1、隨機(jī)過程簡介,1、實際背景： 在許多實際問題中,不僅需要對隨機(jī)現(xiàn)象做特定時間點(diǎn)上的一次觀察,且需要做多次的連續(xù)不斷的觀察,以觀察研究對象隨時間推移的演變過程. Ex.1 對某城市的氣溫進(jìn)行n年的連續(xù)觀察,記錄得 ： 研究該城市氣溫有無以年為周期的變化規(guī)律?,1,Ex.2 從雜亂電訊號的一段觀察Y(t),0 t T 中,研究是否存在某種隨機(jī)信號S(t )?,隨機(jī)過程直觀解釋： 對隨機(jī)信號或者噪聲信號作一次觀測相當(dāng)于做一次隨機(jī)試驗，每次隨機(jī)試驗所得到的觀測記錄結(jié)果 是一個確定的函數(shù)，稱為樣本函數(shù)，所有的樣本函數(shù)的全體構(gòu)成了隨機(jī)過程。,2、隨機(jī)過程的定義,設(shè)隨機(jī)試驗E的樣本空間為S=e，對其每一個元

2、素 (i=1,2,)都以某種法則確定一個樣本函數(shù)x(t, ),由全部元素e所確定的一族樣本函數(shù)x(t，e)稱為隨機(jī)過程，記為x(t)。,設(shè)有一個過程x(t)，若對每一個固定的時刻 (j=1,2)，X( )是一個隨機(jī)變量，則x(t)稱為隨機(jī)過程。,2,隨機(jī)過程x(t,e)四種不同情況下的意義： .當(dāng)t固定，e固定時，x(t)是一個確定值； .當(dāng)t固定，e可變時，x(t)是一個隨機(jī)變量； .當(dāng)t可變，e固定時，x(t)是一個確定的時間函數(shù)； .當(dāng)t可變，e可變時，x(t)是一個隨機(jī)過程；,平穩(wěn)過程 1）嚴(yán)平穩(wěn)過程： 若 有相同的聯(lián)合分布，也就是說主要性質(zhì)只與變量之間的時間間隔有關(guān)。,3,2）寬平穩(wěn)

3、過程： 如果隨機(jī)過程x(t), 所有二階矩都存在，并且Ex(t)= ,協(xié)方差函數(shù) 只與時間差t-s有關(guān)，那么稱x(t), 為寬平穩(wěn)過程。,研究隨機(jī)過程的一個重要切入點(diǎn)就是研究一個隨機(jī)信號的數(shù)字特征，數(shù)字特征主要包括數(shù)學(xué)期望、相關(guān)函數(shù)、方差、協(xié)方差、均方值。其中數(shù)學(xué)期望是一階矩，后面四個是二階矩?？梢酝ㄟ^研究隨機(jī)過程的二階矩特征來判斷隨機(jī)過程是否平穩(wěn)等等。,4,Poisson過程,1、計數(shù)過程： 隨機(jī)過程 稱為計數(shù)過程，如果 表示從0到t時刻某一特定事件A發(fā)生的次數(shù)，它具備以下兩個特點(diǎn)： （1） 且取值為整數(shù)； （2） 時，,5,2、Poisson過程 計數(shù)過程 稱為參數(shù)為 的Poisson過程

4、，如果 （1）N(0)=0; (2)過程有獨(dú)立增量； (3)對任意的,稱為Poisson過程的強(qiáng)度或者速率，也就是說單位事件內(nèi)事件發(fā)生的次數(shù)。,6,例：顧客到達(dá)某商店服從 =4的Poisson分布,已知商店上午9：00開門，試求到9：30時僅到一位顧客，而到11：30時總計已達(dá)5位顧客的概率。,設(shè) 表示在時間t時到達(dá)的顧客數(shù),解：,7,Poisson過程的推廣,當(dāng)Poisson過程的強(qiáng)度 不再是常數(shù)，而與時間t有關(guān)時，Poisson過程被推廣為非齊次Poisson過程。一般來說，非齊次Poisson過程不具有平穩(wěn)增量。 非齊次Poisson過程 計數(shù)過程 稱做強(qiáng)度函數(shù)為 的非齊次Poisson

