1、3.4 函數(shù)的應(yīng)用（）課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、給出函數(shù)模型的問題【例1】某民營(yíng)企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比,其關(guān)系如圖(1),B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖(2).(注:利潤(rùn)與投資單位:萬元)(1)分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式,并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式.(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金,并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn),其最大利潤(rùn)約為多少萬元(精確到1萬元)?解析：(1)設(shè)投資為x萬元,A產(chǎn)品的利潤(rùn)為f(x)萬元,B產(chǎn)品的利潤(rùn)為g(x)萬元,由題設(shè)f(x)=k1x,g(x)

2、=k2,由圖知f(1)=,k1=.又g(4)=,k2=.從而f(x)=x(x0),g(x)=(x0).(2)設(shè)A產(chǎn)品投入x萬元,則B產(chǎn)品投入10-x萬元.設(shè)企業(yè)利潤(rùn)為y萬元.y=f(x)+g(10-x)=+,0x10.令=t,則y=+t=(t)2+(0t).當(dāng)t=時(shí),ymax=4,此時(shí)x=10=3.75.答:當(dāng)A產(chǎn)品投入3.75萬元,B產(chǎn)品投入6.25萬元時(shí),企業(yè)獲得最大利潤(rùn)約4萬元.溫馨提示 本問題一般有三類:(1)直接給出函數(shù)解析式;(2)給出函數(shù)圖象,根據(jù)圖象上的關(guān)鍵點(diǎn)求出解析式;(3)給出函數(shù)類型,自己設(shè)出解析式,利用待定系數(shù)法求出解析式.二、構(gòu)造函數(shù)模型【例2】按復(fù)利計(jì)算利率的一種儲(chǔ)

3、蓄,本金為a元,每期利率為r,設(shè)本利和為y,存期為x,寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)式.如果存入本金1000元,每期利率為2.25%,試計(jì)算5期后的本利和是多少?思路分析：復(fù)利是一種計(jì)算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起作本金,再計(jì)算下一期的利息.解：已知本金為a元,1期后的本利和為y1=a+ar=(1+r)a;2期后的本利和為y2=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2;3期后的本利和為y3=a(1+r)3;x期后的本利和為y=a(1+r)x,將a=1000,r=2.25%,x=5代入上式得y=1000(1+2.25%)5=10001.02255.由計(jì)算器算得y=1117.68

4、(元).答:函數(shù)式為y=a(1+r)x,5期后的本利和為1117.68元.溫馨提示 在實(shí)際問題中,常常遇到有關(guān)平均增長(zhǎng)率的問題,如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)為N,平均增長(zhǎng)率為p,則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值或總產(chǎn)量y,可以用公式y(tǒng)=N(1+p)x表示.解決平均增長(zhǎng)率的問題,要用到這個(gè)函數(shù)式.三、函數(shù)模型的綜合應(yīng)用【例3】如下圖，河流航線AC段長(zhǎng)40千米，工廠B位于碼頭C正北30千米處，原來工廠B所需原料由碼頭A裝船沿水路到碼頭C后，再改陸運(yùn)到工廠B,由于水運(yùn)太長(zhǎng),運(yùn)費(fèi)頗高,工廠B與航運(yùn)局協(xié)商在AC段上另建一碼頭D,并由碼頭D到工廠B修一條新公路,原料改為按由A到D再到B的路線運(yùn)輸,設(shè)|AD|=x千米(0x40)

5、,每10噸貨物總運(yùn)費(fèi)為y元,已知每10噸貨物每千米運(yùn)費(fèi)水路為1元,公路為2元.(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)要使運(yùn)費(fèi)最省,碼頭D應(yīng)建在何處?思路分析：依題意,每10噸貨物總運(yùn)費(fèi)y為從A到D的水路運(yùn)費(fèi)與從D到B的陸路運(yùn)費(fèi)之和,因|AD|=x千米,水路運(yùn)費(fèi)為(x1)元,陸路長(zhǎng)度由勾股定理求得,陸路運(yùn)費(fèi)為(2)元,不難建立y與x的函數(shù)關(guān)系式.解：(1)由題意|BD|=,易得每10噸貨物總運(yùn)費(fèi)y=x+2,0x40.(2)由(1)得y-x=2.兩邊平方,得(y-x)2=4(2500-80x+x2).整理得3x2-2(160-y)x+10000-y2=0.=4(160-y)2-43(10000-y

