1、2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,1,第二章 平面2.1 平面的投影,2.1.1 平面的投影圖 2.1.2 各類平面的投影特性,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,2,2.1.1 平面的投影圖 用幾何元素表示平面,(a)三點(diǎn)表示平面,(b)一點(diǎn)一直線,(c)兩相交直線,(d)兩平行直線,(e)平面圖形,不垂直與軸,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,3,1、已知空間一直線的投影，包含該直線作一個(gè)平面的投影。 2、已知空間一點(diǎn)和直線的一個(gè)投影，包含該點(diǎn)和直線作一個(gè)平面的投影。,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,4,平面的

2、跡線表示法（了解）,返回,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,5,2.1.2 各類平面的投影特性 按照空間平面相對(duì)于投影面的位置，可將平面分為：,一般位置平面,特殊位置平面,投影面傾斜面,投影面平行面,鉛垂面,正垂面,側(cè)垂面,水平面,正平面,側(cè)平面,投影面垂直面,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,6,一般位置平面,投影特性:(1)三個(gè)投影均為的類似形； (2) 投影圖不反映、 的真實(shí)角度；,動(dòng) 畫,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,7,投影面垂直面投影特點(diǎn)：投影在某一平面內(nèi)積聚為一直線，且該直線與投影軸的夾角反映了空間平面與投影面的夾角

3、，在另兩個(gè)平面的投影為類似形，,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,8,鉛垂面,投影特性 ：(1) 水平投影積聚為一條直線；,(2) 正面投影和側(cè)面投影為原形的類似形；,(3) 水平投影與OX、 OY 的夾角反映、 角的真實(shí)大??；,動(dòng) 畫,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,9,跡線表示鉛垂面（了解）,跡線表示鉛垂面,簡(jiǎn)化表示:僅畫出積聚的投影,國(guó)標(biāo)規(guī)定兩端用粗短劃線和細(xì)實(shí)線表示,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,10,正垂面,投影特性 ：(1) 正面投影積聚為一條線；,(2) 水平投影和側(cè)面投影為類似形；,(3) 正面投影與OX、OZ

4、的夾角反映、 角的真實(shí)大??；,動(dòng) 畫,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,11,側(cè)垂面,投影特性 ：(1) 側(cè)面投影積聚為一條線；,(2) 水平投影和正面投影為類似形；,(3) 側(cè)面投影與OY、 OZ 的夾角反映、角的真實(shí)大??；,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,12,投影面平行面投影特點(diǎn)：投影在兩個(gè)平面內(nèi)積聚為一直線，且該直線與投影軸平行，在另一個(gè)平面的投影反映實(shí)形，,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,13,水平面,投影特性：(1) 水平投影反映平面實(shí)形； (2) 正面投影、側(cè)面投影積聚為一條直線，且分別平行于相應(yīng)的OX、OY1 投影

5、軸；,動(dòng) 畫,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,14,正平面,投影特性：(1)正面投影反映實(shí)形； (2)水平投影 、側(cè)面投影積聚為一條直線，分別平行于相應(yīng)的OX、OZ 投影軸；,動(dòng) 畫,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,15,正平面的跡線表示,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,16,側(cè)平面,投影特性：(1) 側(cè)面投影反映平面實(shí)形； (2) 水平投影、正面投影積聚為一條直線，且分別平行于相應(yīng)的OY、OZ 投影軸；,動(dòng) 畫,返回,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,17,2.2 平面上的點(diǎn)和直線,2.2.1 平面上取直線

6、和點(diǎn) 2.2.2 平面上的特殊直線,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,18,2.2.1.1 平面上取直線,經(jīng)過屬于該平面的一已知點(diǎn)且平行于屬于該平面的一已知直線,經(jīng)過屬于該平面的已知兩點(diǎn),2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,19,2.2.1.2 平面上取點(diǎn) 如點(diǎn)在平面內(nèi)的任一直線上，則此點(diǎn)一定在該平面上,取屬于平面的點(diǎn)，要取自屬于該平面的已知直線,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,20,例1：已知ABC給定一平面,試判斷點(diǎn)S是否屬于該平面。,不屬于,點(diǎn) 屬于平面則必屬于平面 內(nèi)的一條直線,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程

