1、直積 關(guān)系 關(guān)系的合成 等價關(guān)系 特征函數(shù) 隸屬函數(shù) 模糊集合的表示方法,直積是由U和V的元素構(gòu)成的所有序偶 （u,v）所組成的集合。因為序偶（u,v）是有序的，所以一般地U V V U 設(shè)A=a,b，B=x,y,z，則 A B= (a,x),(a,y),(a,z), (b,x),(b,y),(b,z) B A= (x,a),(y,a),(z,a), (x,b),(y,b),(z,b) 當U和V都是有限集時， U V 也是有限集，并且它的基數(shù)是U V ,設(shè)U，V是兩個集合，把直積U V的任意一個子集R為U到V的一個二元關(guān)系 若某個序偶(u,v) R，則稱u與v具有關(guān)系R，或稱u與v是R相關(guān)的，

2、記為uRv，反之，則稱u與v是R無關(guān)。u與v有關(guān)系R或u與v沒有關(guān)系R,二者必居其一且僅居其一,例題 設(shè)X=1,4,7,8，Y=2,3,6 R=(1,2),(1,3),(1,6),(4,6) 則R是X到Y(jié)的“小于 ”關(guān)系,例題 設(shè)U=R R1=(u,v)|(u,v) RR,u=v 是R上元素間的“相等”關(guān)系 R2=(u,v)|(u,v) RR,uv 是R上元素間的“大于或等于”關(guān)系,關(guān)系的合成,設(shè)R是U到V的一個關(guān)系，S是V到W的一個關(guān)系，定義U到W的一個關(guān)系T=RS如下： 對于uU，w W，uTw或u(RS)w成立的充分必要條件是： T=RS稱為R與S的合成關(guān)系，也稱復合關(guān)系,例題 設(shè)U=1

3、,2,3,4，V=3,4，W= 0,1,2,3，U到V的關(guān)系R和V到W的關(guān)系S定義如下： R=(u,v)|u+v=5=(1,4),(2,3) S=(v,w)|v-w=2=(3,1),(4,2) 合成關(guān)系T=RS是U到W的關(guān)系，其定義為：,有：,等價關(guān)系與劃分 等價關(guān)系是二元關(guān)系中的一個重要關(guān)系，也是將一個集合元素分類的重要依據(jù),集合U上的關(guān)系稱為等價關(guān)系，若它滿足： （1）自反律 （2）對稱律 （3）傳遞律 a,b,cU，若ab，且bc，則有ac 若ab，則稱元素a與b等價，例如平面上的直線的平行關(guān)系，在全班學生集合上的同姓關(guān)系、同齡關(guān)系、同鄉(xiāng)關(guān)系等。,例題 在集合A=1,2,3上的關(guān)系 R=

4、(1,1),(1,3),(2,2),(2,1),(2,3),(3,3) 是自反的，但非對稱 自然數(shù)集 N上的相等關(guān)系是對稱的，關(guān)系“”，“”均為非對稱的,實數(shù)集上的關(guān)系“=”為自反，對稱，傳遞的；關(guān)系“”為自反，傳遞的，但非對稱的；關(guān)系“”是傳遞的，非自反、非對稱的,常用下面的方法來表示一個模糊集： 1. 當 是有限集時，用下列方法表示U上的模糊集： （1) Zadeh表示法 式中各項并不表示分數(shù)，而是元素與它的隸屬度，+號也不是求和，而是表示論域全體,例題 設(shè)U=1,2,3,4,5,6，接近4的整數(shù)可表為：,（2）序偶表示法 將論域中的元素與其隸屬度構(gòu)成序偶來表示A，則 隸屬度為零項可不列入

