1、1.2.1函數(shù)的概念,一,二,一、函數(shù)的概念 1.初中學習的函數(shù)的概念是如何定義的? 提示:設在一個變化過程中有兩個變量x與y,如果對于x的每一個值,y都有唯一的值與它對應,則稱x是自變量,y是x的函數(shù). 2.初中學過哪些函數(shù)? 提示:正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等.,一,二,3.閱讀教材中的三個實例,并指出三個實例存在哪些變量?變量之間的對應關系是采用什么形式表達的?三個實例中變量的關系有什么共同點? 提示:每個實例中都存在著兩個變量;實例(1)中的兩個變量關系是通過關系式表達的,實例(2)中的變量間的關系是通過圖象表達的,實例(3)中的變量間的關系是通過列表的形式表達的;三個

2、實例變量之間的關系都可以描述為:對于數(shù)集A中的每一個x,按照某種對應關系f,在數(shù)集B中都有唯一確定的y和它對應,記作:f:AB.,一,二,4.填表:,5.一個函數(shù)的構成有哪些要素?起決定作用的是哪些?為什么? 提示:定義域A、對應關系f和值域f(x)|xA,共三個要素.起決定作用的是函數(shù)對應關系和定義域,因為函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域和對應關系確定,當兩個函數(shù)的定義域和對應關系相同時,值域一定相同.,一,二,6.在函數(shù)的定義中,值域與集合B有怎樣的關系? 提示:值域是集合B的子集. 7.新的函數(shù)定義與傳統(tǒng)的函數(shù)定義有什么異同? 提示:兩個定義中的定義域與值域的意義完全相同;兩個定義中的對應關系實

3、際上也一樣,只不過敘述的出發(fā)點不同,初中的定義是從運動變化的觀點出發(fā),新定義的對應關系是從集合與對應的觀點出發(fā).,8.判斷正誤: (1)對應關系與值域都相同的兩個函數(shù)是相等函數(shù).() (2)函數(shù)的值域中每個數(shù)在定義域中都只存在一個數(shù)與之對應. () 答案:(1)(2),一,二,9.做一做: 下列對應是實數(shù)集R到R上的一個函數(shù)的是.(只填序號),答案:,一,二,二、區(qū)間的概念及表示 1.閱讀教材17頁上半部分,關于區(qū)間的概念,請?zhí)顚懴卤? 設a,bR,且ab,規(guī)定如下:,一,二,2.實數(shù)集R及xa,xa,xa,xa如何用區(qū)間表示? 提示:,3.判斷正誤: (1)所有的數(shù)集都能用區(qū)間表示.() (

4、2)所有的區(qū)間都能用數(shù)集表示.() 答案:(1)(2),一,二,4.做一做: 用區(qū)間表示下列集合: (1)x|21,且x2用區(qū)間表示為; (3)x|x1,且x2用區(qū)間表示為(1,2)(2,+). 答案:(1)(2,4(2)(1,2)(2,+) (3)(-,-3)10,+),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,探究一函數(shù)的定義 例1下列選項中(橫軸表示x軸,縱軸表示y軸),表示y是x的函數(shù)的是() 解析:根據(jù)函數(shù)定義,對于非空數(shù)集A中每一個確定的x值,都有唯一確定的y值與之對應,觀察并分析圖象知只有選項D符合函數(shù)的定義. 答案:D 反思感悟 y是x的函數(shù),則函數(shù)圖象與垂直

5、于x軸的直線至多有一個交點.若有兩個或兩個以上的交點,則不符合函數(shù)的定義,所對應圖象不是函數(shù)圖象.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,變式訓練 1集合A=x|0 x4,B=y|0y2,下列不表示從A到B的函數(shù)的是() 答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,探究二同一函數(shù) 例2 試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù):,(2)y=x0與y=1(x0); (3)y=2x+1(xZ)與y=2x-1(xZ). 分析:判斷兩個函數(shù)f(x)和g(x)是否相等的方法是:先求函數(shù)f(x)和g(x)的定義域,如果定義域不同,那么它們不相等;如果定義域相同,再

6、化簡函數(shù)的表達式,如果化簡后的函數(shù)表達式相同,那么它們相等,否則它們不相等.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,所以它們不表示同一函數(shù). (2)因為y=x0要求x0,且當x0時,y=x0=1,故y=x0與y=1(x0)的定義域和對應關系都相同,所以它們表示同一函數(shù). (3)y=2x+1(xZ)與y=2x-1(xZ)兩個函數(shù)的定義域相同,但對應關系不相同,故它們不表示同一函數(shù).,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,反思感悟判斷兩個函數(shù)是否表示同一函數(shù)的兩個步驟,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,變式訓練2下列各組函數(shù):,