5、過程，如果 （1）N(0)=0； （2）過程有獨(dú)立增量； （3）對任意實數(shù) 為具有參數(shù) 的Poisson分布。 令,8,例 設(shè)某設(shè)備的使用期限為10年，在前5年內(nèi)它平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年需要維修一次，求它在使用期內(nèi)只維修過一次的概率。 解 考慮非齊次泊松過程，強(qiáng)度函數(shù),9,復(fù)合Poisson過程 條件Poisson過程,設(shè)Yi,i1是一族獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量， N(t),t0是泊松過程，且Yi,i1與N(t),t0獨(dú)立，記,稱X(t),t0為復(fù)合泊松過程。,1、定義：設(shè) 是一個正的隨機(jī)變量，分布函數(shù)為G(x)，設(shè)N(t) 是一個計數(shù)過程，在 的條件下， N(t),t0是參數(shù)為

6、 的泊松過程，即對任意的 s, t0，有,則稱N(t),t0為條件泊松過程。,10,更新過程,1、更新過程的定義 設(shè)Xn,n1是獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量，分布函數(shù)為F(x)，且F(0)1，令,記,或,稱N(t),t0更新過程。,一個典型的更新過程的例子就是機(jī)器零件的更換。在0時刻，安裝上一個新零件并開始運(yùn)行，當(dāng)零件在X1時刻發(fā)生損壞，馬上用一個新的來替換（假設(shè)替換零件不需要時間），當(dāng)?shù)诙€零件從X1時間開始運(yùn)行，到X2時間發(fā)生損壞時，我們馬上換第三個零件.這些零件的使用壽命是獨(dú)立同分布的，那么到t時刻為止已經(jīng)更換的零件數(shù)目就構(gòu)成一個更新過程。,11,注： 在有限的時間內(nèi)不可能有無限多次更新發(fā)生

7、。因為,由大數(shù)定律知，依概率1有,從而，無窮多次更新只可能在無限長的時間內(nèi)發(fā)生，即有限的時間內(nèi)最多只能發(fā)生有限次更新。,12,2、更新方程 ：如下形式的積分方程稱為更新方程,其中H(t)，F(xiàn)(t)為已知，且當(dāng)t0時， H(t)， F(t)均為0，當(dāng)H(t)在任何區(qū)間上有界時稱 此方程為適定更新方程，簡稱更新方程。,設(shè)m(t)為更新函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)稱為更新密度，記為M(t),13,3、更新方程的解 設(shè)更新方程中H(t)為有界函數(shù)，則方程存在惟一的在有限區(qū)間內(nèi)有界的解,4、更新方程在人口學(xué)中的一個應(yīng)用 考慮一個確定性的人口模型,-在時刻t女嬰的出生速率，即在 t,t+dt之間有B(t)dt個女嬰出生.

8、,已知：,-生存函數(shù)：指一個女嬰能活到 年齡x的概率.,-生育的年齡強(qiáng)度：指年齡為x的母親生育的速率.即年齡為x的母親在t,t+dt之間生下的女嬰數(shù)為,14,我們要用過去的B(t)預(yù)測未來的B(t)。,因為,-t時刻年齡在x,x+dx之間的女性數(shù)。,-t時刻年齡在x,x+dx之間的女性在單位時間內(nèi)所生育的女嬰數(shù)。,則在單位時間內(nèi)所有育齡段女性生育的女嬰數(shù)為,15,所以，,這是一個更新方程，其中,作變量替換 x=y+t 得,16,注意：,-年齡t的女性在時間t,t+dt之間生育的女嬰數(shù),-一個新生的女嬰在年齡x,x+dx之間期待生育的女嬰數(shù),所以,-一個新生的女嬰在年齡x之前期待生育的女嬰數(shù),1

9、7,表示其一生中將期待生育個女嬰數(shù),可以證明: 當(dāng) 時，,其中C為常數(shù),R滿足方程,當(dāng) 時，B(t)漸近指數(shù)地趨于0， 即人群最終消亡。,當(dāng) 時， B(t)將趨于一個有限的正 數(shù)。,18,Markov鏈,1、定義,隨機(jī)過程 稱為馬爾可夫鏈，若它只 取有限或可列個值（稱為過程的狀態(tài)，記為0，1，2，）， 并且，對任意 及狀態(tài) ，有,有這樣一類隨機(jī)過程，它具備“無后效性”，即，要確定過程將來的狀態(tài)，知道它此刻的狀態(tài)就足夠了，并不需要對它以往狀況的認(rèn)識，這類過程稱為Markov過程。,19,定義,稱,為n時刻的一步轉(zhuǎn)移概率。若,即pij與n無關(guān)，則稱Xn,n0為齊次馬爾可夫鏈。記P=(pij)，稱P

