1、1.1.4 基本不等式（2）課堂導學三點剖析一、利用基本不等式求最值【例1】若關于x的不等式(1+k2)xk4+4的解集是M,則對任意實常數(shù)k,總有( )A.2M,0M B.2M,0MC.2M,0M D.2M,0M解析:M=x|x,=k2-1+=(k2+1)+-2-22,2M,0M.答案:A溫馨提示 本題主要考查一元不等式及基本不等式求最值.在本例中表達式經(jīng)過變形化為“x+(a0)”型的式子,然后利用基本不等式求得最小值.在求最值時,形如“x+(a0)”的最值問題是一種非常典型的用基本不等式來求的類型,有很多最值問題可轉化為該類型,因此,在解題時應給予高度重視.各個擊破類題演練1已知點M(-2

2、,0),N(2,0),動點P滿足條件|PM|-|PN|=,記動點P的軌跡為W.(1)求W的方程;(2)若A,B是W上的不同兩點,O是坐標原點,求的最小值.解析:(1)由|PM|-|PN|=知動點P的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支,實半軸長a=.又半焦距c=2,故b=.所以W的方程為=1(x).(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),則xi2-yi2=(xi+yi)(xi-yi)=2(i=1,2).令si=xi+yi,ti=xi-yi,則siti=2,且si0,ti0(i=1,2),所以=x1x2+y1y2=(s1+t1)(s2+t2)+(s1-t1)(s2-t2)=s1s2+t1t2=

3、2.當且僅當s1s2=t1t2,即時“=”成立,所以的最小值是2.變式提升1若對任意正數(shù)x,y,都有a,則實數(shù)a的最大值是( )A. B.2 C. D.解析:由=,故選A.答案:A二、利用基本不等式求條件等式的最值【例2】 已知x0,y0,且+=1,求x+y的最小值.解法一:x0,y0,+=1,x+y=(x+y)(+)=10+10+6=16,當且僅當.又+=1,x=4,y=12時，上式等號成立.故當x=4,y=12時，x+y取最小值16.解法二:+=1,x0,y0,y=且x1.故x+y=x+=x+9=(x-1)+106+10=16.當且僅當x-1=，x1,x=4時上式等號成立.解法三:+=1,

4、y+9x=xy,得(x-1)(y-9)=9.又由條件知x1,y9,x+y=(x-1)+(y-9)+10+10=16.當且僅當x-1=y-9=3,即x=4,y=12時，x+y取最小值16.溫馨提示 解法一、解法三的技巧性較強,解法二是把目標函數(shù)化為一元函數(shù),一元函數(shù)再變形,“求積造定和或求和造定積”,難度明顯降低,思路也自然些,這是解此類問題的通法.類題演練2若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=4-,則2a+b+c的最小值為( )A.-1 B.+1C.+2 D.-2解析:由a(a+b+c)+bc=4-a(a+b)+(a+b)c=(a+b)(a+c)=4-.而2a+b+c=(a+b)+(a+c

5、)=-2.當且僅當a+b=a+c,即b=c時等號成立.答案:D變式提升2已知x,yR+,且x+y=1,求+的最小值.解法一:0x1.記f(x)=+=+.令t=2-x,x(0,1),-x(-1,0),t(1,2).則f(x)=,t(1,2),t+.-(t+),03-(t+)3.f(x)=3+.f(x)max=3+.此時t=t=2-x=x=2-.解法二:由得0x0,k為比例系數(shù)，依題意，即所求的a,b的值，使y最小.依題設，有4b+2ab+2a=60(a0,b0),得b=(0a0,要求y的最小值,必須求解ab的最大值.依題設4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a0,b0).a+2b(

6、當且僅當a=2b時取“=”),ab+30,可解得0ab18.由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3,即a=6,b=3時,ab取最大值,從而y值最小.類題演練3甲,乙兩個同學同時到同一個商店分別買了兩次糖,甲同學每次買一元錢的,乙同學每次買一斤,如果兩次糖的價格不同,問甲,乙兩同學誰買的更便宜?解析:甲同學乙同學設糖的價格第一次1元1斤a元/斤第二次1元1斤b元/斤共花錢2元(a+b)元共買糖(+)斤2斤平均價格 甲的平均價格-乙的平均價格=-=0.(ab)答:甲同學買的糖比乙同學便宜.變式提升3某游泳館出售冬季學生游泳卡，每張240元.使用規(guī)定，不記名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名同學，老師打算組織同學們集體去游泳，除需購買若干張游泳卡外，每次游泳還要包一輛汽車，無論乘坐多少名學生，每次的包車費均為40元，若使每個同學游8次，每人最少得交多少錢?解析:設分n批去游泳，活動總開支為y元，則包車費為40n元，