1、比較幾種判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的方法【摘要】通過(guò)對(duì)：1：比較判別法；2：根植判別法3：達(dá)朗伯耳判別法的應(yīng)用范圍的比較，加以對(duì)其分析，找出若干類(lèi)型題加以分類(lèi)，確定哪類(lèi)適合這兩種判定法，歸納其特點(diǎn)，以便以后做題能夠快速入手，遇到題目以后具體運(yùn)用哪種方法更便捷提供了途徑.【關(guān)鍵詞】比較判別法 根植判別法 達(dá)朗貝爾 例題一：比較判別法.1:定義若從某一項(xiàng)起（0）,則由的收斂性可推出收斂，若從某一項(xiàng)起（0）,則由發(fā)散可推出發(fā)散.2：比較判別法的極限形勢(shì) 設(shè)=（）則：（i）：，.（ii）：收斂.（iii）：.3:例題(1):證明：若級(jí)數(shù)收斂，則把該級(jí)數(shù)的項(xiàng)通過(guò)組合而不改變其先后順序所得的級(jí)數(shù)其中 （，）也收斂

2、且具有相同的和，反之不真，舉出例子.證 設(shè)級(jí)數(shù)的部分和序列為，則級(jí)數(shù)由于收斂，故其余部分和序列趨于定值，因此，即級(jí)數(shù)是收斂的，且與級(jí)數(shù)有相同的和.反之不真。例如，級(jí)數(shù) 是發(fā)散的，但是按下述方法組成的級(jí)數(shù) 卻是收斂的.(2):判斷級(jí)數(shù)：.解 由于，且級(jí)數(shù)收斂，故級(jí)數(shù)也收斂.4：小結(jié)由上可知，比較判別法一般是由通過(guò)一個(gè)級(jí)數(shù)作為標(biāo)桿，根據(jù)這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂或者發(fā)散，判斷兩一個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性，一般這種方法通過(guò)極限形勢(shì)更容易判斷，而且這兩個(gè)級(jí)數(shù)一般都可以進(jìn)行相互聯(lián)系性的化簡(jiǎn)，要特別注意的是被判斷級(jí)數(shù)放在分子的位置，標(biāo)桿級(jí)數(shù)放在分母的位置.二：根植判別法1：定義 若從某一項(xiàng)起，發(fā)散.2：根植判別法極限形勢(shì)設(shè)：（

3、i）則.（ii）（iii）3：例題（1）研究下列級(jí)數(shù)的收斂性：解 由于 故級(jí)數(shù)收斂.（2）解 由于 故級(jí)數(shù)收斂（3）判斷的斂散性解 由于 其通項(xiàng)趨于，故它是發(fā)散的.因此，原級(jí)數(shù)也是發(fā)散的.（3）解 由于. 但是 4：小結(jié)這種、方法一般通過(guò)通項(xiàng)求出極限，根據(jù)極限的范圍判斷級(jí)數(shù)是否收斂，這種方法一般是看級(jí)數(shù)是否開(kāi)次方，是否容易求出極限，極限是否為有限數(shù).一般的級(jí)數(shù)都可以用此種方法判斷.三：達(dá)朗伯耳判別法1：定義若從某一項(xiàng)起2：達(dá)朗伯耳判別法的極限形勢(shì) 設(shè)則;3:例題(1)分析 .的斂散性解 由于 故級(jí)數(shù)收斂.（2）判斷的斂散性解 注意到 利用數(shù)學(xué)歸納法能，可以證得通項(xiàng)公式為由于級(jí)數(shù)收斂.（2）證明

4、：若.證 由于 .令，從而有 .其中.（3）證明：若則級(jí)數(shù)收斂.相反結(jié)論不真，研究例子 證 取，由于故存在 .從而， 由于級(jí)數(shù)收斂，故收斂.從而，級(jí)數(shù)收斂.反之不真，例如，級(jí)數(shù)顯然是收斂的.但是， . 通過(guò)上述證明 故有 . 即本題證畢.4：小結(jié) 具體一個(gè)級(jí)數(shù)，用后一項(xiàng)比上前一項(xiàng)通常可以進(jìn)行化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)之后求其極限，若是得出一個(gè)具體數(shù)或者近似具體數(shù)通?？梢灾苯优袛嗍欠袷諗苛耍@種方法非常便捷，但不適用于帶有非常難開(kāi)的根號(hào)形式的級(jí)數(shù).四：例題方法：求出通項(xiàng)減小的階，從而研究級(jí)數(shù)的收斂性.1：判斷的斂散性解 由于且 或 ，故 僅當(dāng).2：證明：設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的項(xiàng)單調(diào)減小，則級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散.證

5、 設(shè)，則因，故得 + （2）且有 =）. （3） 由（2）得知：若發(fā)散，則.由此本題獲證.五：總結(jié) 由以上通過(guò)對(duì)各個(gè)判別法的分類(lèi)討論及例題的解題過(guò)程，淺談了對(duì)于不同級(jí)數(shù)使用不同判別法的方法，針對(duì)有根號(hào)的判別法可以使用根植判別法；對(duì)于與典型級(jí)數(shù)有一定相似方面，可以使用其為斂散性的判別標(biāo)桿的使用比較判別法（要注意具體探討比較判別法時(shí)注意事項(xiàng)）；對(duì)于達(dá)朗伯耳判別法，一般都是級(jí)數(shù)的后一項(xiàng)和前一項(xiàng)的比值可以進(jìn)行相當(dāng)程度的化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)后的極限是有限數(shù)，根據(jù)極限判斷其級(jí)數(shù)的斂散性.還有很多級(jí)數(shù)用以上三種判別法不能夠簡(jiǎn)便的判斷，因?yàn)槲抑挥懻摿艘徊糠峙卸ǚ?，還有很多判別法對(duì)很多類(lèi)型級(jí)數(shù)十分適用.【參考文獻(xiàn)】1 費(fèi)定輝，周學(xué)圣. 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集精選精解【M】. 山東科學(xué)級(jí)數(shù)出版社. 2007年12月第一版. 238頁(yè)248頁(yè).2 宋國(guó)