7、f(x)=x+1,g(x)=x+x0; 汽車勻速運動時,路程與時間的函數(shù)關系f(t)=80t(0t5)與一次函數(shù)g(x)=80 x(0 x5). 其中表示相等函數(shù)的是(填上所有正確的序號).,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,解析:f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一函數(shù); f(x)與g(x)的解析式不同,不是同一函數(shù); f(x)=|x+3|,與g(x)的解析式不同,不是同一函數(shù); f(x)與g(x)的定義域不同,不是同一函數(shù); f(x)與g(x)的定義域、值域、對應關系皆相同,是同一函數(shù). 答案:,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,探究

8、三區(qū)間 例3已知集合A=x|5-x0,集合B=x|x|-30,則AB用區(qū)間可表示為. 解析:A=x|5-x0,A=x|x5. B=x|x|-30,B=x|x3. AB=x|x-3或-3x3或3x5, 即AB=(-,-3)(-3,3)(3,5. 答案:(-,-3)(-3,3)(3,5 反思感悟 (1)正確利用區(qū)間表示集合,要特別注意區(qū)間的端點值能否取到,即“小括號”和“中括號”的區(qū)別.(2)用區(qū)間表示兩集合的交集、并集、補集運算時,應先求出相應集合,再用區(qū)間表示.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,變式訓練 3(1)集合x|0x1或2x11用區(qū)間表示為. (2)若集合A

9、=2a-1,a+2,則實數(shù)a的取值范圍用區(qū)間表示為. 解析:(2)由區(qū)間的定義知,區(qū)間(a,b)(或a,b)成立的條件是ab. A=2a-1,a+2,2a-1a+2. a3, 實數(shù)a的取值范圍是(-,3). 答案:(1)(0,1)2,11(2)(-,3),探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,探究四求函數(shù)的定義域 例4求下列函數(shù)的定義域: 分析:觀察函數(shù)解析式的特點列不等式(組)求自變量的取值范圍,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,反思感悟求函數(shù)的定義域時,常有以下幾種情況: (1)如果函數(shù)f(x)是整式,那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R; (2)如果

10、函數(shù)f(x)是分式,那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)組成的集合; (3)如果函數(shù)f(x)是二次根式,那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)組成的集合; (4)如果函數(shù)f(x)是由兩個或兩個以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構成的,那么函數(shù)的定義域是使各式子都有意義的自變量的取值集合(即求各式子自變量取值集合的交集).,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,探究五求函數(shù)值(域),(1)求f(2),g(3),g(a+1)的值; (2)求f(g(2)的值; (3)求f(x)的值域. 分析:(1)分別將f

11、(x)與g(x)的表達式中的x換為2,3,計算得f(2)與g(3);(2)先求g(2)的值m,再求f(m)的值.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,故函數(shù)f(x)的值域為(0,1. 反思感悟 1.已知f(x)的表達式時,只需用數(shù)a替換表達式中的所有x即得f(a)的值. 2.求f(g(a)的值應遵循由內(nèi)到外的原則. 3.用來替換表達式中x的數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值,否則函數(shù)無意義.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,(5)求g(x)的值域.,故函數(shù)g(x)的值域為0,+).,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,用逆向思

12、維解決函數(shù)定義域(或值域)問題 分析:把求函數(shù)定義域問題轉(zhuǎn)化為方程ax2+4ax+3=0無實根問題. 解:依題意,要使函數(shù)有意義,必須ax2+4ax+30. 即要使函數(shù)的定義域為R,必須方程ax2+4ax+3=0無實根. 當a=0時,方程ax2+4ax+3=0無實根; 當a0時,若方程ax2+4ax+3=0無實根, 則有判別式0,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,歸納總結定義域(或值域)的逆向問題?；癁榉匠袒虿坏仁絾栴}. 一般地,(1)ax2+bx+c0對xR恒成立,有a=b=0,c0或a0時,=b2-4ac0. (2)ax2+bx+c0對xR恒成立,有a=b=0,c

13、0或a0時,=b2-4ac0. (3)ax2+bx+c=0無實根,有a=0時,b=0,c0或a0時,0.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,解析:原問題化為ax2-x+a0對xR恒成立問題. (1)當a=0時,顯然不合題意. (2)當a0時,只需0即可,即(-1)2-4a20,解得 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,1.下列圖形中不是函數(shù)圖象的是() 解析:A中至少存在一處如x=0,一個橫坐標對應兩個縱坐標,這相當于集合A中至少有一個元素在集合B中對應的元素不唯一,故A不是函數(shù)圖象,其余B、C、D均符合函數(shù)定義. 答案:A,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,2.下列四組中的f(x)與g(x)為同一函數(shù)的是(),D.f(x)=x,g(x)=|x| 解析:對于選項A,C,函數(shù)的定義域不同;對于選項D,兩個函數(shù)的對應關系不同,故選B. 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,探究五,思想方法,當堂檢測,A.(-,+)B.(-,-1 C.(-1,+)D.-1,0)(0,+) 解析:要使函數(shù)有意義,則 解得f(x)