7、制圖,21,例2：已知ABC上的點(diǎn)S的正面投影s；求其水平投影s。,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,22,例3：完成六邊形的水平投影。,返回,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,23,2.2.2.1 平面上的投影面平行線,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,24,例：已知ABC平面，試過點(diǎn)A作屬于該平面的水平線,過點(diǎn)C作屬于該平面的正平線。,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,25,2.2.2.2 平面上的最大斜度線,平面P上對(duì)投影面的最大斜度線與投影面傾角最大,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,2

8、6,平面上對(duì)H投影面的最大斜度線,平面對(duì)投影面的傾角等于平面對(duì)該投影面最大斜度線與投影面的傾角。,用平面對(duì)某投影面的最大斜度線與投影面的傾角度量平面對(duì)該投影面的傾角,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,27,例：求ABC平面上對(duì)H面最大斜度線以及ABC平面對(duì)H面的傾角。,Z,解題步驟：,1.作屬于平面的水平線CD,2.作平面對(duì)H 面的最大斜度線AE,3.采用直角方法 求作平面(即AE )的,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,28,平面上對(duì)V投影面的最大斜度線,P,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,29,例：求ABC平面上對(duì)V面最大斜度線

9、以及ABC平面對(duì)V面的傾角。,解題步驟：,1.作屬于平面的正平線BF,2.作平面對(duì)V 面的最大斜度線AG,3.采用直角方法 求作平面(即AE )的,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,30,平面上對(duì)W投影面的最大斜度線,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,31,例：求ABC平面上對(duì)W面最大斜度線以及ABC平面對(duì)W面的傾角。,解題步驟：,1.作屬于側(cè)平線AD,2.作平面對(duì)W 面的最大斜度線BF,3.采用直角方法 求作平面(即BF )的,返回,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,32,2.3 直線、平面與平面的相對(duì)位置,2.3.1 平行 2.3

10、.2 相交 2.3.3 垂直,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,33,2.3.1.1 直線與平面平行 若平面外一直線平行于平面上的一條直線，則直線與該平面平行。,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,34,例1 試判斷已知直線AB 是否平行于平面CDE,答案：不平行,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,35,例2 過已知點(diǎn)K 作一水平線平行于已知平面ABC,EF 即為所求,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,36,2.3.1.2 兩平面平行 若一平面上的兩相交兩直線對(duì)應(yīng)地平行于另一平面上的相交兩直線，則此兩平面平行。,20

11、20/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,37,例3 試判斷兩已知平面ABC 和DEF 是否平行,答案：平行,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,38,例4 已知由平行兩直線AB 和CD 給定的平面。試過定點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。,兩相交直線GH 、EF 即為所求,返回,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,39,2.3.2.1 重影法(直線與特殊位置平面相交及投影面垂線與一般位置平面相交),由于特殊位置平面的某些投影具有積聚性，交點(diǎn)的投影可直接得出。當(dāng)平面采用多邊形表示時(shí)，需要判別直線的可見性。,求交點(diǎn)的空間分析,2020/8/24,重慶交通大學(xué)

12、 畫法幾何與工程制圖,40,作圖步驟,幾何元素表示平面,跡線表示平面,（投影面垂直面與一般位置直線相交）,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,41,判別可見性,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,42,例6 特殊位置直線與一般位置平面相交，求交點(diǎn)K（投影面垂線與一般位置平面相交）,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,43,求作兩平面的交線MN。,（兩投影面垂直面相交，其交線一定是投影面垂直線）。,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,44,求作兩平面的交線MN。,（投影面垂直面與一般位置平面相交）,2020/8/24,重慶交

13、通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,45,2.3.2.2 輔助平面法 針對(duì)一般位置直線和一般位置平面與一般位置平面相交的情況，通常采用輔助平面法，其作步驟如下： 1、含直線作輔助平面（通常是投影面垂直面）； 2、求輔助平面與已知平面的交線； 3、求交線與已知直線的交點(diǎn)； 4、然后判斷可見性。,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,46,空間分析,以鉛垂面為輔助平面作圖,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,47,1.含直線DE 作輔助平面P,2.求輔助平面P 與平面ABC 的交線MN,3.求交線MN與已知直線DE 的交點(diǎn)K,作圖過程,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫

14、法幾何與工程制圖,48,空間分析,以正垂面為輔助平面作圖,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,49,1.含直線DE作輔助平面S,2.求輔助平面S與平面ABC 的交線MN,3.求交線MN與已知直線DE 的交點(diǎn)K,作圖過程,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,50,兩個(gè)一般位置平面相交，用直線與平面求交點(diǎn)的方法求兩平面的交線,空間分析,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,51,作圖步驟,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,52,判別可見性,返回,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,53,2.3.3.1直線與平