10、為Xn,n0的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣.,2、轉(zhuǎn)移概率,20,假設(shè)有一只螞蟻在如右圖的圖上爬行，當(dāng)兩個結(jié)點(diǎn)相臨時，螞蟻將爬行它臨近的一點(diǎn)，并且爬向任何一個鄰居的概率是相同的。則此Markov鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為：,21,假定某大學(xué)有一萬人，每人每月使用一支牙膏，并且只使用“中華”牙膏和“黑妹”牙膏兩者之一。根據(jù)本月的調(diào)查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中華牙膏。又據(jù)調(diào)查，使用黑妹牙膏的3000人中 ，有60%的人下月將繼續(xù)使用黑妹牙膏，40%的人將改用中華牙膏；使用中華牙膏的7000人中，有70%的人下月將繼續(xù)使用中華牙膏，30%的人將改用黑妹牙膏。,1）我們可以得到轉(zhuǎn)移概率矩陣,2）用轉(zhuǎn)移概率矩

11、陣預(yù)測市場占有率的變化 有了轉(zhuǎn)移概率矩陣，我們可以知道下一個月使用黑妹牙膏和中華牙膏人數(shù),故下個月使用黑妹牙膏的人數(shù)為3900人，使用中華牙膏的人數(shù)為6100人,3）假定轉(zhuǎn)移概率矩陣不變，還可以預(yù)測再下一個月的情況,22,其中 稱為二步轉(zhuǎn)移矩陣，也就是從剛開始那月份到接下 來的第二月份的情況。二步轉(zhuǎn)移矩陣正好是一步轉(zhuǎn)移矩陣的平方。一般的，k步轉(zhuǎn)移矩陣正好是一步轉(zhuǎn)移矩陣的k次方。,23,24,25,26,27,鞅； Brown運(yùn)動；,28,曾紅慶: 1、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程在通信過程中的應(yīng)用2、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程與寬平穩(wěn)隨機(jī)過程區(qū)別聯(lián)系 3、馬爾科夫鏈與馬爾科夫過程關(guān)系以及區(qū)別 趙津鋒: 1、隨機(jī)過程在w

12、sn中哪部分可以被用到？ 2、請詳述馬爾科夫過程。 3、請詳述泊松過程 李玉龍: 1、什么是隨機(jī)過程？ 2、隨機(jī)過程主要用于無線網(wǎng)絡(luò)的哪些方面？ 3、馬爾可夫鏈的原理是什么？ 甘子健: 1、poisson過程是累積計數(shù)模型，它與WSM或?qū)嶒炇已芯績?nèi)容有哪方面的關(guān)聯(lián)？ 2、隨機(jī)過程是否存在傅里葉變化？ 3、臧浪同學(xué)對于隨機(jī)過程學(xué)習(xí)的建議。 常寶明: 1、隨機(jī)過程在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)中有沒有典型的應(yīng)用？ 2、想重點(diǎn)了解一下馬爾可夫鏈 3、跟哪些學(xué)科有練習(xí)，學(xué)習(xí)時應(yīng)該注意些什么？ 歐陽經(jīng)綸: 1、隨機(jī)過程和概率論相關(guān)嗎？有什么區(qū)別？ 2、隨機(jī)過程有哪些主要的內(nèi)容，主要解決什么問題？ 3、馬爾科夫鏈?zhǔn)请S機(jī)過程中的嗎？詳細(xì)講解一下。,郭勛：1、用自己的話概況隨機(jī)過程主要內(nèi)容 2、隨機(jī)過程和概率論有何區(qū)別與聯(lián)系 3、概述馬爾科夫過程，有何實際意義,29,1、隨機(jī)過程的簡介和概率論等其他學(xué)科的聯(lián)系,隨機(jī)過程(Stochastic Process)是一連串隨機(jī)事件動態(tài)關(guān)系的定量描述。隨機(jī)過程論與其他數(shù)學(xué)分支如位勢論、微分方程、力學(xué)及復(fù)變函數(shù)論等有密切的聯(lián)系，是在自然科學(xué)、工程科學(xué)及社會科學(xué)各領(lǐng)域研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要工具。隨機(jī)過程論目前已得到廣泛的應(yīng)用，在諸如天氣預(yù)報、統(tǒng)計物理、天體物理、運(yùn)籌決策、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)、安全科學(xué)、人口理論、可靠性及計算機(jī)科學(xué)等很多領(lǐng)域都要經(jīng)常用到隨機(jī)過程的理論來建