1、2.2.2 間接證明互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1.反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解(1)反證法的理論依據(jù)是邏輯規(guī)律中的排除律：一個(gè)事物或者是A或是，二者必居其一，反證法即證明結(jié)論的反面錯(cuò)誤.從而結(jié)論正確.(2)反證法可以證明的命題的范圍相當(dāng)廣泛.一般常見(jiàn)的如：惟一性問(wèn)題，無(wú)限性問(wèn)題，肯定性問(wèn)題，否定性問(wèn)題，存在性問(wèn)題，不等式問(wèn)題，等式問(wèn)題，函數(shù)問(wèn)題，整除問(wèn)題，幾何問(wèn)題等.(3)反證法中的“反設(shè)”，這是應(yīng)用反證法的第一步.也是關(guān)鍵一步.“反設(shè)”的結(jié)論將是下一步“歸謬”的一個(gè)已知條件.“反設(shè)”是否正確、全面，直接影響下一步的證明.做好“反設(shè)”應(yīng)明確正確分清題設(shè)和結(jié)論；對(duì)結(jié)論實(shí)施正確否定；對(duì)結(jié)論否定后，找出其所有情況

2、. 例如 A：大于，：不大于；不大于即小于或等于，對(duì)這兩種情況在下一步的“歸謬”中應(yīng)一一證明不成立.(4)反證法的“歸謬”.它是反證法的核心.其含義是：從命題結(jié)論的假設(shè)(即把“反設(shè)”作為一個(gè)新的已知條件)及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進(jìn)行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果.2.反證法證明問(wèn)題的基本思路 用反證法證明結(jié)論是B的命題,其思路是：假定B不成立,則B的反面成立,然后從B的反面成立的假定出發(fā),利用一些公理、定理、定義等作出一系列正確的推理,最后推出矛盾的結(jié)果,若同時(shí)承認(rèn)這個(gè)結(jié)果與題設(shè)條件,則與學(xué)過(guò)的公理、定理或定義矛盾,這矛盾只能來(lái)自“B的反面成立”這個(gè)假設(shè),因

3、此B必定成立.可見(jiàn)反證法的步驟是：否定結(jié)論推出矛盾否定假設(shè)肯定結(jié)論,其中推出矛盾是證明的關(guān)鍵.3.反證法所能證明的問(wèn)題類(lèi)型 數(shù)學(xué)中的一些基礎(chǔ)命題都是數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常運(yùn)用的明顯事實(shí),它們的判定方法極少,宜用反證法證明.正難則反這是應(yīng)用反證法的原則,即一個(gè)命題的結(jié)論如果難于直接證明時(shí),可考慮用反證法. 另外,宜用反證法證明的題型還有：(1)一些基本命題、基本定理;(2)易導(dǎo)出與已知矛盾的命題;(3)“否定性”命題;(4)“唯一性”命題;(5)“必然性”命題;(6)“至多”“至少”類(lèi)的命題;(7)涉及“無(wú)限”結(jié)論的命題等等.4.應(yīng)用反證法證明問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)要想得到原命題相反的判斷,必先弄清原

4、命題的含義,即原命題包含哪幾個(gè)結(jié)論(不能縮小也不能擴(kuò)大),然后避開(kāi)問(wèn)題給的條件考慮可能得到的各種結(jié)論,從這些結(jié)論中把原命題所含的結(jié)論剔除,就得到原命題的相反判斷,如“是”的反面是“不是”,“有”的反面是“沒(méi)有”,“等”的反面是“不等”,“成立”的反面是“不成立”,“有限”的反面是“無(wú)限”,以上這些都是相互否定的字眼,較為易找,應(yīng)注意以下的否定：“都是”的反面為“不都是”,即“至少有一個(gè)不是”(不是“都不是”);“都有”的反面為“不都有”,即“至少一個(gè)沒(méi)有”(不是“都沒(méi)有”);“都不是”的反面為“部分是或全部是”,即“至少有一個(gè)是”(不是“都是”);“都沒(méi)有”的反面為“部分有或全部有”,即“至少

