1、數(shù)學(xué)競(jìng)賽 第五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽第二試及答案1.攝制組從a市到b市有一天的路程，計(jì)劃上午比下午多走100千米到c市吃午飯，由于堵車(chē)，中午才趕到一個(gè)小鎮(zhèn)，只行駛了原計(jì)劃的三分之一，過(guò)了小鎮(zhèn)，汽車(chē)趕了400千米，傍晚才停下來(lái)休息，司機(jī)說(shuō)，再走從c市到這里路程的三分之一就到達(dá)目的地了。問(wèn):a、b兩市相距多少千米？2問(wèn)：（a）1995年全年有幾個(gè)星期日？全年有幾個(gè)月有五個(gè)星期日？（b）1996年全年有幾個(gè)星期日？全年有幾個(gè)月有五個(gè)星期日？3 甲、乙、丙三個(gè)班人數(shù)相同，在班之間舉行象棋比賽，將各班同學(xué)都按1，2，3，編號(hào)。當(dāng)兩個(gè)班比賽時(shí)，具有相同編號(hào)的同學(xué)在同一臺(tái)對(duì)壘，在甲、乙兩班 比賽

2、時(shí)，有15臺(tái)是男、女生對(duì)壘；在乙、丙兩班比賽時(shí)，有9臺(tái)是男、女生對(duì)壘試說(shuō)明在甲、丙兩班比賽時(shí)，男、女生對(duì)壘的臺(tái)數(shù)不會(huì)超過(guò)24。什么情況下， 正好是24？4用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字，組成四位數(shù)，每個(gè)四位數(shù)中的數(shù)字不同（如1023，2341），求全體這樣的四位數(shù)之和。5某幼兒園的小班人數(shù)最少，中班有27人，大班比小班多6人，春節(jié)分橘子25箱，每箱橘子不超過(guò)60個(gè)，不少于50個(gè)，橘子總數(shù)的個(gè)位數(shù)是7，若每人分19 個(gè)，則橘子數(shù)不夠，現(xiàn)在大班每人比中班每人多分一個(gè)，中班每人比小班每人多分一個(gè)，剛好分完，問(wèn)這時(shí)大班每人分多少橘子？小班有多少人？6一個(gè)圓周上有12個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)連三角形，使每個(gè)點(diǎn)恰

3、是一個(gè)三角形的頂點(diǎn)，且各個(gè)三角形的邊都不相交。問(wèn)有多少種連法？參考答案1a，b兩市相距600千米 2（a）1995年共有53個(gè)星期日，全年有五個(gè)月有五個(gè)星期日。（b）1996年共有52個(gè)星期日，全年只有四個(gè)月有五個(gè)星期日。 3略 4259980 5大班每人分得18個(gè)橘子；小班有25人。 6共有55種不同的連法1.【解】如圖所示。設(shè)小鎮(zhèn)為d點(diǎn)，傍晚到達(dá)e點(diǎn)，f為ab中點(diǎn)。ad是ac的三分之一，即dc2ad，eb是ce的二分之一，即ce2eb，所以dedcce2(ad十eb)已知de400，所以adeb4002200，從而ab400200600(千米)答：a、b兩市相距600千米【注】本題中，“計(jì)

4、劃上午比下午多走100千米”這一條件是多余的2.【解】(a)1995年1月1日是星期日，1995年全年有365天，每7天有且僅有一個(gè)星期日752364，因此，從1995年1月2日到1995年12月31日。這364天中有52個(gè)星期日，加上1995年1月1日這個(gè)星期日，共是53個(gè)星期日。最小的月有28天，最大的月有31天，因此無(wú)論哪個(gè)月都最少有4個(gè)星期日，最多有5個(gè)星期日。531245，因此，1995年中有五個(gè)月有五個(gè)星期日。(b)1995年1月1日是星期日，經(jīng)過(guò)364天后，1995年12月31日也是星期日。所以1996年1月1日是星期一。1996年是閏年，2月有29天，經(jīng)過(guò)364天后，1996年

