1、基于MATLAB的線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)1. 引 言最優(yōu)控制問題就是尋找一個(gè)控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制方案或最優(yōu)控制規(guī)律，使系統(tǒng)能最優(yōu)地達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。以狀態(tài)空間理論為基礎(chǔ)的最優(yōu)控制算法是當(dāng)前振動(dòng)控制中采用最為普遍的控制器設(shè)計(jì)方法。本文所討論的系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的，所以可以用線性二次型最優(yōu)控制。本實(shí)驗(yàn)介紹了線性二次型最優(yōu)控制的基本原理，并給定了一個(gè)具體的控制系統(tǒng)，利用MATLAB軟件對(duì)其最優(yōu)控制矩陣進(jìn)行了求解，通過仿真實(shí)驗(yàn)，設(shè)計(jì)所得到的線性二次型最優(yōu)控制效果比較好，達(dá)到了設(shè)計(jì)的目的。2. 最優(yōu)控制理論介紹假設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型為x(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)

2、引入一個(gè)最優(yōu)控制的性能指標(biāo)，即設(shè)計(jì)一個(gè)輸入量u,使得 J = 為最小。其中Q和R分別為對(duì)狀態(tài)變量和輸入變量的加權(quán)矩陣; tf為控制作用的終止時(shí)間。矩陣S對(duì)控制系統(tǒng)的終值也給出某種約束，這樣的控制問題稱為線性二次型（Linear Quadratic，簡(jiǎn)稱LQ）最優(yōu)控制問題。為了求解LQ問題，我們?nèi)amilton函數(shù)其中一種較為簡(jiǎn)便的解法為： 令(t)=P(t)x(t)而將對(duì)(t)的求解轉(zhuǎn)化到對(duì)函數(shù)矩陣P(t)的求解，特別的，將(t)=P(t)x(t)代入上述式子中可得函數(shù)矩陣P(t)因滿足的微分方程是 (1)對(duì)它的求解可應(yīng)用成熟的Euler方法。假定方程(1)的唯一對(duì)稱半正定解P(t),則LQ

3、問題的解u(t)由下式給出：3. 問題的闡述與解決3.1.問題的闡述：極小1，并仿真，輸出x1、x2、J的波形。 3.2.問題的求解：根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，可以看出A=0 1;0 0, B=0;1, Q=1 0;0 1, R=1?？刂葡到y(tǒng)工具箱供了lqr( )函數(shù)4，用來依照給定的加權(quán)矩陣設(shè)計(jì)LQ最優(yōu)控制器,該函數(shù)的調(diào)用格式為 : K,P=lqr(A,B,Q,R)式中：（A,B）為給定的的對(duì)象狀態(tài)方程模型；（Q,R）分別為加權(quán)矩陣Q和R;返回的向量K為狀態(tài)反饋向量,也就是控制器,P為Riccati代數(shù)方程的解。在本題中，可用下面的MATLAB代碼求解K和P:clearA=0 1;0 0;B=

4、0;1;Q=1 0;0 1;R=1;K,P = lqr(A,B,Q,R)解得： K = 1.0000 1.7321因此，最優(yōu)控制信號(hào)為(t) = -Kx(t) = - x1(t) - 1.7321x2(t)3.3.利用仿真給定的控制系統(tǒng):將給定的控制系統(tǒng)進(jìn)行變形，如下： x1(t)=x2(t) x2(t)=u(t) u(t)= - x1(t) - 1.7321x2(t)根據(jù)以上方程組，利用SIMULINK對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真2，其中u(t)用x1(t),x2(t)負(fù)反饋3表示，.最終可做出仿真系統(tǒng)，如圖1所示。根據(jù)狀態(tài)空間方程，利用SIMULINK可畫出如圖1所示的仿真圖。圖1仿真圖當(dāng)K =1.0000 1.7321，即取最優(yōu)控制時(shí)，運(yùn)行該仿真，求得J=7.61 ，并得出了x1(t)、x2(t)、J的波形，如圖2，圖3，圖4所示。 圖2 x1(t)的波形 圖3 x2(t)的波形 圖4 J的波形由圖2,圖3可知，系統(tǒng)的狀態(tài)向量5x1(t) ,x2(t)T 最終趨于0，而二次性能指標(biāo)J同時(shí)趨于穩(wěn)定值7.61。至此，線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)已經(jīng)仿真完成。4. 結(jié)論本文介紹了線性二次型最優(yōu)控制的基本原理，并給定了一個(gè)具體的控制系統(tǒng)，利用MATLAB軟件對(duì)其最優(yōu)控