5、一個(gè)有”(不是“都有”).(2)間接論證的應(yīng)用有一定困難,因?yàn)樵陂g接證明過(guò)程中,不得不暫時(shí)離開(kāi)所討論的論題,引進(jìn)許多補(bǔ)充的材料(如結(jié)論的反面等),致使全部考查過(guò)程復(fù)雜化.但這種方法我們務(wù)必學(xué)會(huì).因?yàn)樵趯?shí)際生活以及數(shù)學(xué)和其他科學(xué)中,時(shí)常會(huì)遇到這樣的命題,當(dāng)時(shí)并無(wú)直接證明它的論據(jù),必須用間接法來(lái)證明它的真實(shí)性.(3)用反證法證明命題“若p則q”,它的全部過(guò)程和邏輯根據(jù)可以表示如下：肯定條件p“既p又q”為假“若p則q”為真.(4)應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)問(wèn)題,一般有下面幾個(gè)步驟： 第一步：分清命題“pq”的條件和結(jié)論; 第二步：作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定q; 第三步：由p和q出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法,

6、推出矛盾結(jié)果; 第四步：斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因,在于開(kāi)始所作的假定q不真,于是原結(jié)論q成立,從而間接地證明了命題pq為真.(5)第三步所說(shuō)的矛盾結(jié)果,通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定理或已知條件矛盾,與臨時(shí)假定矛盾以及自相矛盾等各種情況.活學(xué)巧用例1 求證：質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多.證明：如果質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)有限,那么我們可以將全體質(zhì)數(shù)列舉如下：p1,p2, ,pk,命q=p1p2pk+1.q總是有質(zhì)因數(shù)的,但我們可證明任何一個(gè)pi(1ik)都除不盡q.假若不然,由pi除盡q,及pi除盡p1p2pk可得到pi除盡(q-p1p2pk),即pi除盡1,這是不可能的.故任何一個(gè)pi都除不盡q.這說(shuō)明q有

7、不同于p1、p2, ,pk的質(zhì)因數(shù).這與只有p1,p2, ,pk是全體質(zhì)數(shù)的假定相矛盾.所以質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多.點(diǎn)評(píng)：本題是利用反證法證明數(shù)學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)命題,本命題若用直接方法來(lái)證明非常困難,因此宜用反證法.例2 如圖，設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線,O是底面圓心,C是SB上一點(diǎn),求證：AC與平面SOB不垂直.證明：假設(shè)AC平鍿OB,直線SO在平面SOB內(nèi),SOAC.SO底面圓O,SOAB.SO平面SAB.平面SAB底面圓O. 這顯然出現(xiàn)矛盾,假設(shè)不成立, 即AC與平面SOB不垂直.點(diǎn)評(píng)：否定性地問(wèn)題常用反證法.例如證明異面直線,可以假設(shè)共面,再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾.例3 證明方程2x=

8、3有且只有一個(gè)根.證明：2x=3,x=log23.這說(shuō)明方程有一個(gè)根. 下面用反證法證明方程2x=3的根是唯一的. 假設(shè)方程2x=3有兩個(gè)根b1、b2(b1b2), 則=3,=3.兩式相除,得=1. 如果b1-b20,則1,這與=1相矛盾; 如果b1-b20,則1,這也與=1相矛盾. 因此b1-b2=0,則b1=b2.這就同b1b2相矛盾. 如果方程的根多于兩個(gè),同樣可推出矛盾. 故2x=3有且只有一個(gè)根.點(diǎn)評(píng)：“有且只有”表示“存在且唯一”.因此,在證明此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要分別從存在性和唯一性?xún)煞矫鎭?lái)考慮,而證明唯一性時(shí),通常使用反證法.例4 設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和.()求證

9、：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列；()數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？證明：()法1 (反證法) 若Sn是等比數(shù)列，則=S1S2，即(1+q)2=a1a1(1+q+q2)a10，(1+q)2=1+q+q2，即q=0與q0矛盾，故Sn不是等比數(shù)列.法2 只需證明SnSn+2Sn+1=a1+qSn，Sn+2=a1+qSn+1SnSn+2-=Sn(a1+qSn+1)-(a1+qSn)Sn+1=a1(Sn-Sn+1)=-a1an+1)0.()當(dāng)q=1時(shí)，Sn是等差數(shù)列.當(dāng)q1時(shí)，Sn不是等差數(shù)列，否則S1，S2，S3成等差數(shù)列.即2S2=S1+S32a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2).由于a10，2(1+q)=2+q+q2，q=q2，q1，q=0與q0矛盾.點(diǎn)評(píng):本題的解答依賴(lài)于等差和等比數(shù)列的概念和性質(zhì)，體現(xiàn)了特殊化思想