15、面垂直,直線與平面垂直，則該直線必垂直于平面上的任何直線。,LK平面P 則： LK水平線AB LK正平線CD,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,54,線面垂直定理:直線垂直于平面上任意兩相交直線，則直線垂直于該平面。,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,55,2.3.3.2 兩平面垂直 如直線垂直于一平面，則包含這直線的一切平面都垂直于該平面；反之，如兩平面互相垂直，則從第一平面上的任意一點(diǎn)向第二平面所作的垂線必定在第一平面內(nèi)并垂直于交線。,兩平面相垂直,兩平面不垂直,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,56,過定點(diǎn)S 作平面垂直于平面A

16、BC.,兩相交直線FS、SN 即為所求（解不唯一）,返回,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,57,a,b,c,a,b,c,d,e,f,f,e,d,例：平面ABC與平面DEF是什么位置關(guān)系,垂直,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,58,a,b,c,a,b,c,d,e,f,f,d,e,例：平面ABC與平面DEF是什么位置關(guān)系,斜交,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,59,垂直,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,60,如何對(duì)兩個(gè)一般位置平面的位置進(jìn)行判斷,如果點(diǎn)在平面上，那么點(diǎn)一定在面內(nèi)的一條直線上 線垂直于面則必垂直面

17、內(nèi)的兩條相交直線， 線平行于面這線平行于面內(nèi)的一條直線。,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,61,a,b,c,a,b,c,k,k,m,n,n,m,2-6(1),2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,62,2-7(1),a,b,c,a,b,c,d,e,f,g,d,e,f,g,m,n,m,n,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,63,點(diǎn)、線、面綜合題解法,解題步驟： 1、審題 分清已知條件和所求問題，所求問題是思考方向。應(yīng)注意已知問題中的關(guān)鍵詞，如平行、相交、垂直，實(shí)長(zhǎng)、傾角、等腰三角形、矩形等。 2、作空間分析 分析已知條件和所求問題之間的相

18、對(duì)位置關(guān)系。常用的方法有：可假設(shè)問題已求出，尋找在已知條件中可利用的條件；還可采用軌跡法，利用平行、垂直、相交等手段求解。 3、利用所學(xué)的知識(shí)（如求實(shí)長(zhǎng)、傾角、交點(diǎn)、交線、垂直、平面取點(diǎn)、平面取線等）作投影圖。 4、檢查結(jié)果是否合理，討論結(jié)果是否唯一。,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,64,2-2（2）,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,65,a,b,c,a,b,c,k,k,2-2（2）,20,24,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,66,a,b,a,b,m,m,分析：到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是中垂面。,28（3）,2020/

19、8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,67,2-10（2） 分析：（1）與C、D等距的點(diǎn)的軌跡是沿C、D連線的中垂面上； （2）這個(gè)點(diǎn)又在AB上，因此，這個(gè)點(diǎn)是AB與中垂面的交點(diǎn)。,c,a,b,d,d,c,a,b,m,m,k,k,PV,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,68,2-10（1）,分析：（1）過一點(diǎn)作平面的平行線有無數(shù)條，其軌跡是與已知平面平行的平面； （2）作直線EF與軌跡所組成的平面的交點(diǎn)L； （3）KL即為所求。,a,b,c,a,b,c,k,k,l,l,f,e,e,f,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,69,例：已知平面EFG 與平

20、面ABC 垂直，畫全EFG 的水平投影。,分析：（1）ABC是鉛垂面，與ABC垂直的線一定是水平線，且在水平投影反映直角；（2）EFG與ABC垂直，在EFG中取水平線作ABC垂線，該線一定在EFG中；（3）用面上取點(diǎn)的方法就可作出EFG的水平投影。,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,70,作業(yè)： 23（1）,a,b,c,d,e,e,b,c,d,a,k,k,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,71,a,b,c,a,b,c,m,m,300,1,解不唯一,23（4）,2020/8/24,重慶交通大學(xué) 畫法幾何與工程制圖,72,分析：ABC是鉛垂面，與ABC平行的一定是鉛垂面，所以DEF是鉛垂面，并且具有積聚性的投影平行。與鉛垂面垂直的是水