1、2.2.1 對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算（三課時）教學(xué)目標(biāo)：1理解并記憶對數(shù)的定義，對數(shù)與指數(shù)的互化，對數(shù)恒等式及對數(shù)的性質(zhì)2理解并掌握對數(shù)運(yùn)算法則的內(nèi)容及推導(dǎo)過程3熟練運(yùn)用對數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)運(yùn)算法則解題4對數(shù)的初步應(yīng)用.教學(xué)重點(diǎn)：對數(shù)定義、對數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則教學(xué)難點(diǎn)：對數(shù)定義中涉及較多的難以記憶的名稱，以及運(yùn)算法則的推導(dǎo)教學(xué)方法：學(xué)導(dǎo)式教學(xué)過程設(shè)計第一課時師：（板書）已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為7.2，求20年后國民生產(chǎn)總值是原來的多少倍？生：設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為1，則20年后國民生產(chǎn)總值y=（1+7.2）20=1.07220，所以20年后國民生產(chǎn)總值是原來的1.07220倍師：這是個實(shí)際應(yīng)用問題，我

2、們把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中知道底數(shù)和指數(shù)，求冪值的問題也就是上面學(xué)習(xí)的指數(shù)問題師：（板書）已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為7.2，問經(jīng)過多年年后國民生產(chǎn)總值是原來的4倍？師：（分析）仿照上例，設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為1，需經(jīng)x年后國民生產(chǎn)總值是原來的4倍列方程得:1.072x=4我們把這個應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為知道底數(shù)和冪值，求指數(shù)的問題，這是上述問題的逆問題，即本節(jié)的對數(shù)問題師：（板書）一般地，如果a（a0，a1）的x次冪等于N，就是，那么數(shù)x就叫做以a為底N的對數(shù)(logarithm)，記作x=logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，式子logaN叫做對數(shù)式對數(shù)這個定義的認(rèn)識及相關(guān)例子:(1)對數(shù)式lo

3、gaN實(shí)際上就是指數(shù)式中的指數(shù)x的一種新的記法(2)對數(shù)是一種新的運(yùn)算是知道底和冪值求指數(shù)的運(yùn)算實(shí)際上這個式子涉及到了三個量a，x，N，由方程的觀點(diǎn)可得“知二求一”知道a，x可求N，即前面學(xué)過的指數(shù)運(yùn)算；知道x（為自然數(shù)時）、N可求a，即初中學(xué)過的開根號運(yùn)算，記作；知道a,N可以求x，即今天要學(xué)習(xí)的對數(shù)運(yùn)算，記作logaN= x因此，對數(shù)是一種新的運(yùn)算，一種知道底和冪值求指數(shù)的運(yùn)算而每學(xué)一種新的運(yùn)算，首先要學(xué)習(xí)它的記法，對數(shù)運(yùn)算的記法為logaN，讀作：以a為底N的對數(shù)請同學(xué)注意這種運(yùn)算的寫法和讀法師：下面我來介紹兩個在對數(shù)發(fā)展過程中有著重要意義的對數(shù)師：（板書）對數(shù)logaN（a0且a1）在

4、底數(shù)a=10時，叫做常用對數(shù)(common logarithm)，簡記lgN；底數(shù)a=e時，叫做自然對數(shù)(natural logarithm)，記作lnN，其中e是個無理數(shù)，即e2.718 28師：實(shí)際上指數(shù)與對數(shù)只是數(shù)量間的同一關(guān)系的兩種不同形式為了更深入認(rèn)識并記憶對數(shù)這個概念，請同學(xué)們填寫下列表格 式子名稱 axN 指數(shù)式對數(shù)式ax=NlogaN=x練習(xí)1 把下列指數(shù)式寫成對數(shù)形式：練習(xí)2 把下列對數(shù)形式寫成指數(shù)形式：練習(xí)3 求下列各式的值：（兩名學(xué)生板演練習(xí)1，2題（過程略），一生板演練習(xí)三）因?yàn)?2=4，所以以2為底4的對數(shù)等于2因?yàn)?3=125，所以以5為底125的對數(shù)等于3（注意糾

5、正學(xué)生的錯誤讀法和寫法）例題（教材第73頁例題2）師：由定義，我們還應(yīng)注意到對數(shù)式logaN=b中字母的取值范圍是什么？生：a0且a1；xR；NR師：NR？（這是學(xué)生最易出錯的地方，應(yīng)一開始讓學(xué)生牢牢記住真數(shù)大于零）生：由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，因而ax=N中N總是正數(shù)師：要特別強(qiáng)調(diào)的是：零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù)師：定義中為什么規(guī)定a0，a1？（根據(jù)本班情況決定是否設(shè)置此問）生：因?yàn)槿鬭0，則N取某些值時，x可能不存在，如x=log（-2）8不存在；若a=0，則當(dāng)N不為0時，x不存在，如log02不存在；當(dāng)N為0時，x可以為任何正數(shù)，是不唯一的，即log00有無數(shù)個值；若a=1，N不為

