1、第 十八章 平行四邊形,數(shù)學8年級下冊 R,18.1 平行四邊形,18.1.2 平行四邊形的判定,第3課時,為了測量一個池塘的寬BC,在池塘一側(cè)的平地上選一點A,再分別找出線段AB,AC的中點D,E,若測出DE的長,就能求出池塘的寬BC,你知道為什么嗎?今天這堂課我們就來探究其中的學問.,課前導(dǎo)入,如圖,D,E分別是AB,AC的中點,連接DE,像DE這樣,連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.,D,E分別為AB,AC的中點, DE為ABC的中位線.,三角形有幾條中位線?你能畫出來嗎?,三角形中有三條中位線,DE為ABC的中位線, D,E分別為AB,AC的中點.,學習新知,說出三角形的中位

2、線與中線有何相同點和不同點.,相同之處:都是和邊的中點有關(guān)的線段.,不同之處:三角形中位線的兩個端點都是邊的中 點;三角形中線只有一個端點是邊的中 點,另一端點是三角形的頂點.,想一想,探索:如圖,三角形的中位線DE與BC有什么樣的關(guān)系?為什么?,猜想：DEBC 2DE=BC,你能證明以上猜想嗎？,已知:如圖,點D,E分別為ABC邊AB,AC的中點.求證:DEBC且DE= BC.,解析所證明的結(jié)論既有位置關(guān)系,又有數(shù)量關(guān)系,聯(lián)想已學過的知識,可以把要證明的內(nèi)容轉(zhuǎn)化到一個平行四邊形中,利用平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)來證明結(jié)論成立,從而使問題得到解決,這就需要添加適當?shù)妮o助線來構(gòu)造平行四邊形

3、.,證明：如圖,延長DE到F,使EF=DE,連接CF, 由題意易得ADECFE, 從而可得ADFC,且AD=FC, 因此有BDFC,BD=FC, 所以四邊形BCFD是平行四邊形. 所以DFBC,DF=BC, 由作圖知2DE=DF， 所以DEBC且 DE=BC.,方法二：,如圖,延長DE到F,使EF=DE,連接CF,CD和AF,因為AE=EC,所以四邊形ADCF是平行四邊形.所以ADFC,且AD=FC.因為AD=BD,所以BDFC,且BD=FC.所以四邊形BCFD是平行四邊形.所以DFBC,且DF=BC,因為2DE=DF,所以DEBC且 DE= BC.,三角形中位線的性質(zhì):三角形的中位線平行于三

4、角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.,D,E分別是AB,AC的中點, DEBC,DE= BC.,課堂小結(jié),(1)三角形的中位線所構(gòu)成的三角形的周長是 原三角形周長的一半.,(2)三角形三條中位線可以把三角形分成三個 平行四邊形,分成的四個三角形全等.,(3)三角形三條中位線所構(gòu)成的三角形的面積 等于原三角形面積的四分之一.,知識拓展,例： (補充)如圖,ABC的中位線DE=5 cm,把ABC沿DE折疊,使點A落在邊BC上的點F處,若A,F兩點間的距離是8 cm,求ABC的面積.,解:連接AF,如圖所示.DE是ABC的中位線, BC=2DE=10 cm,DEBC. 由折疊可知AFDE,AFBC,

5、 AF是ABC的邊BC上的高. AF=8 cm, SABC= BCAF= 108=40(cm2).,歸納拓展本題還可以這樣解:ABC的面積是四邊形ADFE面積的2倍,而四邊形ADFE的對角線互相垂直,因此它的面積等于對角線乘積的一半,所以ABC的面積等于AFDE.,課堂小結(jié),三角形的中位線的定義:連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.,兩層含義:如圖,D,E分別為AB,AC的中點, DE為ABC的中位線;,DE為ABC的中位線, D,E分別為AB,AC的中點.,三角形中位線的性質(zhì): 三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.,特點:在一個題設(shè)下,有兩個結(jié)論.一個表示位置關(guān)

6、系,另一個表示數(shù)量關(guān)系.,結(jié)論:有兩個,一個表明中位線與第三邊的位置關(guān)系,另一個表明中位線與第三邊的數(shù)量關(guān)系.,三角形中位線的性質(zhì):三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半. D,E分別是AB,AC的中點, DEBC, DE= BC.,作用:在已知兩邊中點的條件下,證明線段的平行關(guān)系及線段的倍分關(guān)系.,1.如圖,A,B兩點被池塘隔開,在AB外選一點C,連接AC和BC,并分別找出AC和BC的中點M,N,如果測得MN=20 m,那么A,B兩點間的距離是m.理由是 三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半 .,解析:因為M,N分別是AC和BC的中點,所以2MN=AB,所以AB=

7、2MN=40 m.理由是:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.,40,檢測反饋,2.RtABC中,C=90,AB=10,AC=8,BC=6,點D,E,F分別是ABC三邊的中點,則DEF的周長是,面積是 .,解析:DEF的三條邊分別是RtABC的三條中位線,所以DEF的三條邊長分別RtABC的三邊長的一半,所以DEF的周長RtABC的周長的一半,ABC的周長是24,則DEF的周長是12.三角形的三條中位線在三角形中可以構(gòu)成三個平行四邊形和四個全等的三角形,所以DEF的面積是RtABC的面積的四分之一, ABC的面積= = 86=24,因此DEF的面積為6.,12,6,3.如圖,ABC中,D,E,F分別是AB,AC,BC的中點. (1)若EF=5 cm,則AB=cm;若BC=9 cm,則DE=cm.,解:D,E,F分別是AB,AC,BC的中點, DE= BC,EF= AB, AB=2EF =10 cm,DE= BC=4.5 cm.,10,4.5,(2)中線AF與中位線DE有什么特殊的關(guān)系? 證明你的猜想.,解：AF與DE互相平分.證明如下: 連接DF,如圖所示, D為AB的中點,AD=BD= AB, 由(1)知EF= AB,EFAB, AD=EF, 四邊形ADFE是平行四邊形. AF與DE互相平分.,4.如圖,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,