6、2)0.解得y40+30或y40-30(舍去).此時(shí),將y=40+30代入方程,得x=40-100,40.當(dāng)x=40-10時(shí),y取最小值,即當(dāng)碼頭建在AC段上與A相距(40-10)千米時(shí),可使運(yùn)費(fèi)最少.溫馨提示(1)對(duì)于應(yīng)用問題中所提出的問題,要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)、理解,要注意觀察問題的結(jié)構(gòu)特征,揭示內(nèi)在聯(lián)系,挖掘隱含條件,根據(jù)實(shí)際問題準(zhǔn)確地得到函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而利用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和函數(shù)性質(zhì)實(shí)施解題.(2)對(duì)于本題要注意用變化的觀點(diǎn)分析和探求具體問題中的數(shù)量關(guān)系,尋找已知量與未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系,然后將這些內(nèi)在聯(lián)系與數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系建立函數(shù)關(guān)系式或列出方程,利用函數(shù)性質(zhì)或方程觀點(diǎn)來解,則可使應(yīng)用問題化生為熟,

7、盡快得到解決.各個(gè)擊破類題演練1某商品在近100天內(nèi),商品的單價(jià)f(t)(元)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系式如下:f(t)=銷售量g(t)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系式是g(t)=(0t100,tZ).求這種商品在這100天內(nèi)哪一天的銷售額最高.解析：依題意該商品在近100天內(nèi)日銷售額F(t)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系式為F(t)=f(t)g(t)=(1)若0t40,tZ,則F(t)=,當(dāng)t=12時(shí),F(t)max=(元).(2)若40t100,tZ,則F(t)=()()=(t-108)2,t=108100,F(t)在（40,100上遞減.當(dāng)t=41時(shí),F(t)max=745.5.745.5,第12天的

8、日銷售額最高.變式提升1某服裝市場(chǎng)今年一月、二月、三月分別銷售1萬件、1.2萬件、1.3萬件服裝,為了預(yù)測(cè)以后各月的銷售趨勢(shì),以這三個(gè)月的銷售量為依據(jù),用一個(gè)函數(shù)模擬銷售量y與月份x之間的關(guān)系,模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或y=abx+c(a,b,c為常數(shù)),已知四月份的實(shí)際銷售量為1.37萬件,試問用以上哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好,求出此函數(shù).解析：由條件知f(1)=1,f(2)=1.2,f(3)=1.3.若用二次函數(shù),可設(shè)f(x)=ax2+bx+c,則解得a=f(x)=x2+x+.當(dāng)x=4時(shí),f(4)=13.若用f(x)=abx+c,則解得f(x)= ()x+.此時(shí)當(dāng)x=4時(shí),f(4)=13.5

9、.又知四月份的實(shí)際銷售量為1.37,由此可知選用f(x)=()x+,用y=abx+c作模擬函數(shù)較好.類題演練2某城市現(xiàn)有人口總數(shù)為100萬人,如果年自然增長(zhǎng)率為1.2%,試解答下面的問題:(1)寫出該城市人口總數(shù)x(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式;(2)計(jì)算10年后該城市人口總數(shù);(精確到0.1萬人)(3)計(jì)算大約多少年以后該城市人口將達(dá)到120萬人.(精確到1年)解析：(1)1年后該城市人口總數(shù)為y=100+1001.2%=100(1+1.2%);2年后該城市人口總數(shù)為y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2;3年后該城市人口總數(shù)為y=100(1

10、+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3;x年后該城市人口總數(shù)為y=100(1+1.2%)x.(2)10年后人口數(shù)為100(1+1.2%)10112.7(萬人).(3)設(shè)x年后該城市人口將達(dá)到120萬人,即100(1+1.2%)x=120,x=log1.012=log1.0121.2015(年).類題演練3某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品每年需投入固定成本0.5萬元,此外每年生產(chǎn)100件產(chǎn)品還需要增加投資0.25萬元.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查知這種產(chǎn)品的年需求量為500件,售出的這種產(chǎn)品數(shù)量為t(百件)時(shí),銷售所得收入約為5t(萬元)(t5).(1)若該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x(百件),設(shè)該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的利潤(rùn)為當(dāng)年產(chǎn)量x的函數(shù)f(x),求f(x);(2)當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多大時(shí),當(dāng)年所得的利潤(rùn)最大?解析：產(chǎn)品生產(chǎn)件數(shù)與售出件數(shù)之間的關(guān)系,有兩種情況,若生產(chǎn)量不超500件,則能全賣出,若生產(chǎn)超過500件,則只能售出500件,所以要應(yīng)用分段函