6、1時，x不存在，如log13不存在，N為1時，x可以為任何數(shù)，是不唯一的，即log11有無數(shù)多個值因此，我們規(guī)定：a0，a1（此回答能培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想這個問題從ax=N出發(fā)回答較為簡單）練習(xí)4 計算下列對數(shù)：lg10000，lg0.01，師：請同學(xué)說出結(jié)果，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想生：=4這是因?yàn)閘og24=2，而22=4生：=27這是因?yàn)閘og327=3，而33=27生：=105生：我猜想，所以=1125師：非常好這就是我們下面要學(xué)習(xí)的對數(shù)恒等式師：（板書）（a0，a1，N0）（用紅筆在字母取值范圍下畫上曲線）（再次鼓勵學(xué)生，并提出更高要求，給出嚴(yán)格證明）（學(xué)生討論，并口答）生：（板書

7、）證明：設(shè)指數(shù)等式ab=N，則相應(yīng)的對數(shù)等式為logaN=b，所以ab=師：你是根據(jù)什么證明對數(shù)恒等式的？生：根據(jù)對數(shù)定義師：（分析小結(jié)）證明的關(guān)鍵是設(shè)指數(shù)等式ab=N因?yàn)橐C明這個對數(shù)恒等式，而現(xiàn)在我們有關(guān)對數(shù)的知識只有定義，所以顯然要利用定義加以證明而對數(shù)定義是建立在指數(shù)基礎(chǔ)之上的，所以必須先設(shè)出指數(shù)等式，從而轉(zhuǎn)化成對數(shù)等式，再進(jìn)行證明師：掌握了對數(shù)恒等式的推導(dǎo)之后，我們要特別注意此等式的適用條件生：a0，a1，N0師：接下來觀察式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以記憶（給學(xué)生一分鐘時間）師：（板書）2log28=？2log42=？生：2log28=8；2log42=2師：第2題對嗎？錯在哪兒？師：（繼續(xù)追

8、問）在運(yùn)用對數(shù)恒等式時應(yīng)注意什么？（經(jīng)歷上面的錯誤，使學(xué)生更牢固地記住對數(shù)恒等式）生：當(dāng)冪的底數(shù)和對數(shù)的底數(shù)相同時，才可以用公式（師用紅筆在兩處a上重重地描寫）師：最后說說對數(shù)恒等式的作用是什么？生：化簡！師：請打開書74頁，做練習(xí)4（生口答略）師：對對數(shù)的定義我們已經(jīng)有了一定認(rèn)識，現(xiàn)在，我們根據(jù)定義來進(jìn)一步研究對數(shù)的性質(zhì)師：負(fù)數(shù)和零有沒有對數(shù)？并說明理由生：負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)因?yàn)槎x中規(guī)定a0，所以不論x是什么數(shù)，都有ax0，這就是說，不論x是什么數(shù)，N=ax永遠(yuǎn)是正數(shù)因此，由等式x=logaN可以看到，負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)師：非常好由于對數(shù)定義是建立在指數(shù)定義的基礎(chǔ)之上，所以我們要充分利用指數(shù)的

9、知識來研究對數(shù)師：（板書）性質(zhì)1：負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)師：1的對數(shù)是多少？生：因?yàn)閍0=1（a0，a1），所以根據(jù)對數(shù)定義可得1的對數(shù)是零師：（板書）1的對數(shù)是零師；底數(shù)的對數(shù)等于多少？生：因?yàn)閍1=a，所以根據(jù)對數(shù)的定義可得底數(shù)的對數(shù)等于1師：（板書）底數(shù)的對數(shù)等于1師：給一分鐘時間，請牢記這三條性質(zhì)練習(xí)：課本第74頁練習(xí)1、2、3、4題。作業(yè)：課本第86頁習(xí)題2.2A組題第1、2題。第二課時師：在初中，我們學(xué)習(xí)了指數(shù)的運(yùn)算法則，請大家回憶一下生： (m,nZ)； (m,nZ)； (nZ)，師：下面我們利用指數(shù)的運(yùn)算法則，證明對數(shù)的運(yùn)算法則（板書）（1）正因數(shù)積的對數(shù)等于同一底數(shù)各個因數(shù)的對數(shù)的

10、和，即loga（MN）=logaM+logaN（請兩個同學(xué)讀法則（1），并給時間讓學(xué)生討論證明）師：我們要證明這個運(yùn)算法則，用眼睛一瞪無從下手，這時我們該想到，關(guān)于對數(shù)我們只學(xué)了定義和性質(zhì)，顯然性質(zhì)不能證明此式，所以只有用定義證明而對數(shù)是由指數(shù)加以定義的，顯然要利用指數(shù)的運(yùn)算法則加以證明，因此，我們首先要把對數(shù)等式轉(zhuǎn)化為指數(shù)等式師：（板書）設(shè)logaM=p，logaN=q，由對數(shù)的定義可以寫成M=ap，N=aq所以MN=apaq=ap+q，所以loga（MN）=p+q=logaM+logaN即loga（MN）=logaM+logaN師：這個法則的適用條件是什么？生：每個對數(shù)都有意義，即M0，N

