左邊右邊,原不等式成立.,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k2)時不等式成立, 即 則當(dāng)n=k+1時,左邊=

8、,所以,當(dāng)n=k+1時,不等式也成立. 由(1)和(2)可知,對n2,且nN+,不等式都成立.,2.若在本例中,條件變?yōu)椤霸O(shè)f(n)= (nN+),由f(1)=1 ,f(3)1,f(7) , f(15)2,”.試問:f(2n-1)與 大小關(guān)系如何? 試猜想并加以證明.,【解析】數(shù)列1,3,7,15,通項公式為an=2n-1,數(shù) 列 ,1, ,2,通項公式為an= , 所以猜想:f(2n-1) .,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: (1)當(dāng)n=1時,f(21-1)=f(1)=1 ,不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時不等式成立,即f(2k-1) , 則f(2k+1-1)=f(2k-1)+,所以當(dāng)n=

9、k+1時,不等式也成立. 據(jù)(1),(2)知對任何nN+原不等式均成立.,【方法技巧】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧 (1)證明不等式時,由n=k到n=k+1時的推證過程與證明等式有所不同,由于不等式中的不等關(guān)系,需要我們在證明時,對原式進(jìn)行“放大”或者“縮小”才能使用到n=k時的假設(shè),所以需要認(rèn)真分析,適當(dāng)放縮,才能使問題簡單化,這是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時常用的方法之一.,(2)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學(xué)的其他方法聯(lián)系在一起,如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等,才能完成證明過程.,【變式訓(xùn)練】1.已知f(n)=1+ + + (nN*), 經(jīng)計算得:f(4)2,f(8) f(16

10、)3,f(32) 觀察上述結(jié)論,可歸納出一般結(jié)論為_.,【解析】將已知計算結(jié)果變形為 歸納結(jié)論為f(2n) 答案:f(2n),2.證明: (nN+,n2). 【證明】(1)當(dāng)n=2時,左邊=1+ ,右邊= 2- ,由于 ,故不等式成立.,(2)假設(shè)n=k(kN+,k2)時命題成立,即 則當(dāng)n=k+1時,即當(dāng)n=k+1時,命題成立. 由(1),(2)知,原不等式對一切nN+,n2都成立.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】數(shù)列an中,a1=1,an+1=1+ 求證: 當(dāng)n2且nN+時, 【證明】(1)當(dāng)n=2時,a2=1+1=2,且 不等式成立.,(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k2)時,有 則當(dāng)n=k+1時,ak+1= (分析

11、法證明)要證 只需證ak 即ak (由假設(shè)可知成立),所以 由(1)(2)知,當(dāng)n2,且nN+時, 成立.,類型三利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式 【典例】已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足 a1= ,an+2SnSn-1=0(n2). (1)判斷 是否為等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論. (2)證明 (n1且nN+).,【解題探究】本例中an與Sn的關(guān)系式是什么? 提示:當(dāng)n2時,an=Sn-Sn-1.,【解析】(1) 是等差數(shù)列,證明如下: S1=a1= ,所以 =2. 當(dāng)n2時,an=Sn-Sn-1,即Sn-Sn-1=-2SnSn-1. 所以 =2.故 是以2為首項,2為公差的 等差數(shù)列.,(2)

12、當(dāng)n=1時, ,不等式成立. 假設(shè)n=k(k1)時,不等式成立, 即 成立, 則當(dāng)n=k+1時,即當(dāng)n=k+1時,不等式成立. 由,可知對任意nN+不等式都成立.,【延伸探究】本例中若將“an+2SnSn-1=0(n2)”改為 “an+1= (nN+)”,那么數(shù)列a2n的單調(diào)性怎樣? 證明你的結(jié)論.,【解析】由a1= ,an+1= ,得a2= ,a4= ,a6= . 由a2a4a6,猜想:數(shù)列a2n是遞減數(shù)列. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: (1)當(dāng)n=1時,已證命題成立. (2)假設(shè)n=k(k1)時命題成立,即a2ka2k+2,易知an0,那么: 即a2(k+1)a2(k+1)+2 也就是說,當(dāng)n

13、=k+1時,命題也成立. 綜上(1)(2)可知,命題成立.,【方法技巧】求解數(shù)學(xué)歸納法與數(shù)列的綜合問題的策略 (1)首先掌握好數(shù)學(xué)歸納法求解問題的步驟及等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識,這是解決這類問題的基礎(chǔ).,(2)這類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項公式有關(guān),有時要證明的式子是直接給出,有時是根據(jù)條件從前幾項入手,通過觀察、猜想,歸納出一個式子,然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明.,【變式訓(xùn)練】1.(2014贛榆縣校級期末)已知f(n)= (nN+),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n) 時,f(2k+1)-f(2k)等于_.,【解析】因為假設(shè)n=k時,f(2k)= 當(dāng)n=k+1時,f(2k+1)= 所以f(2k+1)-f(2k)= 答案:,2.已知數(shù)列 ,Sn為該 數(shù)列的前n項和,計算得 觀察上述結(jié)果,推測出Sn(nN+),并用數(shù)學(xué)歸納法加 以證明.,【解析】推測Sn= (nN+). 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下: (1)當(dāng)n=1時,S1= ,等式成立; (2)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立,即Sk= , 那么當(dāng)n=k+1時,Sk+1=Sk+,也就是說,當(dāng)n=k+1時,等式也成立. 根據(jù)(1)和(2),可知一切nN+,等式均成立.,自我糾錯用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【典