5、。 （3）向量表示法 排出U中各元素次序后，把各元素的隸屬度按次序記成向量的形式，這時隸屬度為0的項不能省去,（4）當U為實數(shù)區(qū)間或一些其他情況時，Zadeh給出記法 這里 不表示分數(shù)，積分號也不是積分或求和，它表示論域U上元素與其隸屬度的對應(yīng)關(guān)系的一個總括,(5) 用隸屬函數(shù)的解析式表示 例以年齡為論域, X=0,100,Zadeh給出“年輕”模糊集Y,其隸屬函數(shù)為,模糊集合的運算,普通集合的并、交、補運算可以用特征函數(shù)來表示，而模糊集的運算可以用隸屬函數(shù)來定義,模糊集合的并、交、補運算,從邏輯意義上說，模糊集的并、交、補運算 表示了模糊概念之間的“或、與、非”的 關(guān)系,模 糊 集 合 并

6、、 交 、 補 運 算,例題 設(shè)論域U=u1,u2,u3,u4，模糊集,例: 設(shè)論域,則,四、模糊集合的性質(zhì) (1)冪等律 (2)交換律 (3)結(jié)合律 (4)分配率 (5)同一律 (6)復原律 (7)吸收律 (8)對偶律,互補律不再成立,模糊集合的截集,模糊集合與普通集有密切的聯(lián)系 模糊集的截集的定義,模糊集的a弱（強）截集都是普通集合，它可理解為模糊集中隸屬度達到了某個水平的所有元素的集合 例題,模糊集的a截集和a強截集的性質(zhì) 性質(zhì)1,性質(zhì)2 性質(zhì)3,例,從以上性質(zhì)可看出a值越小，Aa包含的元素越多，這種讓a由大到小取值，而Aa所含元素則由少到多的過程，實際上是一種分類過程 a值越大， Aa

7、所含元素越少，分出的類就多，分類越細；反之， a值越小， Aa所含元素越多，分類越粗,模糊數(shù)學中常用到下面兩個特殊的a截集 核及支集,核是由A中隸屬度等于1的元素組成的普通集，核中的元素是完全隸屬于A中的成員，而支集則是由隸屬度大于零的元素組成的普通集 且當從1趨于0時，A從核開始不斷擴大，收進越來越多的元素，最終變成支撐集,例題,定義,分解定理,分解定理是模糊數(shù)學理論發(fā)展的重要組成部分，它給出如何把模糊集分解成普通集，從而可把模糊集里的問題化成普通集里的問題來討論 從方法論的角度看，任何模糊集的問題，都可以通過分解定理而用經(jīng)典集合論的方法來處理,分解定理,例題 則,模糊集是普通集的推廣，而模

8、糊集的a截集又是普通集 分解定理提供了把模糊集分解為普通集的數(shù)乘模糊集的并的方法 利用分解定理可使某些模糊集的問題化為普通集問題來解決，這也反映了模糊集與普通集的密切聯(lián)系,隸屬函數(shù)的確定,確定隸屬函數(shù)的方法目前還很不完善。 在較簡單的情形下，是憑經(jīng)驗指定隸屬度，再根據(jù)實踐加以修正。 如果條件適宜，通過模糊統(tǒng)計試驗來確定隸屬度要更為科學。 應(yīng)當指出，不存在適用于一切情形的方法，在不同情況下確定隸屬函數(shù)的方法不同。把科學性和藝術(shù)性結(jié)合起來，體現(xiàn)了模糊方法的應(yīng)用特點。,1.確定隸屬函數(shù)的一般原則： （1）表示隸屬函數(shù)的模糊集合必須是凸模糊集; 凸模糊集合可以這樣描述：隨著論域中元素值的增加，隸屬函數(shù)

9、的隸屬值隨之嚴格單調(diào)增加或減少，或嚴格地先增加后減少。 例:速度適中”的隸屬度函數(shù)。某專家根據(jù)實際情況和他本人的經(jīng)驗對“速度適中”這一語言值進行隸屬度函數(shù)的定義，給出的結(jié)果為：速度適中=0/30+0.5/40+1/50+0.5/60+0/70,這里隸屬度為1的速度值定在50km/h。就是說，50km/h左右的速度為最適中。越偏離這一速度值其隸屬度函數(shù)的值越小，即速度適中的程度越小，這符合凸模糊集合的要求。如果上面的結(jié)果最后為0.8/70，就不符合凸模糊集合的要求了。 實際應(yīng)用中，為了簡化計算常選用三角形、梯形等作為隸屬度函數(shù)，就是為了滿足凸模糊集合的要求。,2）隸屬度函數(shù)通常是對稱和平衡的在模

