1、2.2函數(shù)的基本性質,高考數(shù)學,一、函數(shù)的單調性 1.單調函數(shù)的定義 設函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1f(x2),則f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù). 2.單調區(qū)間的定義 若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù) f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性,區(qū)間D叫做f(x)的單調區(qū)間.,知識清單,注意:當函數(shù)有多個單調遞增(減)區(qū)間時,區(qū)間之間最好用“,”隔開,而不用“”. 3.判斷單調性的方法 (1)利用定義證明. (2)利用函數(shù)的性質證明. 若f(x)、g(x)為增函數(shù),則在公共定義域內: (i)f(x)+g(x)為增函數(shù)

2、; (ii)為減函數(shù)(f(x)0); (iii)為增函數(shù)(f(x)0); (iv)f(x)g(x)為增函數(shù)(f(x)0,g(x)0); (v)-f(x)為減函數(shù).,(3)利用復合函數(shù)關系. 法則是“同增異減”,即若兩個簡單函數(shù)的單調性相同,則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為增函數(shù),若兩個簡單函數(shù)的單調性相反,則這兩個函數(shù)的復合函數(shù)為減函數(shù). (4)圖象法:從左往右看,圖象上升的函數(shù)單調遞增,反之單調遞減. (5)導數(shù)法. 若f(x)在某個區(qū)間內可導,則當f (x)0時, f(x)為增函數(shù);當f (x)0時, f(x)為減函數(shù).,二、函數(shù)的最值,三、函數(shù)的奇偶性 1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念 一般地,如果對于

3、函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=f(x), 那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù). 一般地,如果對于函數(shù)f(x)的定義域內任意一個x,都有f(-x)=-f(x), 那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù). 2.奇、偶函數(shù)的性質 (1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同,偶函數(shù)在關 于原點對稱的區(qū)間上的單調性相反.(填“相同”或“相反”) (2)在公共定義域內, (i)兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù),兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù);,(ii)兩個偶函數(shù)的和、積是偶函數(shù); (iii)一個奇函數(shù),一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù). (3)任意一個定義域關于原點對稱的函數(shù)f(x)均可寫成一個奇函數(shù)g(x)與一個偶函數(shù)h(

4、x)的和的形式,即f(x)=g(x)+h(x),其中,g(x)=,h(x) =. 四、函數(shù)的周期性 1.定義:如果存在一個非零常數(shù)T,使得對于函數(shù)f(x)定義域內的任意x,都有f(T+x)=f(x),則稱f(x)為周期函數(shù).不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù) 的周期.如果在周期函數(shù)f(x)的所有的周期中存在一個最小的正數(shù),則這個最小的正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.,2.由周期函數(shù)的定義得: (1)若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=f(x-a)(a0),則f(x)為周期函數(shù),T=2|a|; (2)若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=f(a-x)(a0)且f(x)為奇函數(shù),則f(x)為周期函數(shù),T=4|a|;

5、 (3)若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=-f(x)(a0),則f(x)為周期函數(shù),T=2|a|; (4)若函數(shù)f(x)滿足f(x+a)=(a0),則f(x)為周期函數(shù),T=2|a|. 3.(1)若函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=a和直線x=b對稱,則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a-b|是它的一個周期; (2)若函數(shù)f(x)的圖象關于點(a,0)和點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a-b|是它的一個周期.,函數(shù)單調性的判斷 求函數(shù)的單調性或單調區(qū)間的方法: (1)利用已知函數(shù)的單調性. (2)先求定義域,再利用單調性的定義. (3)如果f(x)是以圖象形式給出的,或者f(x)的圖

6、象易作出,則可由圖象判斷函數(shù)f(x)的單調性. (4)復合函數(shù)y=fg(x)的單調性根據(jù)“同增異減”判斷. (5)利用導數(shù)判斷單調性. 例1給定函數(shù)y=,y=lo(x+1),y=|x-1|,y=2x+1,其中在區(qū)間(0, 1)上單調遞減的函數(shù)序號是.,方法技巧,解析y=在(0,1)上遞增;01,y=2x+1在(0,1)上遞增.故在區(qū)間(0,1)上單調遞減的函數(shù)序號是.,答案,函數(shù)單調性的應用 函數(shù)的單調性有如下幾個方面的基本應用: (1)利用函數(shù)的單調性解不等式; (2)在已知函數(shù)單調性的條件下,求參數(shù)的取值范圍. 例2已知函數(shù)f(x)=滿足對任意x1x2,都有 0成立,則a的取值范圍是.,解

7、析由對任意x1x2都有 0成立,知f(x)是減函數(shù),于是 所以0a.,答案,函數(shù)奇偶性的應用 利用奇函數(shù)的圖象關于原點對稱,函數(shù)在原點兩側的單調性相同,偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱,函數(shù)在y軸兩側的單調性相反,以及奇偶函數(shù)解析式的特點,解決與之有關的問題. 例3(2016江蘇贛榆期中)已知f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,則g(1)=.,解析f(x)是奇函數(shù),f(-1)=-f(1). 又g(x)是偶函數(shù),g(-1)=g(1). f(-1)+g(1)=2,g(1)-f(1)=2. 又f(1)+g(-1)=4, f(1)+g(1)=4. 由,得g

8、(1)=3.,答案3,函數(shù)周期性的應用 求函數(shù)周期常用遞推法和換元法,求形如y=Asin(x+)(A0,0)的函數(shù)的周期,用公式T=. 遞推法:若f(x+2)=-f(x), 則f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x),周期T=4. 換元法:若f(x+2)=f(x-2),令x+2=t,則x=t-2, f(t)=f(t-4),周期T=4. 例4(1)(2016江蘇泰州模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x),當-3x-1時,f(x)=-(x+2)2;當-1x3時,f(x)=x.則f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)等于.,(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),并且f(x+2)=-,當2x3時,f(x) =x,則f(105.5)=.,解析(1)f(x+6)=f(x),T=6. 當-3x-1時,f(x)=-(x+2)2; 當-1x3時,f(x)=x, f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1, f(6)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(6)=1, f(1)+f(2)+f(3)+f(2 015)+f(2 016) =1=336. 又f(2 017)=f(1)=1, f(1)+f(2)+f(3)+f(2 017)=337.,(2)由已知