5、12月30日是星期一，所以1996年全年共有52個(gè)星期日，全年只有四個(gè)月有五個(gè)星期日。3.【解】我們可以把乙班同學(xué)分成三部分，第一部分為與甲班相同編號(hào)的同學(xué)異性者（由題設(shè)可知這部分乙班同學(xué)為15人），第二部分為與丙班相同編號(hào)的同學(xué)異性者（由題設(shè)可知這部分乙班同學(xué)為9人），其余為第三部分。設(shè)a同學(xué)屬于第三部分，他與甲班相同編號(hào)的同學(xué)通性，與丙班相同編號(hào)的同學(xué)也為同性，所以，與a相同編號(hào)的甲班和丙班同學(xué)必為同性。由此可知，甲、丙兩班比賽時(shí)，男、女生對(duì)壘的臺(tái)數(shù)不會(huì)超過(guò)24。只有當(dāng)與乙班第一部分相同編號(hào)的丙班同學(xué)均與乙班同學(xué)同性，并且與乙班第二部分相同編號(hào)的甲班同學(xué)也均與乙班同學(xué)同性時(shí)，甲、丙兩班比賽

6、中，男、女生對(duì)壘的臺(tái)數(shù)正好是24。4.【解】千位數(shù)字是1的有43224個(gè)(因?yàn)榘傥粩?shù)字可從0、2、3、4中選擇，有4種，百位確定后，十位有3種選擇，百位，十位確定后，個(gè)位有2種選擇)。千位數(shù)字是2、3、4的也有24種。百位數(shù)字是1的有33218個(gè)(因?yàn)榍粩?shù)字可從2、3、4中選擇，有3種。千位確定后，十位數(shù)字也有3種選擇(可以為0)，千位、十位確定后，個(gè)位數(shù)字有兩種選擇)百位數(shù)字是2、3、4的也有18個(gè)。同樣，十位數(shù)字、個(gè)位數(shù)字是1、2、3、4的也各有18個(gè)因此，所求的和是(1000200030004000)2418(1234)(110100)2599805.【解】第一步，估計(jì)全園人數(shù)的上界因

7、為小班人數(shù)少于中班27人，最多為26人所以大班最多為32人，全園人數(shù)最多為26273285(人)。第二步，計(jì)算中班每人分得的橘子數(shù)假如大班每人拿出一個(gè)橘子，小班每人多分一個(gè)橘子，全園小朋友每人分得橘子一樣多，還余6個(gè)因此19中班每人分得橘子數(shù)14.6所以中班每人分得橘子數(shù)只可能是15，16，17，18。橘子總數(shù)的個(gè)位數(shù)是7，(橘子總數(shù)6)的個(gè)位數(shù)字是1，所以(全園人數(shù)中班每人分得橘子教)的個(gè)位數(shù)字是1。因此，中班分得橘子數(shù)不能是15，16，18，只能是17。第三步，計(jì)算全園人數(shù)85全園人數(shù)73。再由(全園人數(shù)17)的個(gè)位數(shù)字是1，可知全園人數(shù)的個(gè)位數(shù)字是3，從而：全園人數(shù)83(人)第四步，計(jì)算

8、小班人數(shù)大班人數(shù)小班人數(shù)832756(人)，大班人數(shù)一小班人數(shù)6(人)所以小班人數(shù)25(人)答：大班每人分得18個(gè)橘子，小班有25人。6.【解】我們采用遞推的方法(1)如果圃上只有3個(gè)點(diǎn)；那么只有一種連法(2)如果圓上有6個(gè)點(diǎn)，除點(diǎn)所在三角形的三頂點(diǎn)外，剩下的三個(gè)點(diǎn)一定只能在所在三角形的一條邊所對(duì)應(yīng)的圓弧上，表1給出這時(shí)有可能的連法,表1:共有3種連法(3)如果圓上有9個(gè)點(diǎn)，考慮所在的三角形此時(shí)，其余的6個(gè)點(diǎn)可能分布在所在三角形的一個(gè)邊所對(duì)的弧上；也可能三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)邊所對(duì)應(yīng)的弧上，另三個(gè)點(diǎn)在另一邊所對(duì)的弧上。在表2中用“”號(hào)表示它們分布在不同的邊所對(duì)的弧。如果是情形，則由(2)，這六個(gè)點(diǎn)有三種連法；如果是情形，則由，每三個(gè)點(diǎn)都只能有一種連法。表2共有12種連法。(4)最后考慮圓周