11、0；a0且a1師：觀察法則（1）的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以記憶生：等號左端是乘積的對數(shù)，右端是對數(shù)的和，從左往右看是一個降級運(yùn)算師：非常好例如，（板書）log2（3264）=？生：log2（3264）=log232+log264=5+6=11師：通過此例，同學(xué)應(yīng)體會到此法則的重要作用降級運(yùn)算它使計算簡化師：（板書）log62+log63=？生：log62+log63=log6（23）=1師：正確由此例我們又得到什么啟示？生：這是法則從右往左的使用是升級運(yùn)算師：對對于運(yùn)算法則（公式），我們不僅要會從左往右使用，還要會從右往左使用真正領(lǐng)會法則的作用！師：（板書）（2）兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于被除數(shù)的對數(shù)減去除

12、數(shù)的對數(shù)師：仿照研究法則（1）的四個步驟，自己學(xué)習(xí)（給學(xué)生三分鐘討論時間）生：（板書）設(shè)logaM=p，logaN=q根據(jù)對數(shù)的定義可以寫成M=ap，N=aq所以師：非常好他是利用指數(shù)的運(yùn)算法則和對數(shù)的定義加以證明的大家再想一想，在證明法則（2）時，我們不僅有對數(shù)的定義和性質(zhì)，還有法則（1）這個結(jié)論那么，我們是否還有其它證明方法？生：（板書）師：非常漂亮他是運(yùn)用轉(zhuǎn)化歸結(jié)的思想，借助于剛剛證明的法則（1）去證明法則（2）他的證法要比書上的更簡單這說明，轉(zhuǎn)化歸結(jié)的思想，在化難為易、化復(fù)雜為簡單上的重要作用事實(shí)上，這種思想不但在學(xué)習(xí)新概念、新公式時常常用到，而且在解題中的應(yīng)用更加廣泛師：法則（2）的

13、適用條件是什么？生：M0，N0；a0且a1師：觀察法則（2）的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以記憶生：等號左端是商的對數(shù)，右端是對數(shù)的差，從左往右是一個降級運(yùn)算，從右往左是一個升級運(yùn)算師：（板書）lg20-lg2=？師：可見法則（2）的作用仍然是加快計算速度，也簡化了計算的方法師：（板書）例1 計算：（學(xué)生上黑板解，由學(xué)生判對錯，并說明理由）：（1）log93+log927=log9327=log981=2；（3）log2（4+4）=log24+log24=4；生：第（2）題錯！在同底的情況下才能運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算法則（板書）生：第（3）題錯！法則（1）的內(nèi)容是：生：第（4）題錯！法則（2）的內(nèi)容是：師：通過前面同學(xué)

14、出現(xiàn)的錯誤，我們在運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算法則時要特別注意什么？生：首先，在同底的情況下才能從右往左運(yùn)用法則（1）、（2）；其次，只有在正因數(shù)的積或兩個正數(shù)的商的對數(shù)的情況下，才能從左往右運(yùn)用運(yùn)算法則（1）、（2）師：（板書）（3）正數(shù)的冪的對數(shù)等于冪的底數(shù)的對數(shù)乘以冪指數(shù)即loga（N）n=nlogaN師：請同學(xué)們自己證明（給幾分鐘時間） 師：法則（3）的適用條件是什么？生：a0，a1；N0師：觀察式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以記憶生：從左往右仍然是降級運(yùn)算師：例如，（板書）log332=log525=5log52練習(xí)計算（log232）3（找一好一差兩名學(xué)生板書）錯解：（log232）3=log2（25）3=lo

15、g2215=15正確解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125（師再次提醒學(xué)生注意要準(zhǔn)確記憶公式）師：（板書）（4）正數(shù)的正的方根的對數(shù)等于被開方數(shù)的對數(shù)除以根指數(shù)即師：法則（4）的適用條件是什么？生：a0，a1；N0師：法則（3）和法則（4）可以合在一起加以記憶即logaN=logaN（R）（師板書）例2 用logax，logay，logaz表示下列各式：解：（注意（3）的第二步不要丟掉小括號）例3 計算：解：（生板書）（1）log2（4725）=log247+log225=7log24+5log22=72+51=19師：請大家在筆記本上小結(jié)這節(jié)課的主要內(nèi)容小結(jié)：通過本節(jié)課，應(yīng)使學(xué)生明確如何學(xué)習(xí)一種運(yùn)算（從定義、記法、性質(zhì)、法則等方面來研究）；如何學(xué)習(xí)公式或法則（從公式推導(dǎo)，適用條件，結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和記