10、糊應(yīng)用系統(tǒng)中，每一個輸入變量（以后又可稱語言變量,例如,溫度）可以有多個語言值（如 很高、高、適中、低、很低）。一般情況下，描述變量的語言值安排得越多，在論域中的隸屬度函數(shù)的密度越大，模糊應(yīng)用系統(tǒng)的分辨率就越高，其系統(tǒng)響應(yīng)的結(jié)果就越平滑，但帶來的不足之處是模糊規(guī)則會明顯增多，計算時間大大增加，系統(tǒng)設(shè)計難度加重。,如果標稱值安排得太少，則系統(tǒng)的響應(yīng)可能會不敏感，并可能無法及時響應(yīng)小的輸入變化。因此，模糊變量的標稱值選擇既不能過多又不能過少。一般地，標稱值取39個為宜，通常為奇數(shù)個，并在“零”、“適中”或“合適”集合的兩邊語言值保持對稱。,3）隸屬度函數(shù)要符合人們的語言順序，避免不恰當?shù)闹丿B語言值

11、的分布必須按順序排列，例如從“速度很低、速度低、速度適中、速度高、速度很高”的排列，不能違背常識和經(jīng)驗。 除此之外，由中心值向兩邊模糊延伸的范圍也有一定的限制，間隔的兩個模糊集合的隸屬度函數(shù)盡量不相交。以下隸屬度函數(shù)的分布是錯誤的。,選擇時應(yīng)遵循：a 論域中的每個元素應(yīng)該至少屬于一個隸屬度函數(shù)的區(qū)域，同時它一般應(yīng)該屬于至多不超過兩個隸屬度函數(shù)的區(qū)域。b 對于同一輸入，沒有兩個隸屬度函數(shù)會同時給出最大隸屬度。c 當兩個隸屬度函數(shù)重疊時，重疊部分對兩個隸屬度函數(shù)的最大隸屬度不應(yīng)該有交叉。,確定隸屬函數(shù)的方法： 1）主觀經(jīng)驗法 當論域離散時,根據(jù)主觀認識或個人經(jīng)驗，直接或間接給出元素隸屬的具體值，由

12、此確定隸屬函數(shù)。 比如“幾個”一詞，在一定的場合下有人憑經(jīng)驗可以表示為： 幾個=0.5/3+0.8/4+1/5+1/6+0.8/7+0.5/8 或 幾個=0.5/3+1/4+1/5+0.9/6+0.8/7+0.5/8 ,經(jīng)驗法的實現(xiàn)通常有以下幾種方法：（1）專家評分法：即綜合多數(shù)專家的評分來確定隸屬函數(shù)的方法，這種方法廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟與管理的各個領(lǐng)域。（2）因素加權(quán)綜合法：若模糊概念是由若干因素相互作用而成，而每個因素本身又是模糊的，則可綜合考慮各因素的重要程度來選擇隸屬函數(shù)。（3）二元排序法：通過對多個事物之間的兩兩對比來確定某種特征下的順序，由此來決定這些事物對該特征的隸屬函數(shù)的大致形狀。,2）分析推理法 當論域連續(xù)時，根據(jù)問題的性質(zhì)，應(yīng)用一定的分析與推理，決定選用某些典型函數(shù)作為隸屬函數(shù)。比如地震科學中的震中烈度，可以看作是震級論域中的模糊子集，因影響震中烈度和震級關(guān)系的因素太多、太復雜，所以，可以假定這些模糊子集的隸屬函數(shù)呈正態(tài)分布，即： 這里，