1、Ch1：隨機(jī)事件及其概率,2020/9/3,1,數(shù)科院,3 古典概型與幾何概型,2020/9/3,1,數(shù)科院,一、古典概型,二、典型例題,三、幾何概率,1. 定義,一、古典概型(等可能概型),2020/9/3,2,數(shù)科院,特點：,設(shè)試驗 E 的樣本空間由n 個樣本點構(gòu)成， A 為 E 的任意一個事件，且包含 m 個樣本點，則事 件 A 出現(xiàn)的概率記為:,2. 古典概型中事件概率的計算公式,稱此為概率的古典定義.,2020/9/3,3,數(shù)科院,3. 古典概型的基本模型:摸球模型,(1) 無放回地摸球不放回抽樣,問題1 設(shè)袋中有4 只白球和 2只黑球, 現(xiàn)從袋中無 放回地依次摸出2只球,求這2只球

2、都是白球的概率.,解,基本事件總數(shù)為,A 所包含基本事件的個數(shù)為,2020/9/3,4,數(shù)科院,(2) 有放回地摸球放回抽樣,問題2 設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球 的概率.,解,第1次摸球,6種,第1次摸到黑球,4種,第3次摸到紅球,2020/9/3,5,數(shù)科院,基本事件總數(shù)為,A 所包含基本事件的個數(shù)為,課堂練習(xí),1o 骰子問題 擲3顆均勻骰子,求點數(shù)之和為4的 概率.,2020/9/3,6,數(shù)科院,解,二、典型例題,2020/9/3,7,數(shù)科院,在 N 件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k 件次品的取法 共有,于是所求的概率為,解,在N件

3、產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有,超幾何分布,2020/9/3,8,數(shù)科院,例6 假設(shè)每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 個人中至少 有2人生日相同的概率.,64 個人生日各不相同的概率為,故64 個人中至少有2人生日相同的概率為,解,2020/9/3,9,數(shù)科院,說明,2020/9/3,10,數(shù)科院,利用Matlab統(tǒng)計軟件包進(jìn)行數(shù)值計算的結(jié)果：,2020/9/3,11,數(shù)科院,例 （分房模型）,設(shè)有 k 個不同的球, 每個 球等可能地落入 N 個盒子中（ ）, 設(shè) 每個盒子容球數(shù)無限, 求下列事件的概率:,（1）某指定的 k 個盒子中各

4、有一球；,（4）恰有 k 個盒子中各有一球；,（3）某指定的一個盒子沒有球；,（2）某指定的一個盒子恰有 m 個球( ),（5）至少有兩個球在同一盒子中；,（6）每個盒子至多有一個球.,2020/9/3,12,數(shù)科院,解,設(shè) (1) (6)的各事件分別為,則,2020/9/3,13,數(shù)科院,課堂練習(xí),1o 分房問題 將張三、李四、王五3人等可能地 分配到3 間房中去,試求每個房間恰有1人的概率.,早在概率論發(fā)展初期，人們就認(rèn)識到， 只考慮有限個等可能樣本點的古典方法是不夠的.,2020/9/3,15,數(shù)科院,三、幾何概型,把等可能推廣到無限個樣本點場合,人們引入了幾何概型. 由此形成了確定概率

5、的另一方法幾何方法.,2020/9/3,16,數(shù)科院,顯然用幾何的方法是容易達(dá)到的.,借助于古典概率的定義，設(shè)想仍用“事件的概率”等于“部分”比“全體”的方法，來規(guī)定事件的概率. 不過現(xiàn)在的“部分”和“全體”所包含的樣本點是無限的. 用什么數(shù)學(xué)方法才能構(gòu)造出這樣的數(shù)學(xué)模型？,幾何方法的要點是：,1、設(shè)樣本空間是 平面上某個區(qū)域，它的面積記為(S);,2020/9/3,17,數(shù)科院,該點落入S內(nèi)任何部分區(qū)域內(nèi)的可能性只與這部分區(qū)域的面積成比例，而與這部分區(qū)域的位置和形狀無關(guān).,S,2、向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點，,這里“隨機(jī)投擲一點”的含義是:,2020/9/3,18,數(shù)科院,3、設(shè)事件A是S的某個

6、區(qū)域，它的面積為 (A)，則向區(qū)域S上隨機(jī)投擲一點，該點落在區(qū)域A的概率為,2020/9/3,19,數(shù)科院,4、假如樣本空間S可用一線段，或空間中某個區(qū)域表示，并且向S上隨機(jī)投擲一點的含義如前述，則事件A的概率仍可用,確定，只不過把 理解為長度或體積即可.,S,2020/9/3,20,數(shù)科院,那么,兩人會面的充要條件為,例7 甲、乙兩人相約在 0 到 T 這段時間內(nèi), 在預(yù) 定地點會面. 先到的人等候另一個人, 經(jīng)過時間 t ( tT ) 后離去.設(shè)每人在0 到T 這段時間內(nèi)各時刻 到達(dá)該地是等可能的 , 且兩人到達(dá)的時刻互不牽 連.求甲、乙兩人能會面的概率.,會面問題,解,2020/9/3,

7、21,數(shù)科院,故所求的概率為,若以 x, y 表示平面 上點的坐標(biāo) ,則有,2020/9/3,22,數(shù)科院,例8 甲、乙兩人約定在下午1 時到2 時之間到某 站乘公共汽車 , 又這段時間內(nèi)有四班公共汽車，它們的開車時刻分別為 1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙約定 (1) 見車就乘; (2) 最多等一輛 車. 求甲、乙同乘一車的概率. 假定甲、乙兩人到達(dá)車站的時 刻是互相不牽連的，且每人在 1 時到 2 時的任何時刻到達(dá)車 站是等可能的.,2020/9/3,23,數(shù)科院,見車就乘 的概率為,設(shè) x, y 分別為 甲、乙兩人到達(dá)的時刻,則有,解,2020/9/3,24,數(shù)科院,2020/9/3,25,數(shù)科院,No3 作業(yè),2020/9/3,26,數(shù)科院,2020/9/3,26,數(shù)科院,Ch1-27,17世紀(jì),法國的 Chevalies De Mere 注意到在賭博